МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ АНАЛОГОВЫХ УСТРОЙСТВ И ЦИФРОВЫХ МАШИН 3
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

в теле свечи зажигания и части головки блока цилиндра

компенсации измерительного потенциометра.

В другой очень интересной работе Йозефа Кунеша и Богуша Ульриха «Новые электрические аналоговые методы для изучения нестационарных температурных полей» ,[16] изложены два новых простых метода, хорошо подходящих для изучения одно- и двухмерных температурных полей. Эти методы отличаются дешевизной в применении к расчетам температурных полей в лопатках турбин, находящихся в жестких температурных условиях. В первом методе используется электролитическая ванна, и мы его здесь рассматривать не будем, во втором црименяется электропроводная бумага. В качестве примера авторы приводят исследование нестационарного теплового потока в бесконечном цилиндре во время его быстрого нагревания от 0° до 100° С. В задаче реализуются граничные условия 1-го рода (рис. 9). Модель строилась по принципу «постоянных конфигураций. Электрические эквипотенциа-ли, полученные на модели из электропроводной бумаги, соответствовали температурам цилиндра только на их пересечении с продольной кромкой модели. Поэтому температурное распределение вдоль радиусов цилиндра может быть определено измерением электрических потенциалов на этой кромке. На моделях, представленных на рис. 9, показаны температурные условия после 1-й, 2-й и 3-й мин нагревания. Значение основания трапециои-да соответствует временному интервалу Дт = 1 мин.Электрод основания представляет собой слой серебряного лака, нанесенного на электропроводную бумагу модели; к нему подключено напряжение, соответствующее 100° С. На обратимые электроды справа на моделях задаются потенциалы, соответствующие величинам, полученным в предыдущий временной интервал.

Такая же задача представлена на моделях рис. 10, где тепловая передача через цилиндр исследована методом переменной конфигурации. В этом эксперименте используется одна модель, сделанная из электропроводной бумаги. Модель после-


2-ая минута Рис. 9. Нестационарное тепловое поле



Обмануты


0,75 минуты

Рис. 10. Нестационарное тепловое поле


1,0 минута


довательно обрезается для каждого интервала времени. Для такой модели требуется только два электрода: один для граничных, другой для переходных условий, причем последний поддерживается под нулевым потенциалом во время всего эксперимента. Правильная техника моделирования ограничивается максимальной ошибкой 1—2%, на электролитах с неоднородностью 0,5—1,5%.

Методы, изложенные в работе, просты и дают достаточно точные для практического применения решения, если строго соблюдаются все соответствующие условия моделирования.

В работе В. Берана, В. Швиглера и О. Вовроха, напечатанной в том же журнале «Технические новости», приводится подробное описание прибора «GP-04», предназначенного для определения эквипотенциальных и эквиградиентных линий потенциальных функций на моделях из электропроводной бумаги. Разработанный авторами и описываемый в статье новый прибор называется «Gradipot». Прибор состоит из двух блоков.

Рис. 11. Принципиальная схема прибора «Gradipot» «GP-04»:

а — устройство для измерения потенциалов; б — устройство для измерения градиентов потенциалов

В одном блоке смонтировано устройство для измерения потенциалов (рис. 11) и их градиентов (рис. 11,6) на моделях из электропроводной бумаги. В другом блоке смонтировано питающее устройство и делитель напряжения из 25 потенциометров, необходимый для реализации задания граничных условий.

Схемы, представленные на рис. 11, описаны в литературе по электромоделированию, и мы здесь не будем приводить их подробное содержание. Отметим только, что блок, обозначенный буквой Г, представляет собой транзисторный усилитель для гальванометра, а измерительное устройство работает с точностью до 0,1% включительно. Отыскание эквиградиентных линий сводится к отысканию точек на модели, в которых напряжение зонда AV равно напряжению Vu установленному на потенциометре #4. Разница между напряжением V\ и AV, полученная в момент, когда щуп отходит от эквиградиентной линии, усиливается транзисторным усилителем Т.

