К РЕШЕНИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОЛЯ НА СЕТКАХ ОМИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

К РЕШЕНИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОЛЯ НА СЕТКАХ ОМИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Еще сравнительно недавно считалось, что на электрических моделях с сосредоточенными параметрами (7?-сетка) можно решать лишь линейные задачи теории поля. Метод Г. Либмана [14], получивший дальнейшее развитие в работах Л. А. Коздобы [8], позволил решать нелинейные уравнения второго порядка в частных производных:

Однако решение указанным методом является весьма трудоемким, так как включает в себя процесс последовательных приближений, причем при переходе к очередному приближению необходимы пересчет и перезадание всех сопротивлений R-сетки. В ряде случаев этот метод непригоден из-за того, что требует использования серийного электроинтегратора или большого числа дорогостоящих магазинов сопротивления для получения R- сетки.

_д_

дх


В некоторых работах [2, 12, 6, 5, 10] для решения подобных задач успешно применяется интегральное преобразование следующего вида:

e=j4(<p)rf<p.    (3)

о

Введение новой функции 0 значительно упрощает решение задачи как аналитически, так и методами электрической аналогии [5, 6, 9, 10, 12]. В работе Карплюса «Моделирующие устройства для решения задач теории поля» для преобразования уравнения (2) в уравнение Лапласа вводится новая функция [13]

е = [Чф)]2    (4)

и задача решается методом конечных разностей, лежащим в основе электрического моделирования на R-сетках. Поэтому было естественно распространение методики, изложенной в работе [14], на решение задач на электрических аналогах.

Решение задач Дирихле и Неймана при Я Ф const не отличается от решения этих же задач при Я = const. При этом если на границе области заданы значения искомой функции ф = ф» (задача Дирихле), то для функции 0 получается граничное условие в виде 

0 = (а + &ф*)2.

Граничное условие II рода

ае

дп


для вспомогательной функции приводится к виду

= Щ*.

На модели воспроизводится поле функции 0, а переход от значений 0 к значениям функции <р осуществляется согласно зависимости

9 = 4-0/^-«).    (5)

ь

следующей из формулы (4).

Наибольший интерес представляет решение третьей краевой задачи, когда после преобразования по формуле (4) граничное условие

а(ф —Ф/) = —. становится нелинейным:

2а(Уё-Уё/) = --^~,    (6)

где а — коэффициент теплоотдачи;

Я — коэффициент теплопроводности;

0/ = (а + 6фг)2;    (7)

где <рf — функция, заданная на контуре.

В разностной форме уравнения (2) и (6) записываются следующим образом:

6s— l,t + 6s,/-f-l -Ь 0s,i— 1 — 40s>; = 0;    (8)

2cc[v<TM-V<$=--(9)

где s и t — номера строк и столбцов;

0м и Qn — значения функции 0 соответственно в граничном (точка М) ив ближайшем к границе (точка N) узлах;

h — расстояние между точками М и N [11].

Так как левая часть граничного условия (9) нелинейна, то моделирование обычным способом, т. е. на R-сетках, невозможно. Необходимо либо провести линеаризацию граничных условий, либо применить для моделирования нелинейные сопротивления. В настоящей работе рассматривается лишь первый прием.

Для линеаризации граничных условий необходимо квадратичную зависимость 0 = 0(ф) заменить на границе линейной зависимостью, которой может быть уравнение касательной к кривой 0 = 0(ср) в граничной точке

ч> = —'    (eiS+"-eii,) + s«,

26У6Й

где индексы k и k + 1 соответствуют (k) и (k + 1)-му приближению.

Тогда граничное условие принимает вид


[e£+i>_ ef+*>]


h


где

еГи = 0м + (ф/-ф^) 2 ь V вм ■

При электрическом моделировании на /?-сетке функция данного приближения известна во всех точках, кроме искомой, т. е. на модели задача решается не методом простой итерации, а частным случаем метода Зейделя. Докажем сходимость последовательных приближений к точному решению.

Для рассматриваемого случая уравнение Лапласа (в разностной форме), характеризующее поле точных значений функций 0, имеет вид

е'У0 = 0,25 (0s+u + ей1] + ей1! + 0Й'1).    (i i)

Введем обозначения:

д Mk) _    (k)

vs,t    — Ps,/

0M-e^=p^    (12)

и вычтем из уравнений (9) и (8) соответственно уравнения (10) и (11).

