АЛГОРИТМЫ ПРИ ЦИФРО-АНАЛОГОВОМ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

АЛГОРИТМЫ ПРИ ЦИФРО-АНАЛОГОВОМ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

1. Область применения алгоритмов

При решении широкого класса краевых задач для уравнений Лапласа, Пуассона и нестационарной теплопроводности целесообразно применять автоматизированный цифро-аналоговый ком-

73

плекс [5], который содержит замкнутую систему следующих блоков (рис. 1):

1)    сетка постоянных сопротивлений средней точности или сетка, регулируемая грубыми скачками, порядка 1 : 10; сетка включает также набор сопротивлений Rt‘,

2)    измерительный коммутатор ИК с бесконтактными ключами и электромагнитными реле для выбора крупных групп:

y>tf

или

Ввод Вывод

Рис. 1. Примерная блок-схема цифро-аналогового ком'

плекса

3)    аналого-цифровой преобразователь АЦП;

4)    универсальная или специализированная цифровая вычислительная машина (возможны и аналоговые вычислительные устройства) ;

5)    дешифратор адреса команды ДАК\

6)    цифровые управляемые сопротивления, соединяющие узлы сетки с источниками напряжения, которые используются главным образом как управляемые источники тока;

7)    управляемые делители напряжения (для автоматической установки граничных условий и для решения уравнения теплопроводности по методу Либмана).

Учитывая примеры успешного применения подобной системы при решении задач электронной оптики {1] и перспективы созда-74

ния более универсальной системы в будущем, нами разрабатывались алгоритмы решения некоторых краевых задач, предусматривающие работу на таком цифро-аналоговом комплексе. Алгоритмы применимы и проверялись без устройств автоматизации, но при этом требуется большой объем однообразной работы.

2. Режим устранения погрешностей элементов

Чередуя решение на сетке с вычислениями, можно с любой заданной точностью приблизиться к точному решению разностных уравнений, аппроксимирующих уравнение Лапласа, даже при весьма значительных отклонениях сопротивлений сетки от расчетных значений.

Подобный метод применялся при решении систем линейных алгебраических уравнений, при решении задач теории упругости [3] и для решения уравнения Лапласа на сетках сопротивлений [6].

Последовательность решения уравнения Пуассона следующая:

1)    Решая задачу на сетке, измеряют потенциалы <рм, т. е. фь ф2>-.- во всех узлах сетки (рис. 1).

2)    Вычисляются токи для всех узлов сетки

in    0)

k

Здесь и далее <р& — потенциалы соседних точек, соединенные с точкой / ветвью gk (на рис. 1 показаны только k — 1 и k = 2);

gk — расчетные значения проводимости соответствующей ветви сетки;

Gk — реальные значения проводимости.

3)    Рассчитываются узловые токи поправок

А = // = /;'!.    (2)

где Ij — ток, соответствующий правой части уравнения Пуассона.

4)    К узлам сетки подводится система токов

Л = Фб/.    (3)

Полагаем, что уровень потенциалов Ф намного выше уровней потенциалов в узлах сетки, при этом на сетке устанавливаются нулевые граничные условия.

5)    Измеряются потенциалы узлов сетки г|?м1 (как правило, уже в увеличенном масштабе), являющиеся поправками.

6)    Вычисляется первое приближение к решению

Флп = <РМ + ^лп •    W

Если полученная точность не удовлетворяет поставленным требованиям, процесс уточнений можно продолжать.

7)    Вычисляются токи для всех узлов сетки

^12 = 51 (^мю    ^лт) Sk    (^)

k

аналогично вычислениям по формуле (1).

8)    Вычисляются недостающие разности узловых токов

h = l    (6)

9)    В узлы сетки вводятся токи /2 = <DG0.

10)    Измеряются потенциалы фМ2 (они будут достаточно высокого уровня, если правильно выбран масштаб токов /2).

И) Вычисляется уточненный результат

<Рм2 = Ч>М + %1+Ум2-

12) Вычисления и моделирование повторяются до достижения требуемой точности. Например, при сопротивлениях с допуском ±5% погрешность при решении контрольных одномерных задач уменьшалась примерно в 20 раз в каждом приближении. Шестое приближение дало погрешность 10_6%.

Сходимость процесса зависит от погрешностей элементов и иногда прекращается при обрывах и замыканиях ветвей.

3. Режим использования более точных разностных операторов

Описанный выше алгоритм чередования решений на сетке и вычислений можно модифицировать следующим образом: экспериментальную часть производить на квадратной или кубической сетке с погрешностью конечно-разностной аппроксимации порядка Л2, а расчет токов невязок — по разностным операторам с погрешностью порядка Л6. Получаемое при этом решение разностных уравнений значительно ближе к точному решению уравнения Лапласа ф.

