РАСЧЕТЫ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПЕРЕНОСА ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ВОДЫ В ГРУНТЕ МЕТОДОМ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

РАСЧЕТЫ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПЕРЕНОСА ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ВОДЫ В ГРУНТЕ МЕТОДОМ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ

Распространение тепла в грунте при фильтрации воды по порам происходит не только за счет теплопроводности, но и путем конвективного теплообмена. Оба эти процесса протекают в тесной взаимосвязи и взаимообусловленности. Тепловое состояние скелета грунта и воды в фильтрующем потоке зависит от характера процессов теплообмена как внутри каждой из этих сред, так и между ними. Кроме того, оно в существенной мере определяется закономерностями процессов фильтрации и конвекции воды в грунте.

Каждый из этих процессов в отдельности может быть описан дифференциальными уравнениями с соответствующими граничными и начальными условиями.

Совместное аналитическое решение системы дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемый процесс, сопряжено с большими трудностями математического порядка, которые пока еще не удалось преодолеть. Вследствие этого решение задачи ищется с введением в расчетную схему упрощающих предпосылок.

Обычно принимают следующие допущения: термическое сопротивление частиц скелета грунта равно нулю (т. е. в любой точке фильтрационного потока температуры частиц грунта и воды совпадают по величине); поры грунта полностью заполнены водой; вода совершает только вынужденное движение, т. е. свободная конвекция в потоке отсутствует;

процесс фильтрации воды—стационарный и поле скоростей фильтрации известно.

В этом случае процесс теплообмена в грунте при наличии фильтрационного потока может быть описан одним дифференциальным уравнением [1]

_d

dz

dt

dz


дх V


dt


r dt

^г Л дт


дх ) ду


X


уду dt

~ду


(vx— +

V дх


)•


(i>


V„


X


где C6 и Сг— объемные теплоемкости воды и грунта при полном заполнении его пор водой;

Vx, Ууу Уz — составляющие вектора скорости фильтрации воды по направлению координатных осей;

Ку V ^—коэффициенты теплопроводности грунта вдоль осей х, у, г; т — время; t — температура.

Но даже в таком виде аналитическое решение этого уравнения связано с большими трудностями.

Новые возможности в решении поставленной задачи открывает использование метода гидравлических аналогий. Способ практического решения уравнения (1) на гидравлическом интеграторе был предложен проф. В. С. Лукьяновым [1]. При этом задача сводится к нахождению температурного поля, описываемого дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье с дополнительными переменными источниками (стоками) тепла внутри исследуемой области. Интенсивность этих источников

слу^+v>it+v*i-

При расчетах на гидравлическом интеграторе действие источников (или стоков) может быть воспроизведено прилипанием воды в каждый элементарный блок зоны фильтрации. Прилипание

можно осуществлять непрерывно или конечными порциями через определенные интервалы времени.

Методика осуществления непрерывного вливания разработана достаточно полно и описана в литературе [2, 3]. Были разработаны специальные устройства для обеспечения удобства воспроизведения рассматриваемых процессов на гидравлическом интеграторе [1, 4].

При решении задач с большим количеством блоков в зоне фильтрации этот способ оказывается громоздким, так как он требует непрерывного индивидуального управления приливанием в каждый из этих блоков в процессе расчета.

В способе вливания конечными порциями источник, воспроизводящий конвективную составляющую теплового потока, действует отдельными импульсами, следующими друг за другом с интервалом по времени. Осуществление этого метода не требует какого-либо дополнительного оборудования.

Расчет количеств приливаемой воды осуществляется по несложным аналитическим формулам [3, 5]. Однако из-за того, что эти вычисления приходится выполнять в большом количестве для всех блоков области фильтрации в каждый интервал времени, необходимо искать дальнейшие пути упрощения формул и ускорения по ним. Такие возможности открывает, например, использование разработанного нами графо-аналитического метода расчета изменения температур в зоне фильтрации за счет конвективного теплопереноса. Метод основан на графическом решении аналитических выражений, полученных для случаев равномерной и непрерывной разбивки области фильтрации на блоки [5].