В схему прибора введены различные вспомогательные эле-менты, которые оказываются очень полезными в работе. На-пример, две кнопки в цепи питания позволяют в любой момент проверить наличие питания модели. Миллиамперметр-гальвано-метр защищен от перегрузок двумя специальными диодами, шкала измерительного потенциометра безразрывна (замкнута), и переходы с минимума на максимум не требуют возвратного вращения, что значительно ускоряет измерения и предохраняет потенциометр от порчи. Питание всей установки осуществляется от сухих батарей, помещенных в блоке прибора. Для температурной стабилизации транзисторов усилителя их помеща-

Рис. 12. Прибор, изготовленный в Чехословакии и предназначенный для построения сеток тепловых полей на электропроводной бумаге

ют в алюминиевый радиатор. Для прибора «GP-04» разработаны специальные щупы: один — для отыскания эквипотенциальных точек на хмодели, другой — для измерения градиентов. Последний имеет регулировочное приспособление для изменения расстояния As между иглами.

Прибор «GP-04» хорошо зарекомендовал себя при решении многих задач из области теплопередачи, течения жидкости, анализа напряжений и электромеханики. Он полностью удовлетворяет предъявленным к нему требованиям:    прост, обладает

большой чувствительностью и точностью отсчета, широким диапазоном применения при различных граничных условиях, позволяет непосредственно на модели измерять градиент, имеет малые размеры и вес.

В одной из лабораторий известной фирмы «Skoda» изготовили прибор для решения методом электромоделирования за-

дач стационарной теплопроводности на электропроводной бумаге. После соответствующих преобразований на приборе можно определять поля, описываемые уравнением Пуассона, при условии постоянства правой части уравнения. На модели из электропроводной бумаги вне контура моделируемой области оставляется узкая полоса, к которой присоединяются электроды для реализации граничных условий. Электроды могут представлять собой слой электропроводного лака, пластинку фольги или медную проволоку, которая вклеена по контуру модели в расслоенную электропроводную г.    ~~ , бумагу.

Рис. 13. Английский прибор для построения линий силовых полей, выпускаемых фирмой «Servomes Controls Limited»

Общий вид моделирующего устройства представлен на рис. 12. В металлическом каркасе вокруг рабочей площади, где производится моделирование на модели из электропроводной бумаги, расположены узлы и блоки установки. Краевые условия 1-го и 2-го рода обеспечиваются с помощью делителя напряжения, состоящего из ряда потенциометров. В устройстве установлены два вольтметра, два миллиамперметра и нулевой м'икроамперметр. В качестве зонда используется цанговый карандаш, грифель которого, соединенный через нулевой микроамперметр с измерительным потенциометром, используется как электроконтакт.

В лабораториях электромоделирования Машиностроительноэлектротехнического института в г. Пльзень широко используют электролитическую ванну, сетку сопротивлений и электропроводную бумагу. Так, на приборе «GP-04» решаются задачи двухмерных полей, описываемых уравнениями Лапласа и Пуассона, одномерных полей, диффузионных процессов. Моделирующее устройство «R-С», соединенное с координатным регистратором «ВАК», применяется для решения нестационарных температурных полей. Для решения различных технических задач применяются методы электромоделирования нестационарных температурных полей с помощью метода конфигураций, а также методы прямого электромоделирования градиентов гармонических функций. Дальше в работе [12] рассматривается решение случая нагрузки профиля кручением — этот метод основан на том, что составная нагрузки кручением пропорциональна соответ-106

ствующей производной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона.

По имеющимся у нас сведениям электромоделирование на электропроводной бумаге широко применяется в Польше, где производится электропроводная бумага, Румынии и Болгарии.

Серийный выпуск установок для моделирования на электропроводной бумаге производится в СССР, в Чехословакии изготовлено несколько приборов «Gradipot» и «GP-04», описание которого изложено выше.

В 1963 г. Британская выставка научных и промышленных приборов в Москве экспонировала «Прибор для построения изображений силовых полей», выпускаемый серийно фирмой «Servomex Controls Limited» [17]. На фотографии (рис. 13) изображен прибор и исследуемая модель. Рекламная характеристика сообщает, что этот прибор предназначен для исследований, расчетов и обучения.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Аналоговые методы и средства решения краевых задач. Киев, «Наукова думка», 1964, стр. 46—56, 128—137, 191—199, 230—247 (Труды Всесоюзного совещания, М., окт. 1962).

2.    Вопросы теории и применения математического моделирования. Под ред. И. М. Витенберга, Г. М. Петрова, Г. Е. Пухова. М., «Советское радио», 1965, стр. 71—в5, 268—308, 388—399, 592—610.

3.    Гутман Б. Б. Электропроводная бумага. Сборник статей по отдельным вопросам целлюлозной и бумажной промышленности. М., Госбумиздат, 1944.

