ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНАЛОГОВЫХ И КВАЗИАНАЛОГОВЫХ СЧЕТНО-РЕШАЮЩИХ УСТРОЙСТВ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОФИЗИКИ ПРОЦЕССА ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ РЕЗАНИЕМ 2
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

Модель набирается на сетке МСМ-1. Теплопроводность, как и при решении уравнения Пуассона, имитируется электропроводностью сетки. Движение среды имитируется специальными сопротивлениями Ro,включенными в каждый узел модели движущейся среды.

На свободные концы сопротивлений от группы потенциометров подаются потенциалы, которые согласно методу равны потенциалам в соседних узлах по ходу движения теплоисточника. Граничные условия II рода (мощность теплоисточников) задаются через большие сопротивления истоков. Уравновешивание потенциалов производится последовательно от узла к узлу методом итерации. Для измерения потенциалов применяется измерительное устройство ИУ компенсационного типа. Гальванометр измерительного устройства используется также в качестве нуль-индикатора при выполнении уравновешивания.

На рис. 7 показано температурное поле, полученное квазиана-логовым методом, в зоне резания при точении.

С помощью квазианалогового метода был также исследован тепловой баланс в зоне резания и получена картина распределения тепловых потоков на гранях раздела резец — стружка, резец — изделие, изделие — стружка.

Полученные при моделировании картина температурного поля и тепловой баланс хорошо согласуются как качественно, так и количественно с данными других исследователей (1, 2].

Разработанные в лаборатории устройства и методы аналогового и квазианалогового моделирования могут быть использованы не только для исследования теплофизики процесса резания, но и для решения ряда задач теплофизики других технологических процессов, таких, как штамповка, прессование, сварка и т. д.

1.    Резников А. Н. Теплообмен при резании и охлаждении инструментов. М., Машгиз, 1963, стр. 67—118.

2.    Ц л а ф М. Я. Количество теплоты, отводимой через резец при резании металлов. «Сборник научных трудов Куйбышевского индустриального института». Вып. V. Изд. Куйбышевского индустриального института, 1955, стр. 118—132.

А. В. Темников, Б. М. Гаврилов, Н. В. Дилигенский

КВАЗИАНАЛОГОВЫЕ МЕТОДЫ ЭЛЕКТРОМОДЕЛИРОВАНИЯ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА

ПРИ ОТНОСИТЕЛЬНОМ ПЕРЕМЕЩЕНИИ ТЕЛ,

НАХОДЯЩИХСЯ В ТЕПЛОВОМ КОНТАКТЕ

Исследования краевых задач контактного теплообмена при относительном перемещении тел имеют большое теоретическое и практическое значение, особенно в области теплофизики механической обработки деталей, теплофизики сварки, наплавки и ряда других технологических процессов. С изучением таких задач тесно связаны также вопросы расчета износа деталей машин. Аналитическое решение указанных задач связано с большими математическими трудностями и проводится лишь приближенно с использованием метода Йегера, в основе которого лежит положение о равенстве температур на площадке контакта двух тел.

Задачи контактного теплообмена в телах, находящихся в относительном движении, можно исследовать и методами электрического моделирования. При этом удается обеспечить равенство температур в соответствующих точках на поверхности контакта, а также моделировать теплообмен с учетом контактного сопротивления.

При использовании этих методов моделирование одного из двух контактирующих тел необходимо производить в подвижной системе координат.

Предложенные В. Пашкисом [8], Л. А. Коздобой и В. И. Мах-ненко [1] аналоговые методы электромоделирования температурных полей в подвижной системе координат имеют следующие существенные ограничения:

1. При больших скоростях движения теплоисточника (больших числах Пекле Ре = —^ эти методы практически неприемлемы либо из-за необходимости иметь слишком мелкую сетку, либо из-за больших относительных погрешностей измерения потенциа-

лов на моделях, что связано с резким убыванием по координате вспомогательной функции, применяемой в этих методах.

2.    Методы применимы лишь в случае постоянства коэффициента температуропроводности.

3.    Вектор скорости принимается постоянным, не зависящим как от координат, так и от времени. В связи с этим указанные аналоговые методы не могут быть использованы для моделирования температур во вращающихся деталях или при течении жидкости в каналах переменного сечения.

