МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ

Процесс превращения энергии электрического поля в тепловую встречаются во всех электротехнических и электротермических установках современной техники. В некоторых случаях полученная тепловая энергия используется в технологических целях, как, например, при высокочастотном нагреве материалов. Нагрев же электрических машин и аппаратов является результатом потерь при превращении электрической энергии в механическую или другие ее виды.

Возможности аналитического расчета таких температурных полей при решении практических инженерных задач весьма ограничены. Поэтому наибольшее практическое значение приобретают методы моделирования исследуемых процессов нагрева.

1. Метод электромоделирования частных решений уравнения электронагрева

При стационарном электронагреве материала с постоянными электропроводностью у и коэффициентом теплопроводности X в потенциальном электрическом поле превышение температуры нагрева t над температурой окружающей среды и потенциал электрического поля ср удовлетворяют системе дифференциальных уравнений в частных производных:

уЧ = —^-(уф)2;

(1а>

у2Ф = 0.

(1б>

При нагреве электрических машин и аппаратов источники нагрева обычно можно считать распределенными равномерно, тогда правая часть уравнения (1а) является постоянной величиной

у (уф)2 = W = const.

Своеобразный вид правой части решаемого уравнения (1а) вызывает значительные трудности при решении задачи на моделях, если используются существующие методы моделирования. Обычный путь решения уравнения (1а) на сеточных моделях или в сплошных средах следующий:

а)    решением уравнения Лапласа определяется поле электрического потенциала;

б)    по распределению электрического потенциала рассчитываются величины уф» (Уф)2 и значения правой части решаемого уравнения;

в) решением уравнения Пуассона с переменной правой частью определяется температурное поле.

При электромоделировании в сплошных средах необходимость ввода токов в модель при решении уравнения Пуассона значительно снижает точность результата и увеличивает трудоемкость его получения.

Все это сильно усложняет решение задачи и заставляет искать новые пути моделирования уравнения стационарного электронагрева.

Решение уравнения Пуассона может быть сведено к решению уравнения Лапласа, если известно одно частное решение исходного уравнения. Решение уравнения Пуассона, правая часть которого зависит от гармонической функции,

уЧ = f (ф)

может быть представлено как

* = Л (ф) + 0,

где т) (<р) — является частным решением исходного уравнения и представляет собой гармоническую функцию;

0 — решение уравнения Лапласа.

Легко убедиться, что решением уравнения

уЧ = ац>ь (уф)2,

где ф — гармоническая функция, будет выражение

t - ---ф6+2+ 0-

(6+1) (6 + 2) Y ^

Уравнение (1а) является частным случаем рассмотренного примера (при b = 0) и его решение имеет вид

t=z~~k ф2 + 0‘    (2)

Последнее выражение позволило А. В. Нетушилу и автору аналитически решить отдельные частные задачи электронагрева [2, 4] и выоказать предположение о возможности его использования для электромоделирования теплового поля при электронагреве [5, 1].

Действительно, если выражение (2) является решением уравнения (1а) стационарного электронагрева, то может быть предложен следующий порядок электромоделирования уравнения (1а):

а)    путем решения уравнения Лапласа определяется поле электрического потенциала;

б)    вычисляются граничные условия для функции 0;

в)    путем решения уравнения Лапласа определяется поле функции 0;

г)    температурное поле вычисляется согласно выражению (2).

По предложенному методу моделирования решения уравнения Пуассона в этом случае не требуется.

При нагреве электрических машин и аппаратов имеем уравнение

v2* = —у>    (3)

решением которого является

t =--—x2 + Q.    (4)

2А.

Уравнение (3) отличается от уравнения (1а) тем, что поле источников является однородным. Поэтому в выражении (4) направление и начало отсчета координаты х могут быть выбраны произвольно. В этом случае, а также в случае, когда потенциал <р может быть вычислен аналитически, путем моделирования определяется только гармоническая функция 0, что еще более упрощает решение задачи.

При электромоделировании потенциала электрического поля ему соответствует электрический потенциал на модели. При моделировании гармонической функции температуры 0 на модели ей соответствует в принятом масштабе электрический потенциал ф.

2. Определение граничных условий

Для решения уравнения электронагрева должны быть заданы граничные условия для потенциала <р и температуры t.

Потенциал электрического поля рассматриваемой задачи моделируется электрическим потенциалом на модели, и граничные условия при этом в натуре и на модели однородны, так что их создание на модели трудностей не вызывает.

