О ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ НА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТКАХ 2
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений для оценки полученной погрешности решения можно пустить процесс в обратном направлении, т. е. принять полученное решение в конце процесса за начальное условие, и, изменив знаки у нечетных производных, проследить за величинами искомых функций в момент, соответствующий начальным условиям предыдущей задачи.

В случае дифференциальных уравнений теории поля такое же преобразование можно использовать в случае моделирования на сетках RLC или при наличии отрицательных сопротивлений.

Приведем пример неустойчивой задачи фильтрации.

Пусть в квадрате ABCD (рис. 5) имеются запасы нефти, которые разрабатываются закачкой воды или жидкого пропана в нагнетательную скважину, расположенную в точке Л, с последующим отбором нефти через три эксплуатационные скважины в точках В, С и D. Заштрихованные области соответствуют остаточным нефтяным целикам. Штриховые линии — линии прорыва нагнетательной жидкости в эксплуатационные скважины; сплошные линии — границы вытекания нефти на различных этапах разработки.

Если вязкости нагнетаемой жидкости и пластовой нефти равны или незначительно отличаются друг от друга, процесс вытеснения нефти идет так, как это показано на рис. 5, а, т. е. наибольшая скорость вытеснения находится на сплошных прямых, соединяющих нагнетательную скважину с эксплуатационными.

В момент, когда нагнетаемая жидкость достигает скважин В и Z), они перестают работать и дальнейший отбор производится через оставшуюся эксплуатационную скважину С.

На рис. 5, б показан случай, когда вязкость нагнетаемой жидкости (пропана) значительно ниже вязкости пластовой нефти. В этом случае из-за микронеоднородности пласта в натуре или за счет дискретности сетки, которая моделирует данную задачу, может образоваться небольшой язык прорыва по случайному направлению. При равной вязкости жидкостей этот случайный прорыв в дальнейшем не будет развиваться, и граница выровняется. Если вязкость нагнетаемой жидкости значительно ниже вязкости нефти, то возникший язык прорыва будет лавинообразно развиваться, так как сопротивление фильтрации вдоль языка станет меньше, чем по соседним направлениям. Такое случайное появление языка приводит к тому, что нагнетаемая жидкость прорывается в эксплуатационные скважины не по прямым, соединяющим их с нагнетательной скважиной, а по случайным линиям, показанным на рис. 5, б штриховыми линиями со стрелкой.

Из-за лавинообразного развития прорыва по кривым линиям время прорыва сокращается и коэффициент охвата области разработкой уменьшается. Это видно из того, что остаточные целики нефти увеличились и, кроме того, появились дополнительные целики нефти в виде языков вдоль прямых линий тока, соединяющих нагнетательную скважину с эксплуатационными.В этом практическом примере неустойчивость процесса и неустойчивость решения оказались идентичными, так как и в натуре и при моделировании на дискретной сетке могут возникнуть одни и те же причины искажения решения, а именно микронеоднородность пласта или неточность аппроксимации водонефтяного контакта.

Повторное решение той же задачи другим оператором может дать еще одно решение, отличающееся от предыдущего, так как другой оператор может аппроксимировать криволинейный водонефтяной контакт (ВНК) другой ступенчатой линией, что вызовет лавинообразный прорыв нагнетаемой жидкости в эксплуатационную скважину по иной линии.

Если вязкость нагнетаемой жидкости равна или больше вязкости пластовой нефти, все повторные решения различными операторами дадут один и тот же результат.

Приведенный выше пример интересен в том отношении, что он показывает неустойчивость задачи лишь в отношении скоростей фильтрации, а не потенциалов, а эта неустойчивость может стать заметной лишь после нескольких переборов ВНК, когда лавинообразный процесс достаточно разовьется.

Согласно вышеизложенному для «тонких» систем невозможно по величине погрешности, определенной по формуле (2), судить о том, получено неточное или неправильное решение.

Для «грубых» систем обычно принятая практика оценки приближенного решения, как решения, отличающегося на единицы 122

(иногда десятки) процентов от точного, сохраняет свою силу и при моделировании.

