МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ АНАЛОГОВЫХ УСТРОЙСТВ И ЦИФРОВЫХ МАШИН
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ АНАЛОГОВЫХ УСТРОЙСТВ И ЦИФРОВЫХ МАШИН

1. Характеристика исследуемых процессов и постановка задачи

Системы централизованного теплоснабжения работают в условиях непрерывного изменения параметров, определяющих их тепловой режим. При этом целый ряд параметров следует рас-86 сматривать как независимые события (температура наружного воздуха, солнечная радиация, бытовые тепловыделения, нагрузка горячего водоснабжения, скорость ветра).

В общем случае рассматриваемые процессы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных с источниками переменной интенсивности и граничными условиями второго и третьего рода, причем изменение граничных условий имеет весьма сложный характер.

Аналитическое исследование таких процессов и их приближенный анализ с помощью различных методов ручного счета практически возможны лишь при целом ряде допущений. В частности, во всех аналитических формулах для расчета температуры в помещениях при изменении теплового режима процесс рассматривается как переходный.

Одной из задач проводившихся исследований являлась проверка возможности сведения непрерывного переменного процесса к совокупности последовательных процессов перехода от одного установившегося состояния в другое и установление влияния такого допущения на результаты.

Для решения некоторых задач использовались детерминированные математические модели, когда за начальные условия принимался статический режим (например, при оценке влияния на темп выстывания зданий внутренних факторов радиаторов отопления, внутренних ограждений, мебели) или когда процесс считался циклическим (например, при исследовании влияния на тепловой режим помещений внутрисуточных колебаний температуры наружного воздуха). В последнем случае использовался итерационный метод: принимались начальные условия, и расчет циклического процесса продолжался до тех пор, пока значения температуры в контрольной точке в конце и начале цикла не совпадали с заданной степенью точности.

В задаче по выбору расчетных условий для систем отопления анализируется с помощью ЭВМ влияние изменения температуры наружного воздуха и изменения ветра, отмечавшегося в течение отопительных сезонов ряда лет, на изменение температуры воздуха в помещениях. В модели, установленной для этой задачи вероятностей, за начальные условия принимается состояние температурного поля при установившемся среднем значении параметров и считается, что погрешность этого допущения к моменту наступления расчетного режима сглаживается.

Все математические модели, использованные в исследованиях, являются разрывными: пространство (а при расчетах на ЭЦВМ — и время) разбивается на элементарные области, изменение функций принимается скачкообразным. Такие разрывные, конечно-разностные модели для расчетов процессов в неоднородных многосвязных областях являются предпочтительными, так как позволяют учитывать свойства различных материалов, производить кусочно-линейную аппроксимацию сложных зависимостей.

Расчетные схемы, реализуемые в гидравлических моделях или используемые при составлении систем уравнений для ЭВМ, имеют в разных задачах различный вид. На рис. 1 представлена распространенная расчетная схема, использованная в математиче-

Рис. 1. Расчетная схема модели исследования теплового режима в помещении с учетом лучистого теплообмена между ограждениями:

а — блок сосредоточенной теплоемкости; б — блок нулевой теплоемкости (поверхность ограждений); в — постоянное термическое сопротивление; г — переменное термическое сопротивление конвекционного теплообмена; д—переменное термическое сопротивление лучистого теплообмена; / — внутренний воздух; 2 — инерционный отопительный прибор; 3 — приток тепла; 4 — инфильтрационная проводимость; 5 — наружный воздух; 6 — пол; 7 — потолок: 8 — внутренняя стена; 9 — наружная стена; 10 — окно; 11 — внутренняя

перегородка

ской модели, для исследования температурного режима с учетом взаимного облучения ограждений. Если лучистый теплообмен не учитывается, схема процесса является плоской.

2. Особенности решения задачи на гидроинтеграторе

Методика применения гидравлического интегратора для анализа переменных тепловых режимов в зданиях разработана целым рядом авторов и описана в соответствующей литературе.

Решение на гидроинтеграторе вышеупомянутых задач характеризуется следующими особенностями:

1.    Гидравлическая модель получается обычно довольно громоздкой и занимает от 6 до 12 секций прибора.

2.    Суточный режим воспроизводится за 15—30 мин.

3.    Для уменьшения количества соединений в узлах гидравлической модели внутренний воздух имитируется группами блоков, связанных между собой через нулевые сопротивления.

4.    Для повышения точности расчетов при больших диапазонах изменения температур в блоках некоторые сосуды поднимаются на высоту до 30 см, а соответствующие пьезометры наращиваются.

5.    При решении задач с коэффициентом теплоотдачи, изменяющимся в зависимости от температуры, приходится периодически останавливать процесс расчета и вносить коррективы в значения соответствующих сопротивлений. Следует сказать, что делались попытки изменять значения сопротивлений на ходу. Однако было отмечено, что движение плунжера при открытых каналах вызывает заметное изменение уровней воды в контрольных пьезометрах.

