МОДЕЛИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА НА ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ БУМАГЕ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

МОДЕЛИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА НА ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ БУМАГЕ

Наибольшее распространение при решении задач с источниками поля получил метод электролитической ванны [4], но наряду с этим могут использоваться модели из электропроводной бумаги, применение которых приводит к более простым аппаратурным решениям и к простым способам изготовления моделей. Один путь их развития связан с созданием конденсаторного слоя (R — С-мо* дели [6]). Однако более эффективным является второй путь — создание /^-модели в виде комбинации из электропроводной бумаги и сосредоточенных сопротивлений [1].

В работе рассматривается решение задач стационарной теплопроводности с внутренними источниками тепла на электропроводной бумаге, описываемых уравнением Пуассона:

Плоской задаче соответствует k = 0 и объемной в цилиндрической системе координат k = 1 (в этом случае х = р-радиусу). К электрической модели из электропроводной бумаги дискретно отводятся токи, моделирующие тепловыделение (в общем случае правую часть уравнения Пуассона), через высокоомные сопротивления — тоководящие элементы — т. в. э. Электрическое поле в модели описывается уравнением Пуассона:

__д_ fk да \ ,__д_ / ди \ __ I

хк дх \ х дх ) ду \ ду )    Д F3

где о = 1 /г — удельная поверхностная проводимость бумаги;

I — ток в т. в. э.;

ДF9 — площадь элементарного участка модели.

Параметры модели следующие:

а) сопротивление, моделирующее правую часть:

Rm.e.a — k%

kt&u

f>^qv&F 9

б) сопротивление, моделирующее краевые условия II рода:

(2)

в) удельное поверхностное сопротивление каждой зоны плоской или осесимметричной задачи

Рис. 1. Токовводящая игла

где kt = tju и kR — коэффициенты моделирования;

As — ширина участка теплообмена;

А и — падение напряжения на сопротивлении.

В случае моделирования краевых условий III рода формула (2) переходит в выражение

kR а As

Из формулы (1) следует, что ток в т. в. э.

(3)

j _ А и __ pkqvAF

Кщ.в.э    kRkt

Каждый из двухсот т. в. э. состоит из двух сопротивлений: R' — постоянное прецизионное сопротивление типа УЛИ класса 0,5 или 1 и R" — переменное сопротивление типа СНВК-500/22. СопротивленияR' — сменные, монтируются в специальных гнездах, обеспечивающих надежность контакта и легкость замены сопротивлений [2].

Подвод тока через т. в. э. к модели осуществляется с помощью специальных подпружиненных игл, швейных игл или булавок, снабженных латунной втулкой диаметром 2 мм, закрепляемых в деревянной панели (рис. 1). Конструкция игл обеспечивает постоянный и надежный контакт с поверхностью электропроводной бумаги.

Решение задач осуществлялось на специализированном моделирующем устройстве (рис. 2), являющемся модернизированным вариантом интегратора ЭТА-2 [3].

В качестве измерительного устройства используется интегратор типа ЭТНА, построенный на базе автоматического самопишущего прибора ЭПП-09 или «ЭМП-209 [2]. Измерительное устройство используется для следующих операций:

а)    набора граничных условий;

б)    измерения сопротивления электропроводной бумаги;

в)    задания токов в т. в. э.;

г)    съема электрического поля.

Рис. 2. Общий вид моделирующего устройства


Питание модели (рис. 3) производится от сети через понижающий трансформатор. От вторичных обмоток трансформатора питаются низкоомные потенциометрические делители Р и RT.d.e., напряжение на которых регулируется ic помощью реостата R. С остальной обмотки подается питание на реохорд ЭПП-09 (ирх равно иМОд или 2иМОд)-

Настройка т. в. э. производится путем поочередного подключения гнезд т. в. э. на вход усилителя ЭПП-09. При этом для того, чтобы можно было измерить падение напряжения на сопротивлении R' с помощью измерительной схемы ЭТНА, напряжение и0 выбирается больше, чем ирх.

Из формулы (3) следует, что падение напряжения на постоянном сопротивлении т. в. э. равно

W = РУ R'.

ИЗ

8 Заказ 1148

Этому значению соответствует в безразмерных единицах шкалы ЭПП-09 величина

Д0% = —^— 100.



Моделирование поля осуществляется путем поочередного автоматического подключения к иглам с помощью переключателя

ЭПП-09 модели измеритель-


Ак_

ЪЛ1

0,6


0,?


в=-

■о О и О

0

вариангг.

I

I

j

1

вариант

ч\

0 —

0,2 0А 0,6    0,8

Температура 6 пластине

л=4

Рис. 4. График распределения температур в пласте


ного устройства ЭТНА, осу-| ществляющего регистрацию безразмерных потенциалов 0, на диаграммной ленте ЭПП-09


т-т „


Аи


А и


рх


где Т > Гтах.

С помощью интегратора был решен ряд задач, описываемых уравнением Пуассона. В качестве примера приведем решение задачи по определению температуры в пластине.


Безразмерная температура задается в виде

е = ~к .

Запишем условия на границе. 1-й вариант: 0ц = 0,5; 012 = 0. Теоретическое решение описывается уравнением 0 = —X2 + + 0,5Х + 0,5 (5]; 2-й вариант: 0i2 = 0,75, 022 = 0; В,-, = 1. Теоретическое решение: 0 = —X2 + 0,25Х + 0,75. Задача решалась в двухмерной модели с тремя рядами т. в. э. (всего 30 т. в. э.), ДFB = 5x5 см. Результаты решения контрольных задач показывают, что средняя погрешность решения не превышает 2—3% (рис. 4).

Рис. 5. Температурное поле в элементе теплообменника

На рис. 5 приведены результаты определения температурного поля в элементе теплообменника. По в!сему объему задана постоянная мощность внутренних источников тепла. Отвод тепла происходит с поверхности. Поле снималось в 100 точках. Невязка по тепловому балансу не превышает 6%.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Карплюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля. М., Изд-во иностр. лит., 1962, стр. 1—461.

2.    Кириллов В. И., Литвинов М. JV\., Олешкевич Б. Б. Электроинтегратор для решения задач нестационарной теплопроводности. В настоящем сборнике.

3.    Литвинов М. М. Электроинтегратор ЭТА-2. Межвузовская конференция по физическому и математическому моделированию. М., изд. МЭИ, 1959, стр. 21—32.

4.    Л у к о ш к о в В. С. Моделирование источников поля в электролитической ванне при решении задач математической физики В сб. «Электроника»,

1958,    № 7, № 8, стр. 34—37.

5.    Новиков И. И. и Воскресенский К. Д. Прикладная термодинамика и теплопередача. М., Госатомиздат, 1961, стр. 548.

6.    Тетельбаум И. М. Электрическое моделирование. М., Физматгиз,

1959,    стр. 319.