ВОЗМОЖНЫЕ КЛАССЫ И ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ИНТЕГРАТОРОВ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НА НИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

ВОЗМОЖНЫЕ КЛАССЫ И ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ИНТЕГРАТОРОВ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НА НИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Задачей статьи является краткая характеристика метода расчетов на гидравлических интеграторах (метода гидравлических аналогий), его возможностей, особенностей, областей применения и перспектив его дальнейшего использования и развития.

Развитие метода гидравлических аналогий теснейшим образом связано с развитием аппаратуры и с -практикой применения его для решения многих научно-технических задач.

Гидравлические интеграторы представляют собой системы соединенных между собой узлов или сосудов, потоки и уровни воды или напоры, в которых воспроизводят заданные и искомые величины.

Рис. 1. Принципиальная схема гид^ равлического интегратора

Для выяснения класса решаемых на гидравлических интеграторах задач естественнее идти не от уравнений к методу гидравлических аналогий, а от метода и аппаратуры (интеграторов) — к уравнениям.

Метод аналогий на гидравлических интеграторах удобно представлять как воспроизведение и измерение в гидравлической форме баланса тепла, энергии, вещества в элементарных объемах при их взаимодействии между собой и с окружающей средой. При таком представлении становятся более ясными его возможности и погрешности при решении различных задач, особенно в случае расчета процессов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Такое представление позволяет также успешнее распространять метод на решение новых задач и способствует развитию аппаратуры.

, /г, уровни в которых hu ...* hK ..., hn изменяются во времени по заданным кривым, изображенным на рисунке справа. Сосуд т соединен с другими сосудами через конструктивные элементы с определенными гидравлическими сопротивлениями рть ... ртк, ... ртп, представляющими собой разность напоров, которая нужна для пропуска единичного расхода. Помимо обмена водой с сосудами в узел т поступает 42

чения соЛт, и сосудами /,

Принципиальные возможности, особенности метода и классы решаемых задач удобно выяснить при рассмотрении основного элемента гидравлического интегратора — одного узла или сосуда, обменивающегося водой с другими узлами или сосудами. Составим баланс воды, поступающей в узел т за время dx. На рис. 1 изображен узел т, через который идет обмен водой между сосудом т, имеющим переменную по высоте площадь се-

извне (или отбирается) вода. Расход воды q может быть постоянным или переменным.

Баланс воды в узле гп за время dr запишется следующим образом:

Лг hm - dx +... + h\ hm dx + ...+ qmdx — (ahndhm = 0,


Pmi


PtfiK


откуда

hm ,

\ 4m•


cl hr)


(1)


со


hm’


dr jjjgni Ртк k= 1


Если дано значение hm для начального момента времени Ят0, то аналитический расчет функции hm в зависимости от времени сводится к интегрированию уравнения (1) с учетом этого начального условия.

Наблюдение и регистрация изменяющегося уровня воды в сосуде т заменяет интегрирование уравнения (1).

Если левая часть уравнения (1) равна нулю, т. е. если уровень

воды в сосуде т не изменяется - = 0 j, или если площадь сечений (ohm = 0, то напор hm определяется из алгебраического уравнения

+ Ят — 0

(2)

при соответствующих мгновенных значениях переменных hu .... hK, ..., hn.

Если имеется не один, а ряд сосудов или узлов, соединенных между собой различным образом, то весь процесс изменения напоров в узлах будет описываться системой уравнений типа уравнения (1). ДляN узлов с N неизвестными функциями hm можно написать N уравнений типа (1) и, решив их с учетом начальных условий, найти функции hm.

Или иначе, решение системы уравнений типа (1) —уравнений балансов тепла, вещества, энергии в узлах или элементарных объемах можно заменить наблюдением и регистрацией уровней воды в соответствующих системах сосудов. Возможность выбора любых масштабов высоты и времени позволяет достаточно удобно воспроизводить искомые величины. Воспроизведение искомых величин в гидравлической форме называется расчетом по методу гидравлических аналогий.

Методом гидравлических аналогий можно находить численные решения любых уравнений или систем уравнений, если они допускают аппроксимацию решением систем уравнений баланса типа (1). Последние могут состоять из дифференциальных уравнений, иногда из алгебраических, иногда — из тех и других.

В системах сосудов можно изменять множество параметров, поэтому методом гидравлических аналогий решаются очень разнообразные задачи.

Изменять параметры можно следующим образом:

1.    Соединять между собой различное число узлов или соединять их в различных комбинациях.

2.    Применять сосуды с различными постоянными или переменными сечениями по высоте.

3.    Использовать различные гидравлические сопротивления, не зависящие от разности напоров (капилляры и щели) и зависящие от нее (диафрагмы и комбинации диафрагм с капиллярами и щелями).

4.    Применять различные и переменные во времени расходы q, иногда автоматически зависящие от водообмена с соседними узлами (например, для учета скрытых теплот).

5.    Использовать различное начальное наполнение сосудов.

6.    Осуществлять в различных сосудах изменения уровней во времени по различным заданным кривым.

Кроме того, можно в любое время останавливать процесс, закрывая краны, регистрировать напоры, менять параметры и продолжать решение с новыми параметрами. Можно повторять процесс в любых интервалах времени.

При решении задач можно применять некоторые искусственные приемы, облегчающие практическое осуществление решения, например, использовать подвижное начало координат, заменять отливание приливанием, непрерывные во времени источники и стоки — дискретными и т. д.

К системам алгебраических уравнений приводят задачи расчета водопроводных и теплофикационных сетей в установившихся состояниях. При этом обычно сопротивления р между узлами находятся в довольно сложной зависимости от разностей напоров. Наличие баков со срабатывающимся напором приводит к системе алгебраических и дифференциальных уравнений.

Расчеты процессов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных типа Лапласа, Пуассона, Фурье любой мерности в однородных и неоднородных средах, выполняются методом гидравлических аналогий путем замены дифференциальных уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которые получаются при делении пространства на элементарные объемы (блоки) и рассмотрении балансов этих блоков при их взаимодействии.

При этом принимаются следующие допущения:

1.    Среднее значение температуры, напора, концентрации и других величин в блоке отождествляется со значением этой величины в центре тяжести блока.

2.    Направления потоков тепла, вещества и т. п. считаются нормальными к поверхностям раздела блоков и параллельными 44

осям (иногда криволинейным), соединяющим центры тяжести блоков.

3. В каждый момент времени процесс обмена между блоками происходит по закону установившегося движения.

_/__г

' 1 2 3 4 5 6 7 8 9'10 1112 13 14 1516 17 18

Рис. 2. Распределение температур при различной разбивке на элементарные объемы

При таком рассмотрении процесса обмена между блоками с переходом к пределу превращение, блоков в бесконечно малые объемы приводит уравнения балансов к дифференциальным уравнениям в частных производных и принятые допущения не нарушают строгости решения.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Волынский Б. А., Бухман В. Е. Модели для решения краевых задач. М., Физматгиз, 1960, стр. 446.

2.    Волынский Б. А. О теории замещения в сеточных электромоделях для решения краевых задач. В сб. «Вопросы вычислительной математики и вычислительной техники». М., Машгиз, 1963, стр. 251—258.

В. С. Лукьянов