Значительные трудности при больших числах Ре возникают также при использовании аналогового метода «согласования» сопротивлений, предложенного Джонсоном и Сорокой [6], [9].

Большие перспективы для моделирования краевых задач контактного теплообмена при относительном перемещении тел имеют квазианалоговые методы, общая теория которых разработана чл.-кор. АН УССР Г. Е. Пуховым [5].

Авторами разработаны и внедрены квазианалоговые методы моделирования явлений контактного теплообмена с учетом зависимости теплофизических параметров от температуры. Предложенные квазианалоговые методы свободны от перечисленных выше ограничений аналоговых методов.

Математически краевая задача о контактном теплообмене при относительном перемещении двух тел и в случае зависимости теплопроводности от температуры формулируется в виде следующей системы дифференциальных уравнений:

1. Дифференциальное уравнение теплопроводности для тела, связанного с подвижной системой координат (движущегося с теплоисточником), можно записать в виде

-jp- = Аг (0,) [v20i + Ро]    (1)

Ог 01

при соответствующих начальных и граничных условиях (исключая условия на площадке контакта) [5].

2.    Дифференциальное уравнение теплообмена Фурье-Кирхгофа для тела, перемещающегося относительно подвижной системы координат, имеет вид

-5s- + Ре(1)    + Ре(2)-^- + Ре(3)    = Л2 (02) [у202 + Ро]

dFn    <% л    зь    <3фз    2/ L V 2TKOJ

(2)

при соответствующих начальных и граничных условиях (исключая условия на площадке контакта).

3.    Граничные условия на площадке контакта двух тел записываются в следующем виде:

V1 (®l) = V2 (62);    (3)

= J + Ф0 — аналог Г. А. Варшавского;

В этих уравнениях:


Фх— фю ®1М-фю


безразмерный тепловой потенциал Ф;


0 =


Ф

t — температура;

Фю —масштабная разность потенциалов Ф;


Ф


I м ■


П    aQl*    ,

^01 =    — число Фурье;


<ь*2


— аналог критерия Померанцева;


ФхМ—*i


Ах — — — безразмерная температуропроводность;


“01

9, = ?l^l!L


t~ta


Fo,2 =


V =


—Фю    R*

безразмерная температура; tM — t0 — масштабная разность температур;


qR


— аналог критерия Кирпичева;


ФХМ—Фю


* =--безразмерная нормаль;

R

R — характерный размер.

Если q% — криволинейная ортогональная координата (« = 1,

2, 3) имеет размерность длины, то ipi = —--число Пекле

R

vR

Pe<f> = -—;    Vi = Hi (где — коэффициент Ламе); если qi

а02

vtR*

а02

dqj

dx

безразмерно, то

Ь = <7«.' Ре<,> =

,.-Ж.

I V2V3    dQ \

\ vx    ax|)X J

ae


1


а9


А* =


V20 =

\ V2 ^2


+


VxV2V3 [ dtp!

ae \ , e


а02

д

д$2


/_^2 \ v3


+


+ '


дф3


— лапласиан в криволинейной ортогональной системе координат.

Уравнение (1) моделируется обычными аналоговыми методами. В уравнении (2) аналоговыми методами может быть смоделирован лишь первый член в левой части и правая часть. В целом для моделирования уравнения (2) нельзя построить аналоговую модель на сетках из омических сопротивлений, поэтому используем приемы квазианалогового моделирования.

Представим уравнение (2) в дискретной форме для узла сетки (/, /, к), изображенного на рис. 1, а.

V1 и. /■ fe)V2 и *)V3 («'■ /, к) (д^11 + А^12) (Д^21 + А^22) (ДФз1 4~ АФзг) х


^ i. 6. я 4~    /■ к, я— 1 j

„, ,    /, к, п ®/. /, А. л-1    . ®i+l. /. к, л 9», /, *, я .

