О ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ НА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТКАХ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

О ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ НА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТКАХ

Вопросам погрешности решения задач с помощью методов электромоделирования уделяется внимание во всех монографиях по электрическому моделированию [4, 5, 6] и в ряде специальных работ [1,2, 3].

Однако каждый автор рассматривает этот вопрос в определенном аспекте, акцентируя внимание либо на погрешности, вносимой переходом от дифференциальных уравнений к конечно-разностным, либо на погрешности, вызываемой неточностью элементов модели.

Изучение вопроса о погрешности решения при моделировании привело к выводу о невозможности установления пределов погрешности решения любых задач, поэтому и в каталогах и проспектах на выпускаемые модели теперь не приводятся данные о погрешности решения, а даются лишь сведения о погрешностях набора коэффициентов (параметров) уравнения, задания граничных и начальных условий и изменения искомых величин.

Для выяснения вопроса о связи между этими величинами рассмотрим сначала существующие в математике понятия погрешности.

Под относительной погрешностью решения математической задачи обычно (понимают отношение разности точного и приближенного решения к точному решению

Р точн — Р прибл Р точи

или в процентах

(1)

Однако такое определение не дает правильного представления о точности решения, так как в случае, когда точное решение равно нулю (или весьма мало),

6 96 = --Р"рабл ■ 100 = сю

и создается впечатление о неправильности решения, в то время как Рприбл может быть сколь угодно близко к точному.

Поэтому в некоторых руководствах по интеграторам [6, 9] погрешность относится не к точному значению решения в данной точке, а к 100% шкалы измерительного устройства:

8% = У enow - и прибл JQQ = у 100 1


U прибл•


(2)


точн


Такое определение, с одной стороны, часто не устраивает ин-женера-постановщика задачи, так как при значениях функций, отличающихся на один или более порядков от 100%, не гарантирует приемлемой степени точности, а с другой — все-таки не является достаточным, чтобы по нему можно было судить о точности решения задач с помощью средств электромоделирования. Покажем это на двух примерах.

решение

решение

Рис. 1. Влияние norpeuiHocfn на точность решения

1.    Пусть искомый процесс представляет собой гармонические колебания с периодом Т = 100 сек и амплитудой 100% U (рис. 1) и пусть на интеграторе ответ получается с погрешностью в величине периода на —1%, т. е. Т = 99 сек. Тогда через 25 периодов в заданный момент t\ вместо амплитудного значения 100% Uинтегратор покажет 0% U и наоборот.

Таким образом, в этой точке замеренная величина будет отличаться от истинной (отнесенной к 100% шкалы) на 100%.

2.    Дано уравнение U"—

— U = 0 при начальных условиях

U\^o = A, U'\is=0 = -A.

Точным решением этого уравнения будет U = Ае~*, что при t = 1,2, 5, 10 сек даст значения искомой функции Ux = 0,368Л; Uг = 0.135Л; U5 = 0,0067Л; Ul0 = 0,000045Л,

Пусть заданные на модели начальные условия отличаются от точного на ±1%, т. е. U\t = o = 0.99Л; а V|i = 0 = —1,01Л. Тогда полученные на интеграторе решения при t = 1, 2, 5 и 10 сек соответственно составят U\ — 0.3407Л; U*2 = 0,0614Л; U'5 = 2.4402Л; £/,0 = —220,26Л. В таблице и на рис. 2 показано сравнение точного и приближенного решения.

Как видно, уже через 5 сек приближенное решение отличается от точного на 244%.

Из-за такой значительной разницы между приближенным решением и точным возникает проблема различия между неточным решением и неправильным решением. При постановке задачи на электроинтеграторе возможны случайные ошибки экспериментатора в расчетах или при наборе модели, а также возможен выход из строя каких-либо элементов модели (обрыв сопротивлений, пробой конденсаторов, выход из строя ламп и т. п.). В этом случае полученное решение будет вообще неправильным, т. е. не имеющем отношения к поставленной задаче.

При аналитическом решении задачи принято считать решение правильным, но приближенным, если оно отличается от точного на единицы (иногда десятки) процентов. Если же отличие более значительное (сотни процентов), то такое решение считается неправильным.

Таким образом, по величине порядка разницы между .полученным ответом и точным определяют два качественно различных результата: правильное приближенное решение и неправильное.

vо 2    *    6    8 (сек

Рис. 2. Сравнение точного и приближенного методов

Как видно из приведенных выше примеров, сделать такое разделение (по величине порядка погрешности) для решения, полученного на модели, не представляется возможным, так как даже правильное решение может сколь угодно отличаться от точного за счет допустимой по паспорту неточности в задании параметров модели. Если исходить из величины погрешности, то иногда может создаться ложное впечатление о неправильности работы модели. Поэтому необходимо

t

в сек

Решение

5, %

точное

и

прибли

женное

и*

1

2

5

10

При

ние U

0,368А

0.135А

0.0067А

0.000045А

м е ч а н и 1 = А принят

0.341А 0,0614А —2,4402А —220,26А

е. Начальв о за 100%.