Граничные условия для гармонической функции температуры зависят от условий для <р и t, которые определяются выражением (2).

Граничные условия I рода. Если температура на границе области удовлетворяет граничным условиям I рода, т. е. температура на границе принимает заданные значения, то граничные условия для моделируемой функции 0 на основе выражения (2) имеют вид

(5)

гр

+ -^Ф2

2Я. Y

Если по условиям задачи значения электрического потенциала заданы не на всей границе, то они должны быть определены путем аналитического расчета или моделирования.

При электромоделировании 0 граничные условия реализуются созданием электрических потенциалов соответствующей величины на границах модели.

Граничные условия II рода. При граничных условиях II рода заданы значения теплового потока на границах области. В этом случае из выражения (2) можно определить

dQ


dt_

dn

ер


(6)


dn


гр


Как видно из выражения (6), кроме нормальной производной температуры, должны быть известны значения потенциала <р и его нормальной производной по всей границе области.

При моделировании функции 0 ее поток на границе модели создается при помощи электрического тока.

Граничные условия III рода. При этих граничных условиях на границах области имеем

<*-{tep — tcp) = —


(7)


dn


гр


где а — является коэффициентом теплоотдачи; tap и tcv — соответственно температура границы и окружающей среды.

Подставляя решение (2) в выражение (7), получим

+ а0 \гр — a tcp

гр


2


(8а)


гр


гр


После некоторого преобразования можно записать


Хф J5L

а dn



а


(86)


На модели коэффициент теплоотдачи та учитывается включением на участках границы электрических сопротивлений Ra и тогда электрический потенциал модели ф (соответствующий 0 в исследуемой области) удовлетворяет условию

■ у mod 1 dn


Яа (Фгр — Фср) =


(9)


гр


Сопоставление условий (86) и (9) показывает, что для обеспечения требуемых граничных условий температура окружающей среды при моделировании должна быть принята выше действительной на величину

I у

+ —<р-г

dn

гр

гр

Граничные условия IV рода. Если рассматриваемая область содержит участки 1 и 2 с различными электрическими и тепловыми свойствами, то на границах этих участков имеем

(10)

(ID


2 |гр*

_л dt2

— ^2 ~ dn


dti

dn


к


гр


гр


С учетом выражения (2) эти формулы можно записать следующим образом:

V2


Yi

2ЯХ


ф2


Ф? +0!

\гр

dQ-±


+ 0!


(12)

(13)


2 Iгр>

dB

dn


2А»2 dq>2


гр


гр


d<fx

dn


+


—Yi<Pi


= — Т2Ф2


dn


dn


ер


гр


гр


гр


Выражения (12) и (13) показывают, что моделируемая функция и ее нормальная производная имеют конечные разрывы на границе двух участков с различными свойствами. Так как функция электрического потенциала ф, при помощи которой моделируется функция 0, и ее нормальная производная скачков на той же границе не имеют, то для выполнения условий (12) и (13) на указанных границах модели должны быть введены дополнительные токи и обеспечена требуемая разность потенциалов {6].

В большинстве практических задач электронагрева задается напряжение между электродами, а место нулевого потенциала может быть выбрано произвольно. Так как на эквипотенциальной поверхности со значением потенциала <р = 0 согласно выражению (2) имеем 0 = t, то удачный выбор нулевой эквипотенциальной поверхности может значительно облегчить решение задачи. Для той же цели может быть использована симметрия исследуемого поля.

3. Примеры моделирования.

Рассмотрим примеры моделирования полей при электронагреве [7].

Допустим, что призма из однородного материала нагревается в электрическом поле, создаваемом двумя электродами с потенциалами <pi и ф2- Поле электрического потенциала в призме является однородным и может быть определено аналитически. Если для температурного поля принять нулевые граничные условия I рода, то согласно выражению (5) можно определить граничные условия для гармонической функции температуры 0 и провести ее моделирование. Моделирование можно производить в двухмерной электролитической ванне, так как поля в призме являются плоскопараллельными (рис. 1). Значение температуры в центре призмы, полученное путем моделирования, отличалось от результата аналитического расчета на 1 %.

Если в центре призмы расположен металлический стержень, то порядок моделирования несколько меняется. В первую очередь проводится моделирование электрического поля, так как оно в данной задаче не является однородным и не может быть определено путем аналитического расчета. Схема моделирования функции 0 остается прежней, только металлический стержень на 210 модели заменяется проводником. Значения 0 на границах определяются на основе условия (5).