Рассмотрим величину погрешности, причины ее появления и меры по ее уменьшению при моделирования «грубых» систем.

Метод электрического моделирования является экспериментальным методом решения и, как всякий экспериментальный метод, дает приближенное решение заданного уравнения, так как обеспечить в эксперименте абсолютно точное значение всех параметров (коэффициентов), входящих в уравнение, и всех потенциалов, соответствующих граничным и начальным условиям, а также абсолютно точное измерение искомых функций невозможно.

Все сопротивления, емкости и индуктивности изготовляются с определенной степенью точности и могут быть набраны с определенным дискретным шагом (через 10%, 1,0%, 0,1% и т. д. от максимальной величины).

Выводы от делителей напряжения для задания граничных или начальных условий также делаются через определенный шаг (1 %, 0,5% ит. д.).

Повышение точности изготовления элементов или дробление шага дискретности усложняет и удорожает оборудование и затягивает процесс решения.

С другой стороны, в инженерных задачах точность исходных условий невелика и добиваться задания коэффициентов с большой точностью нецелесообразно.

Не следует, например, добиваться, чтобы погрешность сопротивлений или других элементов модели была значительно меньше шага дискретности, так как необходимость округления коэффициента до значения, соответствующего имеющемуся в (модели, внесет в решение погрешность значительно большую, чем погрешность от неточности изготовления сопротивлений.

Практически установлено, что дискретность в задании параметров задачи и в потенциалах находится в пределах 0,5—1,0%.

Все вспомогательные устройства (по выработке граничных и начальных условий, измерению и т. п.) имеют погрешность того же порядка и это не вызывает трудностей в их разработке и изготовлении.

Погрешность решения задач на электроинтеграторах зависит не только от погрешности в изготовлении элементов модели, но и от других причин.

Все причины, вызывающие погрешности, можно классифицировать следующим образом:

1.    Упрощение первоначального уравнения с целью доведения его до типа, решаемого на интеграторе.

2.    Замена дифференциального уравнения конечно-разностным.

3.    Дискретность задания параметров модели и потенциалов, соответствующих коэффициентам уравйения и начальным и граничным условиям, погрешность в изготовлении сопротивлений и емкостей и ограниченная мощность источников питания.

4.    Неточность вырабатываемых на модели функций времени.

5.    Погрешность измерительных устройств.

6.    Несоответствие методики постановки данной задачи на модели с требуемой точностью искомых величин (при моделировании бесконечных областей на ограниченных моделях, при моделировании в декартовой системе координат криволинейных областей, при моделировании сплошной среды дискретной сеткой вблизи от особых точек, неправильный выбор масштабов независимых и искомых (переменных и т. п.).

7.    Погрешность обработки полученных результатов.

При этом та или иная причина может доминировать в зависимости от типа поставленной задачи и от того, что является искомой функцией.

Обычно погрешность различных функций, получаемых на модели, бывает не одинаковой.

Так, иногда потенциал определяется с большей точностью, чем градиент потенциала, особенно если учесть, что абсолютная величина потенциала почти всегда больше, чем градиент, и, следовательно, ближе к 100% шкалы масштабов.

Не следует также забывать, что погрешность решения в различные моменты процесса может меняться и поэтому следует изучать погрешность в границах изменения координат и времени, требуемых по постановке задачи.

Правомерность упрощения начальных дифференциальных уравнений и замены их конечно-разностными, а также оценка вызываемой этими причинами погрешности является чисто математическими задачами, решение которых нашло отражение в работах Панова [10], Коллатца [8], Шура-Бура [11].

В общем виде определение этой погрешности связано с большими трудностями, так как она оценивается с помощью линейной комбинации максимальных значений модулей старших производных.

В задачах фильтрации, описываемых уравнением типа Лапласа в многосвязной области, амплитудные значения 'производных находятся вблизи от границ (скважин) в однородной среде, а в неоднородной среде амплитудные значения могут возникать и в тех районах, где резко меняется параметр, соответствующий сопротивлению фильтрации. Однако в большинстве случаев эти амплитудные значения меньше, чем у контура скважин, и поэтому оценка погрешности у контура скважин помогает оценить погрешности решения со значительным превышением (в 5—10 раз) относительно средней погрешности решения по всей моделируемой области.

