РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ НА ЭЛЕКТРОИНТЕГРАТОРЕ ТИПА ЭГДА С УЧЕТОМ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МАТЕРИАЛА ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ НА ЭЛЕКТРОИНТЕГРАТОРЕ ТИПА ЭГДА С УЧЕТОМ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МАТЕРИАЛА ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ

Электромоделирование температурных полей на электропроводной бумаге с помощью электроинтегратора типа ЭГДА 9/60 позволяет просто и наглядно определить распределение температур в плоском сечении любой конфигурации, а в некоторых случаях и пространственные температурные поля в теле.

194

Существенным недостатком метода является трудность моделирования температурных полей с учетом зависимости теплопроводности материала тела от температуры. Между тем для многих материалов эта зависимость является весьма значительной.

Существующий метод изготовления модели сечения путем наклеивания электропроводной бумаги в несколько слоев значительно усложняет изготовление модели, при этом не всегда удается подобрать нужные соотношения электропроводностей слоев и из-за ступенчатого изменения электропроводности модели возникают искажения в температурном поле. При таком методе изготовления модели снижается основное преимущество метода электромоделирования на бумаге — его простота.

Ниже дается более простой и практически более удобный метод определения температурного поля в сечении на простой однослойной электромодели при линейной зависимости коэффициента теплопроводности материала от температуры при граничных условиях I и III рода по контуру.

Поскольку для металлов зависимость коэффициента теплопроводности X от температуры имеет, как правило, линейный характер или может быть достаточно точно аппроксимирована прямой

Я = Я0 + Ы,    (1)

где Х0 — теплопроводность материала при 0° С, расчет температурных полей с такой зависимостью представляет интерес.

По предложению Г. А. Варшавского, нелинейное дифференциальное уравнение стационарного температурного поля с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры

X di v grad t + grad t grad X = 0    (2)

может быть сведено к уравнению Лапласа:

у2Ф - 0    (3)

для функции

ф(*) = |Я(*)Л.    (4)

о

Уравнение (3) не может быть решено линейно с помощью электроинтегратора обычными методами.

При задании граничных условий I рода достаточно на электромодели задать по контуру потенциалы, пропорциональные не температурам, заданным на контуре сечения, а значениям функции Ф (0, соответствующим этим заданным температурам. Так как моделируемое уравнение (3) линейно, то значения функции Ф в любых точках сечения могут быть получены на электромодели из условия пропорциональности разностей потенциалов на модели разностям функции Ф в сходственных точках сечения, т. е. обычным путем.

Расчет температурного поля при этом может быть существенно упрощен, если зависимость (1) представить в виде

X = b(^f-+ty    (5)

Поскольку первый член в скобках представляет собой температуру 0О, отсчитываемую от точки пересечения линии к — = ко + bt с осью абсцисс, а все выражение в скобках — температуру 0, отсчитываемую от этой точки, то

к = 60.    (6)

Тогда


Ф

Ш0 =-^-(02 —0о)


(7)


в любой

(8)


и относительное избыточное значение функции точке на модели


в2 —в:


Ф — Фщт Фщах $min


Ф =


|2    __ А2 ’

max °min


где 0тах и 0тш — максимальное и минимальное значениея температур на контуре сечения, отсчитываемые от точки пересечения прямой к = ко + Ы с. осью абсцисс.

Значение температуры в любой точке сечения может быть получено в этом случае из относительно простого выражения

0 = Уф (0шах - eLn) + 0min •    (9)

Разности температур А0 в сечении равны Д^° С, а значение температуры

/ = 0--(10)

При задании граничных условий III рода по контуру тела задача может быть сведена к граничным условиям I рода присоединением по контуру сечения на модели дополнительной стенки в виде отдельных полосок длиной б из бумаги того же сорта, что и сама модель (рис. 1, с). На концы полосок при этом должен быть задан потенциал, пропорциональный значениям функции Ф(0. соответствующим заданным температурам газа по контуру сечения. Длина этих полосок б может быть определена из следующих соображений.

196

На контуре сечения условия теплообмена описываются уравнением

а (*/■ — *«) =-МО-?-

дп

или, учитывая формулы (4) и принимая во внимание, что вектор теплового потока на контуре сечения направлен перпендикулярно к поверхности

a(tr — tcr) = — М0-т- = —?-•    ОП

an    dn

ur=f(0r)    ur=f(0cm)

Рис. 1. Схема задания граничных условий по контуру модели:

а — дискретными полосками электропроводной бумаги; б — дискретными переменными сопротивлениями


При постоянной ширине полоски b градиент функции на контуре сечения может быть получен как разность значений функции Ф на концах полоски, деленная на длину полоски:

Фр-Фет

dn    6

Так как коэффициент теплопроводности К линейно зависит от температуры, то разность значений функций Ф может быть выражена формулой

Фг-Фст= j X (t) dt = Кр (tr - ter),    (12)

*ст

где tr и tCT — температуры газа и стенки в данной точке по контуру сечения;

Фг и Фсг — соответствующие этим температурам значения функции;

Xcv — среднее значение коэффициента теплопроводности в интервале температуры от tr и tCT (или от 0г ДО бет).