Аналогично использованию двухмерного разностного оператора [2] можно при решении трехмерных задач применять оператор, соответствующий сетке с сопротивлениями R обычного расположения, с сопротивлениями Ra = 42/37? в диагоналях квадратов (граней кубов) и с сопротивлениями RD = 14R в пространственных диагоналях кубов. Порядок погрешности такой сетки /г6. При Ra = 2R и Rd = оо, а также при Ra = °о и RD = 8R погрешность получается порядка /г4.

Указанная сетка позволяет при удвоении шага сэкономить число элементов и уменьшить погрешность вдали от особых точек поля (например, при удалении от источника тока на у > 4h).

4. Моделирование неоднородной и нелинейной среды на сетке постоянных сопротивлений

Режим устранения погрешностей элементов можно использовать при наборе неоднородностей равными сопротивлениями. Погрешность при этом компенсируется настраиваемыми узловы-выми токами. Это позволяет переменные сопротивления заменить постоянными или ограничиться грубым изменением сопротивлений (порядка 1 : 10) для улучшения сходимости.

Потенциалы Ф принимаются равными 0 или 100%, а алгоритм процесса последовательных приближений (по опыту А. П. Спал-виня) следующий:

1.    Измеряются потенциалы <р0 и ерь.

2.    Рассчитывается вспомогательная величина

фо=£ф*£*.    (8)

k

где gk — расчетные проводимости.

3. Рассчитывается и затем устанавливается проводимость для следующего приближения:

Go

Фо-Фо Ф—Фо

(9)

Если Gk = f\(x, уу z), то токи вводятся во все узлы. При этом число переменных сопротивлений уменьшается в 2—3 раза.

При нелинейности среды необходимо учитывать, что величины gk являются функциями ф.

При решении тринадцати различных задач с сильной неоднородностью при числе токовводов от 7 до 30 требовалось выполнить 3—20 итераций (в среднем 10—12).

5.    Подбор граничных условий

Подбор нелинейных граничных условий путем ряда последовательных приближений был осуществлен в следующем примере.

При решении стационарной задачи теплопроводности для задания граничного условия

— = сГ4    (10)

дп

требовалось регулировать 11 переменных сопротивлений.

При решении вручную и при удачном нулевом приближении потребовалось три цикла по 30 мин каждый.

6.    Контактные задачи теории упругости

Для расчета гибкой плиты на упругом основании известная модель неоднородного бигармонического уравнения Г. М. Максимовым была преобразована в трехмерную модель упругого осно-

77

вания [7] так, что токи, моделирующие внешние нагрузки, проходили через одни и те же сопротивления. Эти сопротивления поочередно настраивались по нуль-индикатору, контролирующему равенство прогиба плиты и осадки основания.

При автоматическом регулировании процесса решения необходима непрерывная и быстродействующая связь модели и ЦВМ. Может оказаться целесообразным также разделение отдельных частей модели, что облегчит подбор масштабов.

7. Решение задач нестационарной теплопроводности

При решении задач нестационарной теплопроводности методом Либмана [4] в каждом следующем приближении устанавливается

Фя+1 = фО/i,    (И)

для чего в случае использования аппаратуры, представленной на рис. 1, требуется наличие автоматически управляемого делителя

Рис. 2. К формулировке краевой задачи о контактной сварке

напряжения для внутренних узлов сетки. Учету нелинейных свойств параметров среды соответствуют изменения проводимостей G0.

Метод Либмана в обычной модификации применялся для расчета плоскопараллельного и осесимметричного электротеп-лового поля, возникающего при контактной сварке [8].

Краевая задача формулировалась следующим образом (рис. 2).

Потенциал электрического поля в средах /, 2 и 3 удовлетворяет уравнению

у(ауф) = 0,    (12)

где а = а(Т) —электропроводность, зависящая от температуры. На линии АБ задано условие

= const,

но численное значение фаб заранее не определено. Через поверхность АБ вводится и через аналог бесконечно удаленной точки 78

Которое считается постоянным в заданный момент времени или в заданном небольшом интервале времени.

На поверхностях ДВА, БГЕ, ЗМК и ЖЛИ задано условие

На поверхностях ВГ и ЛМ заданы условия

в нижнем полупространстве (точки Я, Я, К) значение тока


отводится заданное (13)


J


(14)

= M<Pi — ф*);

д<р1 — гг *Р2

--"2-

дп    дп

дп


дф3

дп


— °k (Ф2 Фз)>


= О о


где Oft = Ок(ТМакс)—удельная проводимость контакта двух сред, зависящая от максимальной температуры, которая была достигнута в данной точке в момент времени, предшествующий или соответствующий рассматриваемому.