Оценка этой экспериментальной погрешности может быть «произведена путем замера градиентов потенциала и потенциала 124

в клетках, граничащих со «скважиной», и сравнением полученных результатов с расчетными потенциалами и градиентами потенциала на продолжении осесимметричного течения у стенок скважин (расчет по формуле Дюпюи).

Повторным набором сопротивлений, многократными замерами, использованием различных измерительных устройств и заданием граничных условий делителями можно найти средневзвешенное значение потенциалов и градиентов потенциала по модели вблизи скважин и тем самым исключить погрешность, связанную с дискретностью узлов интеграторов и измерительных устройств, и выделить погрешность, связанную заменой диффе-реницальных уравнений конечно-разностными.

В ряде задач фильтрации нефти в подземном резервуаре нами были получены следующие значения этой погрешности.

По давлениям

В ближайшей к скважине клетке погрешность приблизительно равна 2,5%, причем по диагонали метод конечных разностей дает завышенное значение, а по стороне — заниженное. Во второй клетке погрешность получается приблизительно 0,8%, в более удаленных 0,3—0,1 %.

По градиентам

В двух ближайших к узлу клетках погрешность равна приблизительно 2,5—4,0%, в более удаленных клетках 0,4—1,8%.

Повышенное значение погрешности по градиентам объясняется тем, что разница решений (теоретического и модельного) относилась к максимальному значению давления или градиента, полученного на модели, а максимум градиентов значительно ниже, чем для давлений.

Особенно большие погрешности следует ожидать при малом количестве шагов модели между двумя особыми точками (скважинами). В этом случае логарифмический закон изменения потенциалов между скважинами будет нарушен и если граничные условия в скважинах будут одинаковы, а расстояние между ними будет составлять лишь одну сторону клетки, то вместо седлообразного изменения потенциала будем иметь горизонтальную прямую.

Для оценки погрешности, вызванной заменой дифференциальных уравнений конечно-разностными, можно воспользоваться известными в математике методами [И], принимая за максимальные значения модули старших производных, полученные на модели вблизи особых точек, границ области или на границах неоднородностей.

Для определения этих старших производных на модели можно воспользоваться формулами Панова [10] или других авторов [8] для вычисления производных по известным конечным разностям.

Влияние дискретности и неточности задания параметров модели и потенциалов, а также неточности вырабатываемых функций времени может быть оценено с помощью вариации этих параметров и потенциалов на минимальную величину шага дискретности, допускаемую моделью.

Погрешность измерительных устройств может быть оценена и повышена предварительной градуировкой шкалы и составлением поверочной таблицы.

Следует обращать внимание на подбор сопротивлений, обеспечивающих масштабные коэффициенты измерителя, и проведение замеров на масштабах, дающих, по крайней мере, два точных злака.

Наиболее значительными и трудно поддающимися учету являются погрешности, вызванные недостаточно квалифицированной постановкой задачи, т. е. несоответствием методики моделирования существу задачи. Почти каждая задача требует самостоятельного продумывания методов ее моделирования с учетом погрешности исходных данных, требуемой точности решения и необходимых замеров.

Можно дать некоторые практические рекомендации, безусловное выполнение которых будет содействовать повышению точности решения задач фильтрации:

1.    Необходимо использовать весь диапазон набора сопротивлений и максимально допустимое значение потенциалов 100%.

2.    При моделировании скважин включаются дополнительные сопротивления, отражающие призабойное сопротивление и несовершенство скважин.

На модели целесообразно принимать за 100% разность потенциалов не между «забоями» скважин, а между узлами модели, в которые включены эти сопротивления. При значительном несовершенстве скважин это помогает снизить погрешность реше-ния в 2—3 раза. Полный перепад давления при этом измеряется по частям, а затем суммируется.

3.    При наличии криволинейных или неортогональных границ следует размещать модель так, чтобы наклонные или ступенчатые границы попадали в те области модели, где ожидаются наименьшие градиенты потенциалов или где не требуется производить замеров.