После преобразований получим

2а [Vbt ~    = -j [р$ - РЙ°]    (13)

И

РЙ° = 0,25 [р*ЭД + pf+|) + р*ЭД + pgfc»].    (14)

Если ввести обозначения

а =


а

W


(15)


подставить вытекающее

и в уравнение (13) вместо У$м= — из формулы (12) выражение

а

ам

а2 10.5 а0Н-П2


разложенное в биномиальный ряд, то уравнение (13) примет вид

h ИЙТ


р(*+1)+/га<*+1)р^+1)

*[<+1)]5


+


8а4


[ОЙ1’’]


[РЙ’ЧЧ


■=РЙ


(16)

Введем обозначения:


и примем, что


р* = тах|р$|; vft = ma хо®

(17)

— v2 = <7< 1.

а2 *

(18)


При этом каждый последующий член левой части уравнения (16) будет меньше предыдущего и, отбрасывая в левой части все члены, начиная с четвертого, мы тем самым уменьшаем левую часть. Следовательно, после некоторых преобразований и перехода к абсолютным величинам можно записать следующее неравенство:

1 г    h Нй+Т


К+1)|- 1 + ^+п.


д+о


<К>|.    (19)


Учитывая неравенство (18), заметим, что выражение в квадратных скобках больше единицы. Тогда

1


8 =


<1.


h

7


1 +


9%+1)


Используя формулу (17) и принцип максимума |р^| ^ рл [1], перепишем неравенство (19) следующим образом:

Аналогично можно записать неравенства:

Pi < бр0-

Отсюда следует неравенство

Ра < б*Ро-

Еслиоо, то р&->-0 и 0($->0м.

Таким образом, доказана сходимость последовательных приближений к точному решению для граничных узлов. Этого оказывается достаточно, так как для функции р, как уже было отмечено, справедлив принцип максимума (|ps<^ | ^ Ра), т. е. если показана сходимость для граничных узлов, то это тем более справедливо для внутренних узлов.

В процессе доказательства сходимости величина шага сетки не вошла в последние неравенства. Из этого можно сделать вывод, что доказательство в одинаковой степени справедливо для всех й, т. е. разностная схема корректна, а следовательно, нет необходимости проверять устойчивость по граничным условиям [1].

При электрическом моделировании для граничного узла электрической модели (рис. 1) можно записать закон Кирхгофа, если сделать допущение, что ток, поступающий в граничный узел, равен току, идущему из узла М в соседний граничный узел N:


Ra


J-(VM-vf) = -L(VN-vM),


(20)

где Ra — внешнее сопротивление, моделирующее граничные условия; г — сопротивление сетки между узлами М и N; Ум, Kw, Vf — потенциалы соответственно в граничном узле, в узле, ближнем к граничному узлу, и потенциал, моделирующий функцию 0/.

Выведем критериальные зависимости, определяющие подобие граничных условий III рода электрической модели и моделируемого явления.

Если ввести безразмерные величины

0 0mit


0


0п


•е„


V =


vn


(21)


то уравнения (10) и (20) в безразмерной форме примут соответственно следующий вид:


Примем


к»»

(§s+,,-e;STi1] „


-т— [Ум — Vj] = —(V N — Км).

да    Г

Ум = те 0м+1);    = таа;


Ra


(22)

(23)

(24)


где me, ma и тн — масштабные коэффициенты.

Используя зависимости (24), перепишем равенство (23):

таа [0$+,) - 0f+,)] =mh\ — ём+1)] •    (25)

Сравнивая уравнения (25) и (22), находим, что они идентичны, если выполняется условие

-Й- Ve»=i-    (26)

Подставим значения та и /пл, из формулы (24) в равенство (26):

aRaho.

Из этого выражения определяется величина сопротивления, моделирующего граничное условие:

R<*+1) = J_ УЩ'    (27)

ah

На практике при решении конкретной задачи необходимо задаться каким-либо значением 0$>, например при Я = const. Далее, определив по формуле (27) величину граничного сопротивления, компонуем модель и снимаем поле функции 0 (первое приближение). Полученное значение функции 0м} на границе дает возможность найти по формуле (21) абсолютное значение функции 0^ и, следовательно, новое значение граничного сопротивления Ra по формуле (27). Снимается новое поле функции 0, которое будет вторым приближением и т. д. При этом надо помнить, что с каждым приближением согласно формуле (10) несколько меняется значение 0/, а следовательно, 0Шах и 0mm в формуле (21^, что сказывается на переводе относительных значений функции 0 в абсолютное 0, который необходим для определения величины граничного сопротивления.