4.    Карплюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля. М., изд-во иностр. лит., 1962, стр. 164—173.

5.    К о з д о б а Л. А. Электромоделирование температурных полей в деталях судовых энергетических установок. Л., «Судостроение», 1964, стр. 65—66.

6.    Ницецкий Л. В. Аналоговые и разностные методы решения внешних краевых задач. Ученые записки, т. XII, факультет автоматики и вычислительной техники, вьгп. 2. Рига, изд-во «Звайгзне», 1965, стр. 326—3127.

7.    Пелегрен М. Электронные вычислительные машины. Аналоговые и цифровые. Пер. с франц. Под ред. проф. В. В. Солодовникова. М., Изд-во «Машиностроение», 1964, стр. 97—103.

8.    Тетельбаум И. М. Электрическое моделирование. М., «Физматгиз». 1959, стр. 248—285.

9.    Фильчаков П. Ф. Электромоделирование задач фильтрации в разнородном грунте. Доклады АН СССР, т. 66, Киев, «Наукова думка», 1949, № 4, стр. 593—596.

10.    Actes Proceedings Journees Internationales du Calcul Analogique. Bruxelles. Sept. 1955. Bruxelles-^Belgique, 1956, p. 288—313, 327—332.

11.    Actes Proceedings. Deuxiemes Journees Internationales de Calcul Analogique. Strasbourg 1—6 sept., 1958, Paris, 1959, p. 276—282.

12.    Beran V., Svigler V., Vavroch O., Gradipot —an Instrument for Measurement on Conductive Paper Models. Journ. «Technical Digest», March— 1956, Prague, Czechoslovakia.

13.    С 1 a r k A. V. A simplified method for the study od two — dimensional transient heat flow using resistange paper. The American Society of Mecchani-cal Engineers. April 8—10, 1957, p. 11.

14.    Germain P., Queloques carac^ristiques phisiques du paper Graphite Utilise dans L’Analogie Rheoelectroque. P. 327—332. Journees Internationales du Calcul Analogique, sept. 1955. Bruxelles — Belgique, 1956.

15.    Kovarik I., Kines I. Thermal Stresses in Sparking Plugs, I. «Technical Digast», № 2, February— 1964, Prague, Czechoslovakia, p. 21—27.

16.    Malavard L. Sur une nouvelle technique dans le calcul experimental par analogies rheoelectriques. Rech. Aeron. Bull. Fr. (.1951), № 20, p. 61—68.

17.    Malavard L. La methode d’Analogie Rheoelectrique. Ses Possibili-tes ses Tendences. Journees Internationales du Calcul Analogique, Sept. 1955. Bruxelles—Belgique, 1956, p. 288—313.

18.    V i d a 1 I. Description d’un equipement automatique siple et complet pour la mise en oeuvre des methodes rheoelectriques, Actes Proceedings, 2es journies internatonoles de Calcul Anologique. Paris, 1959, p. 263—266.

В. М. Шестаков

О РЕШЕНИИ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ УРАВНЕНИЙ ПУАССОНА, ГЕЛЬМГОЛЬЦА И ФУРЬЕ НА СПЛОШНЫХ МОДЕЛЯХ ЭГДА

При моделировании на сплошной плоской модели ЭГДА процессов, описываемых уравнением Пуассона вида

где р(лг, у)— удельное сопротивление модели, при дискретном задании свободного члена w(xy у) на модель через электроды, расположенные по сетке с шагом /, подается ток Iw = ш/2 (задаваемый обычно через сопротивление Rw) при среднем значении w в пределах элемента площади размером I X I [1].

В поисках уточнения получаемого таким образом решения рассмотрим распределение тока вблизи электрода, выделив относящийся к нему квадратный элемент модели размером / X /. Для упрощения задачи заменим квадрат равновеликим кругом радиусом    / и рассмотрим его изолированно, пренебрегая воз-

У я

действием с соседними элементами, так что распределение тока в выделенном элементе будет носить радиальный характер. При постоянных величинах р и w в пределах элемента и при постоянном радиусе электрода r0 <С I выражение для величины U на расстоянии г от электрода в этом случае будет

(2)

U = 0,5рwrl In —-— 0,25payr2


среднее значение этой функции

и разница между ними

(4)

A£/ = £/-t/o = p/J(7)f

где

f (г) = 4" (°>75 - °>572 - In —); Г = — .    (4а)

2я \    г ]    rk

Если ток Iw пропускается через известное сопротивление Rw, то, пользуясь законом Ома, выражение (4) можно представить в виде

AU=^-AUJ(r),    (46)

где AUW — разница потенциалов на концах сопротивления Rw.