2,7

7,4

—244

—22026

юе значе-

дать определение правильного приближенного решения, полученного при правильном расчете, наборе и работе модели для отличия его от неправильного решения.

Правильным решением, полученным на модели, следует считать такое решение, которое находится внутри огибающих семейства решений, получаемых при вариации всех параметров модели, начальных и граничных условий в пределах, оговариваемых в паспорте модели.

На рис. 3 показаны различные решения одной и той же задачи, полученные при вариации сопротивлений, емкостей и задаваемых потенциалов на ±1% от максимального значения.

Огибающие (штриховые линии) охватывают всю область, внутри которой может находиться правильное решение.

Если полученное решение хотя бы в одной точке выходит за пределы этой области, оно является неправильным.

Чем уже ширина области между огибающими, тем меньше величина допустимой относительной погрешности решения.

Рис. 3. Схема решения одной и той же задачи при вариации сопротивлений и емкостей

Такое определение может служить основанием для определения на модели порядка погрешности получаемого решения. Для этого следует варьировать все возможные параметры задачи на величину минимального дискретного шага, допускаемого на модели, и наблюдать за решением на экране осциллографа. Практически надо менять не все параметры, а лишь те, которые оказывают заметное визуальное влияние на форму решения. В частности, в задаче, приведенной в примере 1, изменение напряжений (начальных условий) на 1% не оказывает заметного влияния на решение (амплитуда колебания изменяется на 1%), а изменение сопротивления на 1 % меняет частоту колебаний, так, что уже через 10—15 периодов значения функции будут резко отличаться друг от друга. Для сравнения следует задаться каким-либо временем и поставить метку времени, а затем после изменения сопротивления на кривой четко видно изменение величины функции против заданной ранее метки времени.

Наоборот, во втором примере изменение сопротивлений на 1% почти не скажется на решении, а изменение начальных напряжений на 1 % резко изменит не только величину решения, но и его характер. На рис. 4, а, б и в показаны фотографии неустойчивых процессов, полученных на электроинтеграторе при периодическом повторении процессов.

То обстоятельство, что малая вариация параметров задачи сильно меняет решение, принято называть неустойчивостью задачи, и, по терминологии акад. Андронова, все динамические системы делятся на два больших класса: «грубые» (нечувствительные к малым вариациям коэффициентов и начальных или граничных условий) и «тонкие» (неустойчивые). Обычно в инженерной практике «тонкие» системы неприемлемы, так как малейшее колебание какого-либо инженерного параметра (например, массы тела за счет осевшей пылинки) может привести к значительному искажению запроектированного процесса.

Из этих соображений большим преимуществом электрических моделей является возможность экспериментального выяснения «грубости» или «точности» системы.

Следует обратить внимание на то, что, кроме неустойчивости физического процесса, свойственного самой задаче, может воз-

никнуть и неустойчивость решения, вызванная не самой задачей, а принятым алгоритмом или шагом решения. Эта неустойчивость не свойственна физической системе, а искусственно внесена в нее.

Однако неустойчивость решения весьма редко встречается при моделировании, чаще она встречается при приближенных методах математического решения (даже с помощью ЭЦВМ). Возможно, это объясняется произвольностью навязанной ЭЦВМ программы решения, в то время как на модели процеос протекает по наиболее экономным путям, выбираемым самой природой.

Для оценки порядка погрешности решения, полученного на электромодели, следует выяснить вариацией сопротивлений, емкостей и напряжений, принадлежит ли система к «грубому» или «тонкому» классу и если окажется, что система «грубая», то ее погрешность будет практически того же порядка, что и паспортная погрешность.

Если система окажется «тонкой», то от дальнейшего исследования можно отказаться, так как «тонкость» системы, вызывающая большие погрешности на модели (пример 2), и в натуре не будет давать определенного решения, а в зависимости от случайных флюктуаций (температуры, потенциала, веса, длины и т. п.) решение будет получаться сколь угодно отличающимся от требуемого.

Если все же требуется исследование линейной «тонкой» системы, то следует моделировать задачу не для заданной искомой 120

функции [/, а для функции U{ = Ue~kt, причем коэффициент & надо принимать таким, чтобы функция U{ сходилась в заданном интервале времени.

Таким образом, вместо интегрирования уравнения д2У    дЮ __ 1 дУ

дх2    ду2 а2 df

следует решить уравнение

д2и д2и ^    __к__и

дх2    д#2 а2    а2 *

а затем полученное решение умножить на еы.

Рис. 5.

Неустойчивая

ции

задача филыра-