Из условия равенства критериев Био для модели и натуры длина полоски 6 на модели может быть подсчитана по формуле

Ь (0Г + 0СТ) 2а


6 = -Ьг-м =

а


(13)


м,


где М — масштабный коэффициент.

При расчете в первом приближении за температуру стенки 0СГ может быть взята температура, заведомо большая, чем тем-

юо% и

Рис. 2. Схема замера величины сопротивления R при помощи измерительного устройства интегратора


пература стенки. Тогда во втором приближении величина б уменьшится в отношении

ег + 91СГ + %ст


(14)


вх =60


где 0Ост и 0icr — температура стенки, принятая в первом приближении и полученная после расчета в первом приближении.

Путем последовательного уменьшения длин полосок, имитирующих внешнее сопротивление переходу тепла, может быть получена точная картина температурного поля в сечении на простой однослойной электромодели.

Корректировка граничных сопротивлений по контуру модели может быть упрощена, если вместо полосок электропроводной бумаги применять переменное сопротивление, как это показано на рис. 1,6. В этом случае электромодель приобретает свойства универсальности, так как для этой модели могут быть 198

легко заданы любые граничные условия по контуру без переделки модели.

Без учета зависимости X = f(T)

Рис. 3. Температурное поле в сечении по кромке интенсивно охлаждаемой лопатки газовой турбины

При использовании дискретных переменных сопротивлений по контуру модели приклеиваются электропроводные шины, соединяемые гибкими проводниками с гнездами на доске сопротивлений. Требуемые величины переменных сопротивлений R по контуру модели легко выбираются подключением специальной измерительной цепи последовательно к гнездам всех сопротивлений вместо гибкого проводника, идущего от модели (рис. 2). Эта измерительная цепь включает в себя два зажима с зажатым между ними квадратным    участком

электропроводной бумаги того же сорта, из которого сделана сама модель сечения. При установлении требуемой величины сопротивления R на внешний зажим этого сопротивления    подается

100% U, а на свободный конец измерительной цепи подается 0% U от питающего устройства интегратора. Потенциал UKна гнезде сопротивления может быть достаточно точно замерен измерительным устройством интегратора (с точностью до 0,1%). Требуемая величина этого потенциала получается из следующих соотношений.

Поскольку сопротивление полоски

о а

Я = Р —>

ь

где р — сопротивление электропроводной бумаги «на квадрат»; b — ширина полоски; б — длина полоски,

а сопротивление R\ должно быть в — раз больше, чем сопро-

Ь

тивление квадрата электропроводной бумаги:

Ri __ б Р Ь '

то на клемме сопротивления должен быть получен относительный потенциал


ь


Р


U =


(15)


6 + 6


Изменение таким образом граничных условий по контуру модели при расчете методом последовательных приближений не составляет труда, а, кроме того, на модели при расчете могут быть внесены в граничные условия любые изменения, что позволяет по заданному температурному полю определить граничные условия на контуре, соответствующие заданному температурному полю.

В качестве примера на рис. 3 приведено температурное поле в сечении по кромке интенсивно охлаждаемой лопатки газовой турбины, полученное без учета зависимости коэффициента теплопроводности материала от температуры (при среднем значении коэффициента теплопроводности, полученном по средней для всего сечения температуре). Штриховыми линиями показано положение изотерм, рассчитанное с учетом этой зависимости.

Расчеты на электроинтеграторе ЭГДА 9/60 показали целесообразность применения предлагаемого метода при значительных градиентах температуры в сечении и значительной зависимости коэффициента теплопроводности материала от температуры.

О. В. Комиссаров, И. И. Сидороваг Н. В. Филиппова

МОДЕЛИРОВАНИЕ

С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ БУМАГИ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С НЕЛИНЕЙНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУР ГРАФИТА В ЯЧЕЙКЕ РЕАКТОРА

При проектировании гетерогенных реакторов с твердым замедлителем рассматриваются различные сложные геометрии каналов. Для выбора приемлемой конструкции канала, а также допустимой единичной мощности канала необходим расчет температурных полей в ячейке реактора, представленного на рис. 1. Такие расчеты зачастую невозможно проводить на цифровых вычислительных машинах, так как не всегда имеются готовые программы, а составление программы является трудоемким и длительным процессом, препятствующим скорому получению результатов. Часто при расчетах, касающихся сложных геометрий, в силу необходимости делают упрощающие предпо-

ложения. Это приводит к дополнительным погрешностям в результатах расчетов. Моделирование на электропроводной бумаге является наиболее простым методом определения температур в ячейке и, как показал опыт, дает приемлемую точность результатов.

