АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЕЙ В НЕОДНОРОДНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЕЙ В НЕОДНОРОДНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ

Стационарные краевые задачи поля очень просто решаются моделированием на сетках омических сопротивлений. В начальный период развития цифровых вычислительных машин моделирующие устройства типа сеток имели неоспоримые преимущества перед другими моделирующими устройствами с точки зрения наглядности хода решения, стоимости оборудования, отсутствия необходимости в программировании. Однако в результате бурного развития цифровой вычислительной техники, методов вычисления и программирования решение краевой задачи выгоднее производить средствами дискретной вычислительной техники, так как существующие сетки не автоматизированы и подготовка задачи и съем решения на них занимают много времени.

Почти всегда основная область сетки состоит из регулируемых сопротивлений. Рассмотрим прямоугольную сетку размеров к X /, где к — число узловых точек по горизонтали, а I — число узловых точек по вертикали. В такой сетке имеются 2к1 — (/с + /) -сопротивлений. Пусть сетка содержит к1 тококорректирующих сопротивлений (под словом «тококоррекция» здесь понимается как ввод, так и вывод тока из узловых точек сетки). Тогда, если считать, что все вышеупомянутые сопротивления регулируемые, то необходимо иметь 3к1 — (к + /) таких сопротивлений. Оказывается, что на сетке, основная область которой состоит из равных между собой и постоянных нерегулируемых сопротивлений, но с наличием к1 регулируемых тококорректирующих элементов, возможно моделирование таких же полей, как на сетке, все сопротивления которой регулируемы. Применение такой упрощенной схемы сокращает число переменных сопротивлений.

Количество сопротивлений на одну узловую точку сетки

Из формулы видно, что практически величина В лежит в пределах 2,5—3. Например, при к = / = 10 В = 2,8. Кроме сокраще-60

ния числа необходимых регулируемых сопротивлений, схема легче поддается автоматизации, так как техническая реализация тококор(рекции значительно легче, чем реализация регулируемых сопротивлений основной области сетки.

Пусть требуется решить плоскую стационарную краевую задачу, решение которой удовлетворяет уравнению

v(/v<p) = 0,    (1)

где f — f(x,y, ф,    —функция, характеризующая прово

димость среды;

Ф = Ф (х, у) — потенциал поля.

с погрешностью по- Рис. 2. К выводу разностного рядка А2    уравнения с погрешностью поряд

ка А4


После несложных преобразований уравнения (1) получим

УФУ f

f


У2Ф = —


(2)


Из выражения (2) видно, что решение стационарной краевой задачи всегда можно свести к решению уравнения Пуассона в однородной среде (/ = const). На основе этого заключения была разработана и опробована схема, о которой говорилось выше.

Раскроем уравнение (2):

д2? ,    ___}_    _&Р_ , _df_ _^Ф_\    /3\

дх2 ду2    f \ дх дх ду ду }

Уравнению (3) в узловой точке сетки с шагом h (рис. 1) соответствует разностное уравнение

L),    (4)

ду    2 h

Ф1 + фг + Фз + Ф4 — 4фо __1 / df Фг —ф4 | df (р, — <р3 '

Л2    f \ дх 2Л

откуда получаем

Фо

= ^-{фх+Фг + Фз + Ф4+ ^[(ф2—Ф4)-£- + (ф1—Фз)-^- ).

(5)

Формула (5) имеет погрешность порядка h2. Порядок погрешности повышается до h4, если применить более сложную формулу для расчета потенциала фо (рис. 2):

Фо =    {[1 + h ('йу ~ ~7~)]'Ф:1 [:1 + h ('а* ~ ~7~)]Фг +

+ [1-/г(а,-^)]фз+[1-й(а,--^-)] ф4} + ^-{[1 +

+ Фх + ^)j Ф5+    Фх — Ьу) Фе +    --Фх + by) J Ф, +

+ [! “ Т (6* ■“ V] Фз} + ^[-(Ч-by) Фэ — (2ах — К) Фю +

+ (2а„ — 6,) Фи + (2ах — Ьх) ф12],    (6)

где коэффициенты ах, ау и Ьх, Ьу можно найти из следующих соотношений:

(7>

у grad f + у- |^Л (у) grad f + у grad (Af) j = iax + }ay;

у grad f = ibx + jby

В случае решения уравнения Лапласа (/ = const) точность формулы (6) получается порядка ft6.

Алгоритм решения любой стационарной краевой задачи на сетке с тококоррекцией следующий:

1.    При заданных краевых условиях в качестве нулевого приближения к решению принимается распределение потенциалов, которое возникает в случае решения уравнения Лапласа (все тококорректирующие сопротивления отключены).