3. Решение задачи на ЭЦВМ

При составлении математических моделей, реализуемых на БЭСМ-2м, дифференциальные уравнения заменялись системами алгебраических уравнений, составляемых по неявной конечноразностной схеме на непрерывной сетке.

Системы алгебраических уравнений имели квадратную симметричную матрицу с малым коэффициентом заполнения.

На рис. 2 показан характер заполнения матрицы коэффициентов системы уравнений при расчете статического поля температур для схемы, представленной на рис. 1. В задачах, где не учитывается лучистый теплообмен, в строке содержится не больше семи нулевых коэффициентов. Для всех задач, связанных с расчетом теплообмена, характерна квадратная симметричная матрица.

Для получения уравнений составлялись тепловые балансы блоков сосредоточенных теплоемкостей.

Системы уравнений имели вид

п    _

2 aiixi = bf, /=1, п,

где i — номера расчетных блоков;

/ — номер блока, для которого составлено данное уравнение. В состав коэффициентов а входят различные функции теплофизических характеристик материалов. Свободные члены b име-

Рис. 2. Заполнение матрицы в модели для исследования теплового режима в помещении с учетом лучистого теплообмена между ограждениями

ются только в уравнениях блоков, непосредственно связанных с источниками или средой, температура которой известна, большинство же уравнений правой части не имеет.

Если теплофизические характеристики материалов принимаются независящими от температуры, то уравнения являются ли* нейными. При учете зависимости коэффициентов теплообмена от разности температур в уравнениях появляются нелинейности.

Системы уравнений во всех случаях обычно решались как линейные, а поправки на нелинейность при необходимости вносились путем определения коэффициентов теплообмена для нового шага времени по результатам расчета на предыдущем шаге. Однако было отмечено, что в некоторых случаях, когда в системе 90

много нелинейных уравнений, такой метод приводит к расходимости процесса расчета.

Для получения сходимости решения был предложен итерационный метод, суть которого заключается в следующем.

Нелинейные алгебраические уравнения записываются в линеаризированном виде

fl(x1. *2. • • •. ха)х{ = Ь.

Принимается некоторое начальное приближение для неизвестных, на основании которого определяется значение Д. Вычисля-

Рис. 3. Сходимость итерационного процесса при расчете стационарного режима при начальных приближениях при t£ap = — 35° С:

1 — окно; 2 — наружная стена; 3 — пол; сплошные линии соответствуют начальному приближению +20° С, штриховые линии — начальному приближению —20° С

ются новые значения х*, которые вновь используются для подсчета Д и т. д. до тех пор, пока значения Xi для предыдущей и последующей итераций не будут отличаться на заданную величину невязки.

Как показали экспериментальные исследования, такой итерационный метод для решения уравнений теплообмена является весьма результативным. На рис. 3 представлена сходимость про-на двух предыдущих шагах.

цесса расчета по принятой схеме. Число итераций резко сокращается, если для последующего расчета принимать за начальное приближение средние арифметические значения полученные


Для решения системы уравнений использовались стандартные программы метода Гаусса, составленные вычислительным центром АН СССР и Гипротисом.

Рис. 4. Влияние величины шага времени Ат на погрешность вычислений при расчете остывания помещений.

Общие теплопотери помещения 1870 ккал!ч. Бытовые выделения тепла 185 ккал!ч.

Экспериментальные исследования показали, что величина расчетного промежутка времени Дт, как и пространственного шага, должна выбираться в подобных расчетах с учетом конкретных условий и поставленной цели. Из рис. 4 видно, что погрешность, связанная с увеличением Дт, в значительной мере зависит от крутизны функции. Поэтому для экономии времени счета зачастую целесобразно вести расчет с переменным шагом Дт, для чего в программу вводится блок анализа производной температуры по времени.

В различных задачах величина шага времени принималась в пределах 0,5— 4,0 ч.

На основании изложенного можно сделать следующие выводы:

1.    Гидравлический интегратор и БЭСМ-2м является достаточно удобным средством для решения задач данного класса без нелинейных зависимостей. При необходимости учета нелинейностей предпочтительным следует считать использование ЭВМ.

2.    Общее время расчета (с учетом подготовки исходной информации) в детерминированных моделях при использовании разных видов вычислительной техники является сопоставимым.

3. Цифровые вычислительные машины в силу своей универсальности позволяют обрабатывать исходные данные и производить анализ полученных результатов, механизируя трудоемкие арифметические и логические операции, выполняемые при использовании аналоговых устройств вручную. Это преимущество ЭВМ особенно ощутимо в вероятностных моделях, где при помощи анализа больших массивов информации рассчитывается математическое ожидание параметра, исследуется надежность режима и т. п.