X /    ~    I    . .    "т"

р    Дфхг

Ре<‘>

9- , ь-i-,, л —9-ДФз2


9f, /+1, ft, я    I' h, я | vi, /, ft+1, я vi, /, А. я ^ _


+


ДФ22

Ре(2)


pe(3)


+

Qf+1, /, k, n~ fy, /, А, я

Дфхг

(Дфгх -f- Дфгг) (ДФзх ~Ь ДФ32)


V /    ,    \V ,    ,    \

2(f+T’^) 3(/+т-А*)


!, i, k, n 9 i, /, k, n


+


+


Дфи

(АФ21 + ДФ22) (Афзг + АФзг)

/+1 t k, П в/. /, k, n


+


+


ДФ22

(Дфц + Дф12) (Дфзх + Дфзг)

9;, /—1, к, я ®/, /, к, я


+


+


ДФ21

(Дфц + ДФхг) (Дфзх + Дфзз)

+


®/, /, ft+1, л ®f, I, к,п


+


»(лм+±)


Дфз2


’.(и,


1 \ (Афп + АФ12) (ДФ21 + ДФ22)


+


в|, /, k— 1, п    /, k, п


+


Дфз1

(Афц + ДФ12) (ДФ21 "Ь ДФ22)


+ Vl(i, /, A)V2(1. /, *)V3(<, /, *) (А^11 + A^) (Д^21 +

+ Д Ф22) OH'si "Ь Афзз) Рои. /, k, п)г где Р = AF0 — шаг безразмерного времени.

Рис. 1. Принцип моделирования уравнения Фурье — Кирхгофа:

а — схема узла сетки; б — элемент электрической сетки для узла i, J, k

Обозначим через (J =

= ■    безразмерный

Um-U0    f к

электрический потенциал,

UM — U0 — масштабную разность потенциалов и составим сетку из омических сопротивлений, типовой узел которой изображен на рис.

1,6.

Записывая первый закон Кирхгофа для узла (i, /, k) в безразмерной форме при условии равенства потенциалов

ж./.о.; _р*= (6)

i, /+1. к, п< U$—Ui'ltk+l,n и сопоставляя полученное при этом выражение с уравнением (5), получим формулы для расчета сопротивлений сетки в ортогональной криволинейной системе координат.

Для декартовой системы координат (х, у, z), полагая

vi = v2 = v3=l;    4>i =

= — = Е-R **

4>а = -£- = ч; = y = Е; Дфх = % Дф2 = hn; Дфз = Л;;

2 А (0)    _

(/ij| +/г2|) (Л]^ +/i2T)) (^i j + ^25)

получим следующие формулы для сопротивлений:

R-z = PN iRmI

Ri

h,

N iRmI

Ре< >

R2 =

Ре(2)    Ре(3)

^12 -

^11 =


/I


И


■ RmI


(tlIn +    (^1£ ~b ^2^)

Я 22 = -^

(^1£ 4" ^2|) (^1£ 4“ ^2^)

^21 ~ (hi% + h2l) (hn + h2l) Rm’ Rs2 = „    , , 4£ t


(^1£ 4" ^2^ (^1т] 4" ^24^


(7)


*31 —


Л


It


**=■


(^i£ 4- h2%) (^14 4* 2


*ЛЬ


(/i^+ /i2|)(^in 4- ^24) (hit 4*^2^) ^o(/, /, k,


Rm,


n)


где /?м — масштабное сопротивление.

Для цилиндрической системы координат (г, ф, 2),

vi = vs = i; v2 = -jjr = p; Ф1 = p;

ф2 = ф; Фз = -j- = £; ЛФ1 = V*


полагая


W2 = -

получим формулы


Лф2 = К', Лфз = А;;

_2/4 (9)_

Р| (^lp 4-^2р) (Л1ср + ^2cp) (Л1^ 4- h2{)


Ri =


Rx = PN2Rm’>

h


Pe(D


*2ф

pe(2)


HQV

pe(3)

Rs =--^N2Rm;

%


£,


/?


ЛГ


(Л1Ф + ^2cp) (^1£ + ^2fc)

*lp


*11 =


Mp


(^lcp + ^2cp)    £ + ^2^)


Pi'


Р/Л



Rm» Rm;


^22 R2I R32 :


(8)


(^lp + Л2р) (^1£ + h2t) M

. _Р^1Ф

(Л1р + Л2рНЛ1£ + Л2;) h


TLK


Rm;


Р/(Лlp +Л2р) (Л1Ф + Л2ф)

*.i = т:-г-;—гт;-ГГ—Г


Р/(А1р + /l2p) (Л1ф +Л2ф) 2


*м-


Р/ (Л1р + ^2р) (Л1ф + h2cp) (hlt + ^ Р0 (/,/,&,л)