2.    Поочередно в каждой узловой точке на основе измерений соответствующих потенциалов по формуле (5) вычисляется потенциал ф0. Тококоррекцией добиваются равенства фактического потенциала сетки <р0 расчетному. Обход области продолжается до тех пор, пока расчетный потенциал в каждой узловой точке имеет отклонение от фактического измеряемого потенциала, не превышающее заранее заданную величину е.

3.    Если есть необходимость повысить точность решения до порядка ft4, то расчет потенциала ф.0 следует ввести по формуле (6).

Вышеизложенный алгоритм опробован для многих важных видов функции /. Сходимость к решению всегда имела место.

Ниже приводятся выводы, сделанные из решений задач для некоторых видов функции /.

1.    f = const.

Применением 2-го пункта алгоритма можно устранить те погрешности, которые возникают из-за неточности сопротивления основной области.

Применением 3-го пункта алгоритма точность решения уравнения Лапласа повышается до h6.

2.    f = f(x,y).

В качестве простого примера приведем случай f = х (полярная сетка с аксиальной симметрией). Уравнение (5) принимает вид

1

Рис. 3. К выводу разностных уравнений для границы двух сред

?• = т[л +(1 + ^)ч'! +

+ ,ps+(1“£K’

а коэффициенты ах, ау, Ьх, Ьу в уравнении (6) соответственно принимают вид

Формулы (5) и (6) непригодны в том случае, когда частные производные функции и имеют разрыв. Пусть две среды обладают постоянными проводимостями fi и /2 (рис. 3), тогда потенциал фо следует рассчитывать по формуле

2 ft

fi + h


2fi

f i 4- h


)•


Фг + Фз +


Ф4


Из формулы ясно, что если нет необходимости устранить ошибки, возникшие из-за неточности сопротивлений основной области сетки, то корректирующие токи следует вводить только в те узловые точки, через которые проходит граница раздела сред (предполагается, что она проходит только через узловые точки). Автору удалось с помощью тококоррекции промоделировать даже вырожденные случаи неоднородности среды. Например, область имеет короткозамкнутые участки (fKOp = 00) или вырезы

(fвыр = 0).

3. / = /(ф).

Уравнение (3) в этом случае принимает вид

д2Ф , дЧр_ __1 df_ Г/^ф у , /_дф_Х2"

дх2    ду2    f д<р _ \ дх )    \ ду )

а уравнение (5) будет следующим:

Фо = 7"{ф1 + ф2 + Фз + Ф4 +    [(ф2 — ф4)2 + (Фх— Фз)2]]-

Интересно отметить, что в случае, когда / = / (<р), систему разностных уравнений вообще невозможно точно решить на сетке, которая не имеет токоввода.

Если функция f одновременно зависит не только от координат л; и у, но и от потенциала <р и частных производных —, — ,

дх ду

то уравнения (5) и (6) могут иметь весьма сложную структуру.

Кроме приведенного алгоритма решения, существует множество других, представляющих собой видоизменения описанного алгоритма, который обладает наибольшей устойчивостью. В этих случаях можно, например, рассчитывать величину тококорректирующих сопротивлений или применять групповую регулировку этих сопротивлений.

Если проводящая среда / = /(*, у) неоднородна, то способ моделирования тококоррекцией по сравнению с обычным способом моделирования имеет большую трудоемкость, так как требует итеративного процесса установки тококорректирующих сопротивлений. Если не нужна высокая точность (число е велико), или

f

степень неоднородности невысока (2    ^ 0,5), или требуемая

?2

неоднородность уже приблизительно набрана на основной области сетки с помощью регулируемых сопротивлений, то, пока нет быстродействующих автоматизированных сеток, целесообразно применить описанный алгоритм на существующих сетках, так как в перечисленных выше случаях число шагов итеративного процесса невелико.

В случаях нелинейности проводящей среды моделирование на сетке с тококоррекцией выгоднее, чем моделирование краевой задачи на сетке с регулируемыми сопротивлениями основной области, так как уменьшается число переменных элементов и процесс итерации сходится к решению быстрее.

В заключение следует еще раз указать на важное обстоятельство, что сетка с тококоррекцией сравнительно легко поддается автоматизации и может стать основным счетно-решающим элементом специализированного быстродействующего вычислительного устройства, включающего в свой состав и цифровую вычислительную машину.


ЛИТЕРАТУРА

1.    Волынский Б. А., Бухман В. Е. Модели для решения краевых задач. М., Физматгиз, 1960, стр. 56—77.

2.    Кар плюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля. М., Изд-во иностр. лит., 1962, стр. 211—250.

Р. Ш. Нигматуллин, Е. Ф. Базлов