РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЕ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЕ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ

Для решения задач линейной, сферической и цилиндрической диффузии с равновесными начальными и краевыми условиями первого и второго рода предлагается использовать операционные усилители со специальными 7?С-двухполюсниками на входе или в цепи обратной связи усилителя. В табл. 1 приведены рассматриваемые уравнения, а также начальные и граничные условия, при которых они решаются.

Использовав для решения указанных задач преобразование Лапласа [5], перейдем от уравнений в частных производных к уравнениям в полных производных. Решения вновь полученных уравнений могут быть записаны в следующем виде:

а)    для граничных условий первого рода

C(w,p) — — =\FiP) — ^-\^g{w,p);    (1)

р L    Р J

б)    для граничных условий второго рода

C(w,p)--y = Q(р)Zg(w, р).    (2)

Кроме того, значение функции на поверхности связано с градиентом соотношением

 К, р) — — = Q (р) Z (р).    (3)

р

В приведенных решениях введены обозначения: р — независимая переменная в плоскости изображений; w — пространственная координата; х, г, W\ — функции, преобразованные по Лапласу (х — для линейной диффузии, г — для сферической и цилиндрической wi = 0 для полуограниченного тела, w\ = R — для неограниченной пластины и Ш| = г0 — для шара и цилиндра).

С — изображение искомой функции (концентрации) по Лапласу; с — начальные значения; q — заданный поток;

Q — его изображение;

/ — заданная функция;

F — ее изображение.

Функции Kg(w, р), Zg(w, р) nZg(p) при использовании общих решений {5] и граничных условий, заданных в табл. 1, могут быть приведены к виду, представленному в табл. 2.

5 Заказ 1148

Первое граничное условие


Вид диффузии


Уравнение


Область решения


Начальные

условия

Граничное условие II рода


Второе граничное условие


Полуограниченное тело


с (0,0 =/(О


dc (о, о


Линейная


dC (*» *) __ D д2С (х* 0


dt


дх2


С (х, 0) = С


dx


= ч( 0


С (оо, t) — c


Неограниченная пластина толщины R


С (R, t) — f (0


dC (Rt) dx


= q(t)


dC (0, t) dx


= 0


дС (r, t)


Шар радиуса r0


Сфери

ческая


= D


dt

d2C (r, t)

~d72


+


2d

+ — C(r,t) rdr


dC (r, t) dt


= Dx


Полый шар радиуса r0 и толщиной стенки г0


Внешняя область шара радиуса г0


Цилиндр радиуса r0


dC (0, t) dr


= 0


С (г, 0) = С


dC (r0, t)


dr


= я it)


dC (Гр r0t)


dr


C (oo, t) = C


dC (0, t) dr


= 0


Цилинд

рическая


Г d2C (r, t) , 1

xh?-+Tx


dC (г, t) dr


Полый цилиндр радиуса r0 и толщиной стенки г0


dC (r0 — r0t)


dr


= 0


Внешняя область цилиндра радиуса г0


С(оо, t) = C


Воспользовавшись теоремой о свертке

fi (р) Ш)~* j fi (t — Т) f, W dr,

0

получим оригиналы выражений (1) — (3), т. е. искомые решения:

_ t

C{w, t) —с= j [f(r)—c]Kg(w,t — r)dr;

о

t

C — с = j1 q(r)Zg(w, t — x)dr;

о

t

C (wr, t) — c = j* q(r)Zg(t — t) dr. о

Поскольку решения в явной форме могут быть получены лишь для некоторых частных случаев, то естественным является использование электрической модели.

Выражения (1) — (3) аналогичны соотношению между входными и выходными напряжениями операционного усилителя

Ue»AP) = K(P)VeuX(P),    (4)

где К(р) = Z2(p)/Zi{p); Zx(p) и Z2(p)—операционные сопротивления на входе и в цепи обратной связи усилителя соответственно.

Сравнивая выражения (1) — (3) с формулой (4), видим, что для решения формул (1) — (3) с помощью электрической модели надо иметь усилители с коэффициентами передачи Kg(w, р), Zg (w, p)IR иZg(p)/R.