В окончательном виде эти расчетные уравнения имеют следующий вид:

а) при равномерной разбивке области фильтрации на блоки

тД^л ,* —    *— (tn—i, k—\ /л+i, k— i) Дт*;    (2)

1Ьг1лХ

б) при неравномерной разбивке области фильтрации на блоки

СвУ I *п—1, k-l ~*п, k-1 , fn, /г-1 ~ У(-1. fe-l \ дт Сг \ Ахп + Ахп_1    Ахп + Ахп+1    ) к'


x&tn,k —


(3)


где тАtntk — изменение температуры «в центре тяжести блока под влиянием теплопереноса фильтрующейся водой за период k-то интервала времени Дт&.

Индексы п относятся к порядковым номерам блоков по ходу фильтрации, а индексы k — к порядковым номерам временных интервалов Дт (рис. 1). При вычислении уравнений (2) и (3) величину расчетного интервала времени Дт следует брать из условия

Сг А* 2 СвУ

Дт

(4)

в случае неравномерной разбивки области фильтрации на блоки или из условия

(5)

дт = _9А*Р.

2 CeV при равномерной разбивке на блоки;

здесь Дхр =    размер элементарных блоков вдоль оси х при

равномерной разбивке области фильтрации на N блоков;

L — габаритный размер области фильтрации вдоль оси х\

N — число элементарных блоков, на которые разбита область фильтрации при данной равномерной разбивке.

Рис. 1. Изменение температур при равномерной разбивке области фильтрации на блоки для временных интервалов (k—1) и k

С учетом условий (4) и (5) уравнения (2) и (3) упрощаются и их можно решать графически. Графо-аналитические методы расчета изменения температур за счет конвективного теплопе-реноса при фильтрации рассматриваются ниже отдельно для случаев равномерной и неравномерной разбивки области фильтрации на блоки.

а) Равномерная разбивка на блоки

Рассматривается одномерный нестационарный тепловой поток в грунте, обусловленный теплопереносом водой, фильтрующейся в направлении координатной оси х (рис. 1). Скорость фильтрации V принимаем неизменной. Температура фильтрующейся воды на входе в область грунта, в которой надлежит определить изменение температур, задана в виде линейной зависимости от времени.

Начальное распределение температур в грунте изображено на рис. 2 штриховой линией.

Основное расчетное уравнение (2) при подстановке в него Дт из условия (4) принимает вид

(6)

^/l—1, k—1 ■” *л+1, k-

4

Это уравнение положено в основу графо-аналитического метода расчета (рис. 2).

Вначале определяется величина расчетного интервала времени Дт по условию (4) для принятых в задаче физических параметров грунта и фильтрационного потока и геометрических размеров элементарных блоков. Исходя из полученной величины Дт, заданный график изменения температуры воды te на входе в рассматриваемый слой грунта (прямая линия) заменяется ступенчатым графиком с постоянной температурой воды в пределах

каждого интервала Дт.

Рис. 2. График начального распределения температур в грунте

Графически уравнение (6) удобно решать на планшете миллиметровой бумаги с нанесенными на нем в принятом масштабе границами, блоков (по горизонтали) и их центрами (вертикальных линий). По вертикальной оси планшета откладывается температура и ее приращение за рассматриваемые интервалы времени Дт&. Исходными величинами для расчета в пределах каждого рассматриваемого временного интервала Дт& являются распределение температур в области фильтрации в конце предыдущего интервала времени Дтй_1 и средняя температура воды на входе в первый блок по ходу фильтрации в рассматриваемый интервал времени Дть. Последняя откладывается на графике по вертикальной линий, расположенной на расстоянии Ддс/2 от входной грани крайнего блока со стороны входа фильтрационного потока.

Согласно предпосылкам, принятым при выводе расчетных формул (2) и (3), температура грунта в центрах тяжести элементарных блоков и температура воды на входе в рассматриваемую область грунта считаются неизменными в течение всего расчетного интервала времени Дт&, а распределение температур между центрами блоков соответствует установившемуся состоянию, т. е. оно линейно. Построение кривой распределения температур в области фильтрации на конец рассматриваемого интервала В|ремени Дть следует начинать со стороны входа воды в рассматриваемую область.