4.    В тех случаях, когда это возможно, следует моделировать симметричные области или создавать искусственно симметрию, отражая зеркально задачу, относительно одной из прямолинейных границ, что позволит выявить случайные неполадки или ошибки в наборе сетки.

5.    При замерах всего поля градиентов следует иметь в виду, что в случае однородной среды значения градиентов изменяются плавно и амплитудные значения чаще всего наблюдаются вблизи скважин и границ области, а также в районах сниженных поперечных сечений трубок тока.

Для контроля отсутствия случайных обрывов сопротивлений сетки можно строить зависимости AU = f(x), где AU — составляющая градиента потенциала в направлении х; соединяя концы векторов A£/, получаем плавную линию. Резкие скачки значений AU в соседних точках, выпадающие из плавной линии, показывают места обрывов или неправильных наборов сопротивлений.

Этот метод, названный нами «Методом спрямления касательных», позволяет обнаруживать неисправности модели без перебора сетки или граничных условий.

6.    В местах, где градиенты потенциала принимают большие значения или где направление векторов градиента резко меняется, следует поставить электролупу или произвести раздельное моделирование в более крупном масштабе, используя данные основной модели для задания граничных условий.

7.    Для повышения точности результата в случае, когда моделируемые расстояния между скважинами имеют одновременно малые и большие значения, целесообразно применить метод суперпозиции и производить моделирование в разных масштабах.

8.    Для оценки точности моделирования бесконечных или очень больших полей на ограниченных интеграторах (когда вне области, умещающейся на интеграторе, не имеется источников или стоков) следует произвести моделирование дважды: при удвоенных граничных сопротивлениях и при граничных сопротивлениях, замкнутых накоротко. Разница в решениях, полученных по этому методу, в любой точке модели, в любой момент времени будет больше погрешности решения за счет ограниченности сетки.

9.    Для повышения точности определения градиентов потенциала в неоднородных средах целесообразно пользоваться методом расчета сопротивлений, описанным в работе [7]. Там же описана специальная линейка, облегчающая и ускоряющая процессы построения векторов скорости.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Быхов'ский М. Л. Точность электрических сеток, предназначенных для решения уравнения Лапласа. Изв. АН СССР, Отд. техн. наук, 1950, №4, стр. 489—526.

2.    Быховский М. Л. Точность электрических сеток, предназначенных для решения уравнения Пуассона. В сб. «Точность механизмов и машин». Труды семинара по точности механизмов и машин, вып. 4, 1952, стр. 3—55.

3.    Быховский М. Л. Основы динамической точности электрических и механических цепей. М., Изд. АН СССР, 1958, стр. 360.

4.    Волынский Б. А., Бухман В. Е. Модели для решения краевых задач. М., Физматгиз, 1960, стр. 181—184, 391.

5.    Гутенмахер Л. И. Электрические модели. М., Изд-во АН СССР, 1949, стр. 388.

6.    Карплюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля. М., Изд-во иностр. лит., 1962, стр. 1—461.

7.    Коган Л. Г. Определение фильтрационных потоков в неоднородных средах на электроинтеграторах и расчет сопротивления сеток. В сб. «Вопросы теории и применения математического моделирования». М., «Сов. радио», 1965, стр. 415—432.

8.    К о л л а т ц Л. Н. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М., Изд. иностр. лит., 1953, стр. 278, 298.

9.    Николаев Н. С., Козлов Э. С., Полгородник Н. П. Аналоговая машина УСМ-1 для решения задач уравнений математической физики. М., Машгиз, 1962, стр. 158, 161, 164.

10.    Панов Д. Ю. Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных производных. М., Гостехиздат, 1951, стр. 73.

11.    Шура-Бура М. Р. Вероятностная оценка погрешности в решении системы конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих задачу Дирихле для уравнения Лапласа на электрических сетках. Известия АН СССР, т. XXVIII, № 1, 1951, стр. 21—24.

АЛА

Г л а в а II. Задачи теплопереноса и фильтрации

А. Н. Резников, А. В. Темников, В. J5. Басов, Б. М. Гаврилов