Таким образом, чтобы получить решения диффузионных уравнений на электрической модели, надо иметь операционные сопротивления вида RKg(w, р), Zg(w, р) и Zg(p), представляющие собой в общем случае #С-цепи с распределенными постоянными [3]. Приближенно их можно представить /?С-двухполюсниками с сосредоточенными параметрами.

В общем виде сопротивление такого двухполюсника выражается следующей дробно-рациональной функцией [3]

(5)

апрп + ап-\РП ’ + aiP + gp

обладающей следующими свойствами:

1)    она является положительной вещественной функцией;

2)    мнимая часть ее отрицательна; вещественная часть является равномерно убывающей функцией.

Область решения

Kg (w, Р)

2^.(0», p)

Vp)

Полуограни-ченное тело

.-v*‘

1

e

Vt

,/z

V D

Неограниченная пластина толщины R

chj/ 7Г*

ch]/ IT*

1

ch|/it*

Vilh/

Шар радиуса Го

r°sh]/ ~Fr

r0 sh Лг

1

psh |/ "d~r°

rA cth Ar0— — sh Ar0 ro

Полый шар радиуса г0 и толщиной стенки г0

г0(м stc^/" ^г-yvchj/

r\ (M shAr—N ch Ar)

r0 (M sh Лг0 — N ch Ar0)

r ^Mshy^| r0—N ch r0j

r (MB — C — Nr A sh Ar0 — E)

M (r0£ — C — Л/г0Л sh Ar0 — E)

Внешняя область шара радиуса г0

'о Jr° - г) V-W

Г

«•о - г) ]/ _Р_

г0е К D

-| е

- |

Ч

Цилиндр радиуса г0

'•/Т’

'•(/ о й

'•(УЧ'О

■/£'■(/ -й

V -й/й

Полый цилиндр радиуса г0 и толщиной стенки г0

Ki.AFl0(Ar) + Il(AFKa) Ar

АТ, Л/=70 (А-) + /, (ЛЯ0) Лг

KiAFI0 (Лг0) + /х (AFKtAr„)

KiAFI0Ar0 -f I iAFK0Ar0

ЛА^ЛА7/, (Лг0) - /х (AFKtAr,)

AKiAFIх (Лг0) /х (Л/7) А:хЛг0

Внешняя область цилиндра радиуса г0

В таблице при М = {rQ — г 0)

*•(/£')

к°(Утг)

K.j/f,.

няты следующие обозначения:

В = г0ДсМг0; С = shi4r0; Е = chAr0; ^

3"sh IT (г° ~^о) - ch (г°

/оЧ/Й

^ = (г0-70);

-г0); А/ = (г0 — г0) ch |/"(г0

/Й/Й

— Г0) “ sh (Г0 — г0)

Функция Z(p) дает возможность синтезировать четыре типа /?С-двухполюсников: по двум формам Фостера и двум формам Кауэра [2].

Предлагаемый метод использован для решения задач теории полярографии. Теория полярографии [4] изучает зависимость тока электрохимической ячейки с поляризованным микроэлектродом от прилагаемого к ней напряжения произвольной формы. Эта задача сводится к решению системы двух параболических уравнений для концентраций окисленной и восстановленной фазы, связанных нелинейными краевыми условиями Тафеля или Нернста. Граничные условия усложняются необходимостью учета нелинейной емкости двойного электрического слоя и объемного сопротивления раствора. Ток, протекающий через ячейку, линейно связан с потоком ионов через поверхность микроэлектрода.

В качестве примера можно рассмотреть задачу о нахождении тока i(t), протекающего через ячейку, в зависимости от внешнего напряжения е(£) для случая твердого сферического электрода.

Сформулируем краевую задачу.

Система уравнений для концентраций окислителя C\(r\t) и восстановителя C2(rxt) в сферической системе координат запишется

С, (г, t) = Dv [ Cv (г,    +    (г, О] (v = 1,2).    (6)

Предполагая начальное распределение концентрации равномерным, получаем

Cv (г, 0) = Cv = const.