Температура в средах 1,2 и 3 удовлетворяет уравнению

v(XvT) = yc^r-w,    (15)

где

w = о (grad <р)2;    (16)

К = %{Т)—удельная теплопроводность, зависящая от температуры;

с = с(Т) —удельная теплоемкость, зависящая от температуры; у — плотность.

На поверхностях АБ и ИНК задано условие Т = 0, на поверх-

дТ

ностях ДВА, БГЕ, ЗМК и ЖЛИ — условие— = 0, или граничные

дп

условия третьего рода, а на поверхностях ВГ и ЛМ

K~- = ^2-^p- + ok((Pi —Ф2)2;    (17)

дп    дп

= h -х2- + °k (ч>2—Фз)2-дп    дп

Решение задачи осуществлялось путем многократного повторения следующих циклов:

1.    Измерение потенциалов электрического поля на сетке УСМ-1.

2.    Численный расчет на ЦВМ плотности источников теплового поля по формулам (16) и (17).

3.    Осуществление одного шага времени по методу Либмана на сетке активных сопротивлений.

4.    Перебор сопротивлений на моделях электрического и температурного полей в соответствии с зависимостями а (Г), Gk{Tmax)» Я»(Г) И с(Т).

Задача нестационарной теплопроводности решались также на сетке постоянных сопротивлений, отличающейся следующими особенностями:

1) Ток, подаваемый в узел сетки,

j _ Фо (t — At) — ф0 (t)    /jg4

Rt

представляется в виде суммы двух токов

г _ Фо (t

И

J = Фо (О

2 Rt ■

Ток 1\ вводится от источника тока, ток /2 задается сопротивлениями Rt (рис. 1).

2)    Изменение сопротивлений в зависимости от температуры компенсируется введением дополнительных узловых токов по принципу, изложенному в разделе 4. При этом возникает необходимость в дополнительных итерациях в пределах одного шага времени [9].

3)    Все точки, учитывая также влияние скрытой теплоты плавления или затвердевания, вводятся одним объединенным источником. Следовательно, за счет увеличения времени решения можно решать задачи нестационарной теплопроводности на сетке, содержащей только постоянные сопротивления и один регулируемый источник тока на каждую узловую точку. Это целесообразно в случаях, когда необходимо разработать модель минимальной стоимости, не считаясь с трудоемкостью решения, а также при высоком уровне автоматизации решения.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Блейвас И. М., Зелинский Э. М., Майоров Ф. В., М е р г и-е н к о В. И. Применение цифрового дифференциального анализатора для автоматизации процесса решения самосогласованных задач о поле и траектори-ях в электронных 'приборах. В сб. «Аналоговые методы и средства решения краевых задач». Киев, «Наукова думка», 1964, стр. 222—229 (Труды Всесоюзного совещания. М., октябрь, 1962 г.).

2.    Волынский Б. А., Бухман В. Е. Модели для решения краевых задач. М., Физматгиз, 1960.

3.    Головко М. Д. Решение двухмерных задач теории упругости на электрических эквивалентных цепях. В сб. «Аналоговые методы и средства решения краевых задач». Киев, «Наукова думка», 1964, стр. 85—104. (Труды Всесоюзного совещания. М., октябрь, 1962 г.).

4.    Коз д об а Л. А. Электромоделирование температурных полей в деталях судовых энергетических установок. Л., «Судостроение», 1964.

5.    Н и д е ц к и й Л. В. Блок-схема сеточной модели с самонастраивающимися элементами. Ученые записки. Изд. Рижского политехнического института. Т. 10, стр. 27—30.

6.    Н и ц е ц к и й Л. В. Оценка точности и уточнение результатов моделирования, полученных на сеточных электроинтеграторах. Ученые записки. Изд. Рижского политехнического института, Т. 5, стр. 71—80.

7.    Н и ц е ц к и й Л. В. Электромоделирование трехмерных контактных задач теории упругости. Труды межвузовской конференции по электрическому моделированию задач строительной механики, сопротивлению материалов и теории упругости. Изд. Новочеркасского политехнического института, 1960, стр. 43—51.

8.    Р у д з и т Р. Б., Б у м б и е р и с Э. В. Исследование влияния контактного сопротивления на процесс Т-образной контактной сварки. Ученые записки Изд. Рижского политехнического института. Т. 15, стр. 185—098.

9.    Тетельбаум И. М., Эльмешад Я. А. Электрическое моделирование неустановившихся процессов теплопередачи и диффузии в электролитической ванне. Доклады 4-й межвузовской конференции по применению физического и математического моделирования в различных отраслях техники. Сб. № 1. Математическое моделирование полей. М., Физматгиз, 1959, стр. 165—182.

М. А. Шепсенвол