Таким образом, очередное приближение заключается лишь в пересчете граничных сопротивлений и перезадании их на модели, что не вызывает больших трудностей, если использовать переменные сопротивления типа СПО или СП.

Вся остальная сетка может быть набрана из постоянных сопротивлений, что особенно необходимо при отсутствии электроинтегратора или сетки переменных сопротивлений.

В качестве примера была решена задача стационарной теплопроводности с учетом зависимости коэффициента теплопровод-

57

ности от температуры для полуограниченного тела из сложнолегированного никелевого сплава (коэффициент теплопроводности X = 3,45 -10“2 Т — 3,6), охлаждаемого системой щелевых каналов

Рис. 2. Полуограниченное тело:

•S — шаг каналов; Н — заглубление ка

с шагом s = 36 мм (рис. 2). На рисунке штриховой линией обведен моделирующий элемент. Температура греющей среды Тг = 1073° К; температура охлаждающей среды Т0 = = 373° К.

Модель набиралась из активных сопротивлений г = = 150 ом. Контур согласно теории замещения [3] набирался из сопротивлений г = 300 ом. Схема модели показана на рис. 3.

На рис. 4 показано распределение температуры в полуог-раниченном теле в сечении,

JHJO

расположенном на расстоянии х — 0,5s от оси ординат для второго и третьего приближения, которые на графике сливаются в одну кривую. Такая близость значения 2-го и 3-го приближе-

Рис. 3. Схема электрической модели полуограниченного тела; сопротивления:

1 — 150 ом\ 2 — 300 ом\ 3 — переменные (для моделирования граничных условий)

К делителю напряжений

100    50

ний при условии, что первое приближение делалось для

1 2

X = const =-Г ЫТ,

7\» — Т0 J

показывает достаточную эффективность примененного метода, который практически позволяет при решении ограничиться двумя приближениями. Для сравнения на рисунке штриховой линией нанесены результаты решения той же задачи на электро-

Рис. 4. Распределение температу-ры в полуограниченном теле в сечении, расположенном на расстоянии х = 0,5 s от оси ординат

литической ванне [5], которые весьма мало отличаются от результатов, полученных предлагаемым методом.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. М., Физмат-гиз, 1959, стр. 354—372.

2.    Варшавский Г. А. Определение тепловых потоков в твердом теле при стационарном режиме для случая, когда коэффициент теплопроводности является функцией температуры. «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1936, № 3, стр. 3—23.

3.    Волынский Б. А., Бухман В. Е. Методы для решения краевых задач. М., Физматгиз, 1960, стр. 446.

4.    К а п и и о с В. М., Мацевитый Ю. М. О решении задачи стационарной теплопроводности с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры методом сеток. «Известия вузов. Энергетика», 1965, № 5.

5.    К а п и н о с В. М. Решение задач стационарной теплопроводности с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры методом ЭТА. «Теплоэнергетика», 1960, N° 11, стр. 74—79.

6.    К а п и н о с В. М., Мацевитый Ю. М. К определению стационарного температурного поля с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. «Известия вузов . Энергетика», 1959, № 11, стр. 123—126.

7 Карплюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля. М., Изд-во иностр. лит., 1962, стр. 461.

8.    Коз д об а Л. А. О применении измерительных схем интеграторов ЭГДА-6/53 для исследования температурных полей на переходных режимах. «Известия вузов. Энергетика», 1960, № 1, стр. 103—110.

9.    Кудряшев Л. И., Темников А. В. Об одном приеме решения не

линейных задач нестационарной теплопроводности на сеточных электроинтеграторах. Труды Куйбышевского авиационного ин-та, вып. 12,    1961,

стр. 41—54.

10.    Кудряшев Л. И., Темников А. В., Веселов В. П. Исследование нелинейных задач нестационарной теплопроводности с помощью электронных моделей. Труды КУАИ, вып. 12, 1961, стр. 13—34.

11.    Панов Д. Ю. Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных производных. М., ГИТТЛ, 1950, стр. 183.

12.    Страхович К. И. Некоторые задачи теплопроводности в твердых телах с переменными теплофизическими характеристиками. ИФЖ, 1958, № 3, стр. 3—23.

13.    Шнейдер П. Дж. Инженерные проблемы теплопроводности, М., Изд-во иностр. лит., 1960, стр. 141—150.

14.    L i е b m a n n G. A. A new Electrical Analog Method for the Solution of Transient Heat—Conduction Problems «Transaction of the A'SIME», v. 78, 1956, № 3.

А. П. Спалвинь