4. Гидравлический интегратор является весьма удобным инструментом для оценки влияния отдельных факторов и их сочетаний и для проведения различных исследований при создании универсальных математических моделей. Реализация этих моделей для проведения серийных расчетов должна осуществляться на соответствующих электронных вычислительных машинах, но использование ЭВМ для отработки моделей зачастую нецелесообразно. Поэтому вместе с развитием цифровых машин будут существовать и совершенствоваться и аналоговые устройства, облегчающие отработку математических моделей.

В. И. Панчишин

О ЗАРУБЕЖНОЙ ПРАКТИКЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ БУМАГЕ

С 1845 г., когда Г. Кирхгоф впервые применил метод аналогий для исследования поля плоского конденсатора на электрической модели из медной фольги, электромоделирование прошло длительный путь развития.

Процесс решения задачи, основанный на принципах математической аналогии распространения электрического тока с явлениями в механике, сводился к построению эквипотенциальных линий поля модели. При этом использовались различные принципы измерения потенциалов в точках на модели и различные электропроводные материалы, из которых изготовлялась модель. Первым материалом, применявшимся для электромоделирования, были тонкие листы меди, потом листы константана и оловянной фольги. В этих случаях постоянный электрический ток соответствовал очень низким напряжениям.

В дальнейшем в нашей стране и за рубежом отказались от твердых электронных проводников и стали применять ддя моделирования жидкий ионный проводник — электролит.

Промышленное производство электропроводной бумаги, налаженное для других технических целей (например, для самописцев), позволило применить этот очень дешевый и удобный в работе материал для электромоделирования.

Впервые реальное применение электропроводной бумаги для решения технических задач методом электромоделирования предложил в 1949 г. П. Ф. Фильчаков [9]. Им был создан интегратор

ЭГДА-5, специально разработанный для моделирования на электропроводной бумаге.

Началом практического применения электропроводной бумаги за рубежом, насколько нам известно, можно считать работу, опубликованную в 1951 г. Л. Малаваром [16]. После этого в иностранной литературе появилась серия статей различных авторов о результатах моделирования на электропроводной бумаге.

Даже беглый обзор всех работ по электромоделированию на электропроводной бумаге представлял бы собой интересную и объемистую монографию. К сожалению, в этой короткой статье нет возможности сделать полный обзор работ по моделированию различных задач на электропроводной бумаге. Здесь будет коротко изложена суть только некоторых известных нам работ из практики электромоделирования за рубежом, а также описание средств его реализации.

Весьма интересные работы из зарубежной практики электромоделирования изложены в докладах 1-й Международной аналого-вычислительной конференции, проходившей в Брюсселе с 26 сентября по 2 октября 1955 г. [10]. В трудах этой конференции, опубликованных в 1956 г., помещено 96 докладов, из них только два были непосредственно посвящены моделированию на электропроводной бумаге: доклад Л. Малавара «Метод реоэлектриче-ской аналогии, его возможности и особенности» и доклад П. Жермена (Брюссель) «Некоторые физические характеристики графитовой бумаги, используемой для реоэлектрической аналогии» [14]. В работе приводится описание некоторых физических свойств электропроводной бумаги «теледелтос» («Teledeltos Recording Paper»), которую изготовляет американская фирма «Western Union Telegraph».

Электропроводная бумага «теледелтос» была изобретена в 1948 г. как светочувстительная бумага для записи текстов и изображений, передаваемых по телеграфу, а также для различных видов самописцев. При изготовлении ее в бумажную массу вводится проводящий компонент — сажа или графит. Сформированная готовая бумага (черного или серого цвета) с одной стороны припудривается очень тонким слоем алюминиевого порошка так, что просвечивается основа, с другой стороны бумагу покрывают сплошной изоляционной лаковой пленкой, которая придает бумаге светло-серый, почти белый оттенок.

Бумага «теледелтос» выпускалась двух типов, отличающихся друг от друга только своим сопротивлением: тип L — сопротивление порядка 1500—4000 ом и тип Н — сопротивление порядка 17 000—20 000ом. Такой большой разброс величин сопротивлений для основного назначения бумаги «теледелтос» не играет существенной роли.

Различные специалисты, работающие в области аналого-вычислительной техники, предложили использовать бумагу «теле-94 делтос» в качестве электропроводной среды для изготовления моделей. Однако применение ее в том виде, в каком она выпускалась за рубежом, было сопряжено с весьма существенными трудностями из-за наличия на бумаге изоляционной пленки. Первоначально бумагу «теледелтос» расщепляли с торца лезвием безопасной бритвы и образовавшийся разрез промазывали электропроводной краской из коллоидного серебра. Затем вклеивали медную полоску при помощи той же серебряной краски или графитового лака «акводага». Была разработана техника смывания металлизированного слоя с бумаги «теледелтос» при помощи амилацетата, что позволило устанавливать передвижные латунные шины-зажимы (рис. 1) и облегчило получение контакта между измерительным зондом и бумагой.