В работе рассматривается одна из типовых задач, возникающих при проектировании реактора.

Распределение температур в блоке при наличии равномерно расположенных источников тепла описывается дифференциальным уравнением Пуассона:


д2Т


д2Т


дх2


ду2


(1)


ъгр


где х, у — координаты в м\ Т — температура в °К; qv — плотность источников тепловы-ккал

деления в —— ;

мъ-ч

Хгр — коэффициент теп-лопроводн ости графита, принятый равным ккал

40


Рис. 1. Схема ячейки гетерогенного реактора:

1 — центральная трубка; 2 — 7 — тепловыделяющие элементы; 8 — графитовая втулка; 9 — графитовый блок; 6ь бг, 6з —

зазоры


м-ч° к

Считаем, что на внешней границе графитового блока

(Хгран = ±й; У гран = ±а) отсутствуют перетечки тепла. Этому соответствуют граничные условия


дт (х = ±а,у) _ 0. дТ(у = ± а, х) _


(2)


дх    '    ду

а — координата границ графитового блока.

Тепло, генерируемое в графите, передается теплоносителю. На внутренних границах (на границах отверстий) тепло передается через зазор лучеиспусканием и теплопроводностью:


дТ

дг


гран


+


6


(Г-Г0), (3)


где С0 — коэффициент лучеиспускания абсолютно черного тела, „ . п ккал

равный 4,9 —-;

v    ж3-ч( К)1

е„ — приведенная степень черноты системы; еп взято 0,612 для зазоров бь бг и 0,71 — для зазора 6з;


Хгаза — коэффициент теплопроводности

~ ~~    к кал

ным 0,06


газа, принятый рав-


м-ч° К

Соотношение между количеством тепла, передаваемым теплоносителю за счет теплопроводности, и количеством тепла, передаваемым лучеиспусканием, зависит от величины зазора и начальной температуры тепловыделяющего элемента (ТВЭЛа).

Двумерную модель графитового блока можно построить из электропроводной бумаги [1, 3]. Геометрические размеры модели в 5 раз больше размеров ячейки гетерогенного реактора. Схема установки приведена на рис. 2.

Для моделирования распределенного внутреннего источника использован конденсатор связи (электропроводная бумага и медная фольга, разделенные слоем диэлектрика с е = 8).

Электрод (медная фольга) присоединен к источнику переменного напряжения — генератору ГЗ-ЗЗ, работающему на частоте / « 330 гц. На конденсаторе связи падает 90—95% подаваемого напряжения.

Граничные условия (2) на внешних границах реализуются наиболее просто, так как внешние границы модели из электропроводной бумаги ни с чем не соединены. На внутренних границах необходимо реализовать условие (3). Представим условие (3) в следующем виде: л дТ


Рис. 2. Схема установки модели графитового блока:

1 — медная фольга; 2 — стекло; 3 — электропроводная бумага; 4 — щуп для измерения напряжения; 5 — переменное сопротивление


гР


дг


а (Г — Т0) при г = const,


(4)


где


гран


а


Обозначим


т4 — т40

г-Го


10 6Ч- Хг


(5)


т4 — т\


3 • 1086.


(6)


Хэкв имеет размерность теплопроводности. Для зазора будем иметь приведенный коэффициент теплопроводности

^заз ~ ^“Экв “Ь ^газа •    С^)

Поскольку Хзаз является функцией неизвестной температуры Т на границе, то реализация граничных условий и решение задачи в целом производилось путем итераций. Для первой итерации Твыбиралась исходя из физических соображений. Решение проводилось до тех пор, пока полученное значение 202


Хзаз = f(T — Го) r данной точке не будет совпадать с установленным Хза3-

При решении задачи приходилось для каждого варианта делать 2—4 итерации в зависимости от того, насколько близко к истинной была задана температура для первой итерации.

В данном случае задача усложняется еще и тем, что начальная температура Г0 не одинакова для всех теплоснимающих поверхностей. Для центральной трубки было задано Г01 = 500° К; для ТВЭлов Г02 = 600° К. Для зазора 6з теплоснимающей поверхностью является поверхность края втулки с температурой Гоз, которая в начале решения неизвестна и может быть определена, когда определены температуры по всей втулке (в том числе и на краю). Известно, что в стационарном состоянии все тепло, генерируемое в графитовом блоке, передается через зазор 63 графитовой втулке и затем теплоносителю, поэтому вначале тепловым сопротивлением зазора 6з пренебрегали и определяли температуру Г03. Учет теплового сопротивления зазора 63 позволяет найти распределение температур в графитовом блоке (также путем итераций). На величину и распределение температур графита втулки учет теплового сопротивления зазора 6з не сказывается.