Вследствие симметрии электрического и теплового полей моделирование можно проводить в области 1—2—3—4 (рис. 1) сечения призмы, что уменьшает его трудоемкость.

В случае граничных условий III рода схема моделирования значительно изменяется. Допустим, что однородная призма нагревается в однородном электрическом поле. Температура окружающей среды пусть равна нулю. На границах призмы заданы значения коэффициента теплоотдачи а.

Рис. 1. Схема моделирования температурного поля при электрона-греве в случае граничных условий I рода


Рис. 2. Схема моделирования температурного поля при электронагреве в случае граничных условий III рода


В этом случае моделированию подлежит только функция 0. Схема моделирования показана на рис. 2. Сопротивления Ra на модели в принятом масштабе соответствуют тепловым сопротивлениям соответствующих участков границы призмы. При помощи потенциометра Р создаются потенциалы, соответствующие температуре окружающей среды, вычисленной согласно условию (86). Температура нагрева вычисляется на основе выражения (2) или (4). Результаты моделирования конкретной задачи отклонились от результатов расчета более чем на 3%.

Предлагаемый метод может быть успешно использован при моделировании тепловых полей в неоднородных средах сложной конфигурации. В качестве примера рассмотрим схему для моделирования теплового поля в поперечном сечении статора электрической машины. Вследствие симметрии достаточно изучить поле в области, состоящей из половины паза и зубца. На рис. 3 показана исследуемая область несколько упрощенной формы, состоящая из магнитопровода а, обмотки б, пазовой изоляции в и клина г. Источником тепла в области является обмотка, которая нагревается за счет равномерно распределенных потерь. На внешних границах магнитопровода и клина заданы граничные 14*    211 условия I рода. На рис. 3 показано начало и направление отсчета координаты х в области с однородным полем источника.

Схема моделирования показана на рис. 4. Сопротивления Ru в масштабе сопротивлений соответствуют тепловым сопротивлениям пазовой изоляции на участке границы. Граничные условия на внутренних границах определяются согласно выражениям (12) и (13). Сопротивления R\ служат для установки необходимого дополнительного тока, а источники э. д. с. Е — для созда-

Рис. 3. Исследуемый участок поперечного сечения статора электрической машины


Рис. 4. Схема моделирования температурного поля в поперечном сечении статора электрической машины


ния дополнительной разности потенциалов согласно условию (12). На рис. 4 показан только один электрод из решетки электродов, расположенной на каждой граничной поверхности.

В случае необходимости при моделировании можно учесть тепловыделение в магнитопроводе, но в нашем случае оно не влияло на температуру нагрева.

Результаты моделирования конкретного примера были проверены на модели УСМ-1. Совпадение результатов было вполне удовлетворительным. Моделирование данной задачи на модели УСМ-1 оказалось более трудоемким и дорогим, чем решение при помощи электролитической ванны.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Б у р д а к Н. М., Нетушил А. В., Сорокин П. П. Электролитическая ванна для моделирования плоскопараллельных потенциальных полей с произвольными граничными условиями. Труды МЭИ. Вып. XVIII, 1956, стр. 229—240.

2.    Нетушил А. В. Условия сосуществования тепловых и электрических полей при электронагреве бетона. ЖТФ, т. XXI, вып. 4, 1951, стр. 405—409.

212

3.    Нету ши л А. В., Жуховицкий В. Я., Кудин В. Н., Парный Е. П. Высокочастотный нагрев диэлектриков и полупроводников. М., Госэнер-гоиздат, 1959.

4.    Табаке К. К. Конформное отображение некоторых потенциальных полей с распределенными источниками. Изв. АН Латв. ССР, Серия физ. и техн. наук, № 6, 1964, стр. 31—36.

5.    Табаке К. К. Моделирование в электролитической ванне некоторых

частных случаев уравнения Пуассона. Изв. АН Латв. ССР, № 4,    1956,

стр. 145—148.

6.    Табаке К. К. Решение уравнения Пуассона при помощи интеграторов для уравнения Лапласа. Рижский политехнич институт. Ученые записки, т. IX, вып. 4, 1963, стр. 169—172.

7.    Табаке К. К. Моделирование электротепловых полей, Ученые записки Латв. гос. университета, т. X, 1957, стр. 7—13.

Ю. А. Липаев, Г. Г. Степченкова,

В, В. Ходот