Для этого соединим между собой прямой линией точки, соответствующие температуре входного блока в центре тяжести в интервале времени Дтй-i (точка а) и температуре воды на входе в рассматриваемую область грунта в интервале Дт* (точка Ь). 162

При этом приращение температуры во входном блоке за период Ахн графически будет выражаться вертикальным отрезком cd, заключенным между прямыми, соединяющими температуры на входной и выходной гранях блока (линия ef), и горизонтальной прямой ес, проведенной из точки, соответствующей температуре на входной грани этого блока, до пересечения с вертикальной осью блока. Это следует из того, что уравнение (6) можно представить в следующем виде:

Выражение, заключенное в скобках, представляет собой разность температур на гранях рассматриваемого блока, а половина этой разности равна длине отрезка ей.

Искомая температура центра блока в конце расчетного интервала времени Дт* графически выражается отрезком, отсекаемым на вертикальной оси этого блока горизонтальной прямой, проведенной из точки, соответствующей температуре входной грани блока в течение интервала времени Дть.

Практически при графическом решении уравнения (6) нет надобности в отдельном определении т Atn< h и tn,k , так как целью расчета является последняя из названных величин, т. е. температура в конце рассматриваемого интервала времени Ахи- Аналогично и для остальных блоков, располагая данными о распределении температур в зоне фильтрации в предыдущий интервал времени, можно графически получить распределение температур на последующем интервале. Для этого достаточно в каждом элементарном блоке провести горизонтальные прямые из точек, соответствующих температурам на их входных гранях в предыдущий интервал Дт&-1 до пересечения с ординатами, проведенными через центры тяжести этих блоков. Отрезки, отсекаемые этими прямыми на вертикальных осях блоков, будут численно равны искомым температурам tn,k-

Определение температур в центрах блоков на конце следующего интервала времени, т. е. в конце интервала Ать+ь производится таким же путем, только за исходное распределение температур в этом случае принимаются результаты расчета по предыдущему интервалу Ахь,-

Изложенный выше метод применим и в тех случаях, когда переменными во времени являются не только температуры фильтрующейся воды, но и скорость фильтрации ее. Порядок расчета при этом принципиально ничем не отличается от рассмотренного за исключением того, что в этом случае интервал времени Дт уже не является постоянным, а должен определяться по уравнению (4) или (5) для каждой ступени расчета в соответствии с изменением скорости фильтрации V.

11*    1€3

б) Графо-аналитический метод расчета температур в зоне фильтрации при неравномерной разбивке области фильтрации на блоки

Исходное расчетное уравнение (3) после подстановки в него величины Дт из уравнения (5) можно представить в следующем виде:


*n, k-\    ^/г-Г l,fe— l A*p


tn. k—\    Ад:p


ln— \, k— 1


• (7)


A*„


Ад:


Рис. 3. Схема к расчету изменения температур в грунте при неравномерной разбивке области фильтрации на блоки

Нетрудно установить, что при этом уравнение (7) будет совершенно аналогично уравнению (6) для случая равномерной разбивки на блоки. Для графического решения этого уравнения на планшете должны быть нанесены обе системы разбивки области фильтрации на блоки: фактическая с неравномерным шагом вдоль оси х и фиктивная в виде блоков одинакового размера Ахр вдоль оси х, центры тяжести которых совпадают с центрами тяжести блоков фактической разбивки (рис. 3).

Расчет в этом случае начинается с определения шага Ахр. Далее определяется расчетный интервал времени Дт по уравнению (5).

На планшете со схемой разбивки области, в которой подлежит исследовать изменение температур под влиянием конвективного теплопереноса с водой, следует провести вертикальные линии через центры тяжести выделенных элементарных блоков. Кроме того, проводятся вертикальные линии по обе стороны от центра тяжести каждого элементарного блока на расстоянии от него, равном Ахр/2. На рис. 3 эти линии нанесены штрихом.