На достаточно большом расстоянии от поверхности микроэлектрода концентрация за время электролиза остается неизменной:

Cv (оо, t) = Cv •

Уравнение Тафеля связывает концентрации Ci(r0, t) и C2(r0, t) на поверхности микроэлектрода с диффузионным током id(t) и потенциалом электрода Ed(t):


t)

Ci


C, (fo> 0

C2


id (t) = h


exPped(0,


exp azd(t) —


где

*Д0 = *(0 —


8<i (0 = 8 (0 —    (0-


Известно также, что


^C2(r0,t)-


id(t) . nFSDx * id(t) nFSD2


где D\ и D2 — коэффициенты диффузии окислителя и восстановителя;

го— радиус микроэлектрода;

Ro — объемное сопротивление раствора; фо(е<г)—нелинейная емкость двойного электрического слоя;

пР—количества протекшего электричества;

S — площадь электрода;

*о> а, Р —характеристические постоянные.

Применив преобразование Лапласа к уравнению (6), а также к начальным и граничным условиям, получим

f dip)


1


С, (г0, р)--- = =F


(7)


nFS —    D-,

VPD,+-

Го


где преобразованные по Лапласу функции обозначены прописными буквами. Найдя оригиналы выражения (7) и подставив их в уравнение Тафеля, получим

ML = ех№. ГnFSC, i0    nFSC1 L    dt J Dx

о

X

1 — exp V~x)Dl erte 1 f Dl id (t) dx r0 *

1 — exp -—erte x

_ _exp^rf_ ГnFS£ +_d_ Г Тщ_

nFSC2 L ‘ dt J Da

0

(8)


id(x)dx.


г    ГП

Построим электрическую модель, позволяющую найти зависимость i(t) от e(t). Электрическим аналогом диффузионного сопротивления

1

__ D.

V*>- + -FT

является полубесконечный #С-кабель, зашунтированный активным сопротивлением [6]. Входное сопротивление такого двухполюсника

1


(9)


Zv(/>) =



1


где Cv и Rv—распределенные емкость и сопротивление RC-ка+ беля;

RMv — шунтирующее активное сопротивление.

Если Zv (р) включить в цепь обратной связи операционного усилителя, на входе которого стоит активное сопротивление гм^у то входное и выходное напряжения будут связаны соотношением


(10)


иеыЛР) =


Оригиналом уравнения (10) является

d

dtM


X

X Uex(xM)dxM.


Видим, что указанный операционный усилитель совершает ин-тегродифференциальное преобразование, аналогичное содержащемуся в уравнении (8).

Рис. 1. Блок-схема вычислительной машины для решения уравнения диффузии


Таким образом, схема модели, предназначенная для решения: поставленной задачи (рис. 1), кроме обычных элементов аналоговых машин (нелинейные функциональные преобразователи* множительные устройства и т. д.), содержит рассмотренные операционные усилители.

Поскольку физически трудно реализовать электрическую цепь, имеющую входное сопротивление, определяемое по формуле (9), использовалась равномерная цепная /?С-линия, моделирующая /?С-кабель в определенном диапазоне частот. Число элементов этой RC-линии определяет нижнюю граничную частоту, а постоянная времени т = RC — верхнюю частоту [1].

Рис. 2. Осциллограмма решения

На рис. 2 показана осциллограмма решения приведенной задачи. Погрешность, определяемая сравнением с теоретическими данными (для чего были решены контрольные задачи), не превышала 6 %.

Подобным же образом могут быть решены задачи для ртутного шарового, пленочного, сферического и цилиндрического электродов.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Базлов О. Ф„ Нигматуллин Р. Ш. «Решение краевых задач диффузии». Труды Казанского авиационного института. Вып. 73, 1963, стр. 65.

2.    Балабанян Н. Синтез электрических цепей. М.. Госэнергоиздат, 1961, стр. 63.

3.    Карплюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля. М., Изд-во иностр. лит., 1962, стр. 394.

4.    Крюков Т. А., Синякова С. И., Арефьева Т. В Полярографический анализ. М., Госхимиздат, 1959, стр. 56—110.

5.    Лыков А. В. Теория теплопроводности. М., Гостехиздат, 1952. стр. 337—370.

6.    Нигматуллин Р. Ш. Общее уравнение и электрический аналог электрометрической ячейки со сферическим стационарным электродом. ДАН, 151, № 6, 1963, стр. 1383-1386.

Л. В. Ницецкий