Для нахождения необходимой проводимости бумаги для зазоров пользовались соотношением

Xгр Рзаз

Xзаз    Ргр

(8)

Предварительная оценка р показала, что это отношение

Ргр

должно быть приблизительно равно 500. Из-за необходимости проведения итерации в процессе решения целесообразно использовать переменные сопротивления вместо бумаги для задания граничных условий по уравнению (4). При этом имеется возможность моделирования зазора с переменным тепловым сопротивлением по периметру. Количество участков, на которые необходимо разбивать графит вдоль зазора, зависит от ожидаемого изменения (перепада) температур вдоль зазора. В данном случае периметр отверстий разбивался на 6 частей. Величина переменного сопротивления

^заз Рзаз ~Y~ ’    (^)

где I — длина дуги отверстия, по которой температура принята постоянной.

Из выражений (8) и (9) получим

Гзаз = ^-РгЛ.    (Ю)

Лзаз    I

Для удобства зависимости Хзаз = f(T — Г0) для предполагаемого диапазона изменения температуры Г и различных значений Т02 были нанесены на графики и использовались при итерациях для определения Х3аз-

Для получения масштабного соотношения воспользуемся математическим описанием модели и из условий подобия определим масштабный коэффициент для пересчета напряжений модели в температуры.

Стационарное электрическое поле в проводящей среде из электропроводной бумаги описывается дифференциальным уравнением

д2и , д*и    .    /Мч

Эу1

dxi

-Р apt,    (11)

где U — напряжение в в;

бумаги;

электро-

(12)

хм, Ум — координаты модели в м\

р гр — удельное сопротивление электропроводной i — ток, проходящий через единицу поверхности

проводной бумаги, в — .

Сравнивая уравнения (I) и (II) и учитывая, что

; ^общ . с SHam I — —г— »    — :— ,

где SM — площадь модели в м2;

Snam площадь графита в ж2; п — геометрический масштаб,

получим масштабный множитель m для пересчета напряжений b температуры

П = — Яо^нат.......    (13)

^грРгр1 общ

Для повышения точности решение проводилось для превышения искомой температуры над 500° К центральной трубки, которой соответствовало напряжение U0 = 0. Начальное значение температур ТВЭЛов Т0г = 600° К задавалось падением напряжения на дополнительном сопротивлении. Величина напряжения выделяется из соотношения

(И)

m

т>    г;    ЮО

В данном случае    инач = —.

ГП

Непосредственного измерения тока для вычисления масштабного коэффициента не требуется, достаточно знать падение напряжения на сопротивлениях, подсоединенных к нулевой шине, и величину этих сопротивлений

/«Л, = 2-^.    (15)

О*

где У — количество присоединенных к нулевой шине сопротивлений.

Для ячейки, представленной на рис. 1, было испробовано 25 вариантов. Варианты различались плотностью источников тепловыделения и величинами зазоров 6i и 63. Некоторые из результатов расчета представлены на рис. 3 и рис. 4. На рис. 3 приведены зависимости температуры графита втулки вблизи центральной трубки канала от величины зазора 61 между центральной трубкой и втулкой и от плотности источников тепловыделения qv. На рис. 4 показаны зависимости максимальной темшературы в графите, свойственной углу блока от величины зазора 61 и плотности источников тепловыделения qv.

Рис. 3. Зависимость температуры графита втулки вблизи центральной трубки канала от величины зазора 61 и плотности источников тепловыделения qv


Рис. 4. Зависимости максимальной температуры в графите от величины зазоров 61 и плотности источников тепловыделения qv

Сплошные линии на рисунке соответствуют 63 = 0,5 мм, а штриховые — 63 = 0,35 мм. Для проверки точности решения было выполнено моделирование простого случая, поддающегося аналитическому расчету (коаксиальная геометрия). Результаты, полученные при моделировании, имели отклонения от расчетных значений 2—2,5% (по отношению к перепаду на зазоре). Основные погрешности — погрешность измерения напряжения, неоднородность электропроводной бумаги.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Карплюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля. М., Изд-во иностр. лит., 1962, стр. 461.

2.    Михеев М. А. Основы теплопередачи. М., Госэнергоиздат, 1956, стр. 102.

3.    Т е т е л ь б а у м И М. Электрическое моделирование. М., Физматгиз, 1959, стр. 319.






oldmemory
По всем вопросам: webfrontt@gmail.com