Далее, в соответствии с полученной величиной расчетного интервала времени Дт следует преобразовать график изменения температур воды на входе в крайний блок, заменив его ступенча-тым графиком с постоянными температурами в пределах каждого интервала Дт. Построение кривой распределения температур в центрах блоков области фильтрации для заданного интервала времени производится в таком же порядке, как и в рассмотренном ранее случае с равномерной разбивкой на блоки. Это

следует из того, что благодаря переходу к блокам, имеющим одинаковый размер вдоль оси х — Ахр, фактическая схема разбивки области фильтрации на блоки различных размеров приводится к системе одинаковых элементарных блоков, но расположенных на неравных расстояниях друг от друга вдоль пути фильтрации. Принимая распределение температур между центрами смежных блоков в предыдущий интервал Дть-i линейным, температуру в рассматриваемом блоке в конце последующего интервала Ат* можно определить путем сноса на вертикаль, проходящую через центр тяжести этого блока, температуры на входной грани блока равномерной разбивки с шагом Ахр, центр тяжести которого совпадает с центром тяжести рассматриваемого блока.

При расчетах на гидравлическом интеграторе следует преимущественно пользоваться графическими методами расчета температур в зоне фильтрации, так как это позволяет существенно сократить трудоемкость и общее время проведения расчета.

Рассмотрим порядок применения разработанных методов к расчетам на гидравлическом интеграторе температурных полей в грунте при фильтрации воды по его порам.

Как и ранее, ограничимся здесь случаем одномерного потока при совпадении векторов удельных тепловых потоков за счет конвективного теплопереноса и теплопроводности.

Исходными данными являются начальное распределение температур в зоне фильтрации и закон изменения температуры воды во времени на входе в эту зону.

Расчет начинается с определения интервала времени между корректировками температур в блоках зоны фильтрации по уравнениям (4) или (5) в зависимости от принятого типа разбивки на блоки. Далее описанным выше графическим путем определяется распределение температур в области фильтрации на момент времени т + Дт^, образующееся за счет конвективного теплопереноса.

Входящие в расчетные уравнения (6) и (7) величины температур /п-1, а—1, in ,*-i    и tп-\-\, k-i представляют собой средние

за интервал времени Ат* температуры в п — 1, п и п + 1 блоках. При расчетах на гидравлическом интеграторе их можно приближенно принимать равными температурам в центрах соответствующих блоков в середине или начале каждого рассматриваемого интервала Дт&.

После исправления уровней в пьезометрах гидравлического интегратора, соответствующих центрам блоков области фильтрации, прибор включается вновь согласно новому распределению температур, полученному графическим путем, и расчет ведется до середины или начала следующего интервала времени Дть.

Затем указанные выше операции повторяются вновь, т. е. снимается распределение температур в блоках области фильтрации в начале или середине интервала Дть+ь полученное по расчету на гидравлическом интеграторе, и по нему графическим путем определяются изменения температур за счет теплопереноса с водой. Полученное откорректированное распределение температур в области фильтрации выставляется на гидравлическом интеграторе, и расчет на приборе продолжается до начала или середины следующего временного интервала Дт^+г.

Таким образом, весь расчет на гидравлическом интеграторе с учетом теплопереноса фильтрующейся водой сводится к обычному расчету нестационарных температурных полей, но с остановками и поправками уровней в пьезометрах по ходу расчета соответственно тепловому действию фильтрационного потока за определенные промежутки времени.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Долгов О. А. Методика исследования температурного режима рассола в длинной замораживающей скважине. В сб. «Научные исследования по разработке угольных и рудных месторождений». М., Госгортехиздат, 1959, стр. 5—*18.

2.    Е р ш о в Н. Н. Способ ускорения процесса замораживания на больших глубинах. В сб. «Научные исследования по разработке угольных и рудных месторождений». М., Госгортехиздат, 1959, стр. 18—30.

3.    Лукьянов В. С. Применение метода гидравлических аналогий к расчетам температурного режима грунтов с учетом переноса тепла фильтрационным потоком и к выводу некоторых критериев подобия. Инженерно-физический журнал, 1962, т. V, № 22, стр. 52—57.

4.    Маньковский Г. И. О некоторых работах лаборатории специальных способов проходки горных выработок и водопонижения. М., Изд. Института горного дела, АН СССР, 1962, стр. 9—23.

5.    Цуканов Н. А. Роль фильтрации поверхностных и надмерзлых вод и сезона строительства в формировании температурного режима насыпей, возводимых на многолетнемерзлых грунтах. В сб. «Научных сообщений Всесоюзного НИИ транспортного строительства», вып. 8, М., Изд НИИ транспортного строительства, 1963, стр. 103—109.

Е. И. Молчанов