Величина AU может рассматриваться как поправка, учитывающая дискретность задания питания на модели. Таким образом, найдя значения относительного потенциала на модели UM, следует далее определить его расчетное значение U по формуле

U = UM — AU    (5)

при AU, выраженном по формуле (4).

При определении г в качестве Гк рекомендуется принимать расстояние от центра до границы элемента, относящегося к данному электроду, по линии, проходящей через расчетную точку.

При аналогичном моделировании процессов, описываемых уравнением Гельмгольца вида


правая часть уравнения моделируется дискретным заданием тока через сопротивления Re , на концах которых задаются потенциалы, соответствующие значениям U0(x, у), а величина Re определяется по формуле

Re = 6/2    (7)

при среднем значении 0 (х, у) в пределах элемента [2].

В полученные таким образом значения потенциалов UM в соответствии с выражением (5) вводится поправка AU, определяемая по формуле (4). Вместо значения Iw подставляется измеренная величина тока /е , проходящего через сопротивление Re• Моделирование процессов, описываемых уравнением Фурье вида

_L/_Liq + —    *L'\ = c-2L    (8)

дх \ р дх } ду V Р ду )    dt

можно осуществлять на сплошной модели по схеме Либманна [2, 3, 4], реализуя временную производную в конечно-разностной форме дискретным путем, с подключением «временных» сопротивлений Rt с помощью электродов радиуса г3, установленных по сетке шагом I.

Величина «временного» сопротивления определяется с учетом искажений поля вблизи электродов [2] по формуле

Rt = -~At-p(fe + Afk),    (9)

где fc = —— In —--0,12 — приведенное сопротивление приэлек-

2я гэ

тродной зоны;

Afh — приведенное сопротивление контакта электродов, которое для электродов прижимного типа может определяться в зависимости от их диаметра da по следующим данным: Afk — 0,03 при d3 = 10мм, Afk = 0,05 при d3 = 5 мм и Afk = 0,08 при d3 = 3 мм.

U = U3+(U3-Uo)-^-fc,    (10)

где U — потенциал на электроде;

U0 — потенциал, задаваемый на конце «временного» сопротивления; значения потенциала U0 устанавливаются равными среднему значению потенциала U, подсчитанному согласно выражению (10) на конец предшествующего шага по времени.

Для проверки точности расчетов по изложенной методике была проведена значительная серия типовых расчетов на полосообразных и прямоугольных в плане моделях (линейные и плоские задачи), результаты которых сопоставлялись с результатами расчетов на сеточных электроинтеграторах и с точными решениями.

Анализ сопоставительных расчетов показал, что точность расчетов на оплошных моделях, как правило, оказывается вполне удовлетворительной и, во всяком случае, не уступает точности расчетов на сеточных интеграторах. Наилучшие данные получились применительно к решениям уравнений Пуассона и Гельмгольца, где обеспечивается точность порядка 1—3% при наличии даже двух-трех электродов между границами с условиями 1-го и 2-го рода и трех-четырех электродов между границами 1-го рода. При решении уравнения Фурье по схеме Либманна максимальная погрешность оказывается порядка 5—7%, если между границами 1-го и 2-го рода задается три-четыре электрода или пять-шесть электродов — между границами 1-го рода, а в пределах монотонного изменения потенциала на границах устанавливается не менее двух интервалов по времени Д^. по

1.    Аравин В. И. Расчеты и моделирование плановой фильтрации. М.„ Госэнергоиздат, 1962, стр. 242.

2.    К и р и л л и ч е в А. М. О моделях из оплошных сред для задач неуста-новившейся фильтрации нефти и газа. «Известия вузов. Нефть и газ», № 6, 1963, стр. 36—41

3.    Коздоба Л. А., Князев Л. В. Комбинированные электрические модели для решения двух- и трехмерных задач нестационарной теплопроводности. «Труды 2-го Всесоюзного совещания по тепломассообмену», вып. 8—9, Минск, Издательство Минского политехнического института, 1964, стр. 48.

4.    Шестаков В. М. Теоретические основы оценки подпора водонапря-жения и дренажа. Изд-во МГУ, 1965, стр. 36.

М. М. Литвинов