ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМОДЕЛИРОВАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ СООРУЖЕНИЙ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМОДЕЛИРОВАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ СООРУЖЕНИЙ

Метод электромоделирования может быть весьма эффективно использован для определения частот и форм колебаний балок и плит сложной формы при любых граничных условиях. Плиты и балки рассматриваются как системы с конечным числом степеней свободы, равным числу незакрепленных узлов конечно-разностной аппроксимации. При помощи электромоделирования легко может быть построена матрица А жесткостей, т. е. в статической постановке могут быть определены прогибы упругой системы от действия единичных сил. Далее значения собственных частот колебаний могут быть вычислены из условия




= О,


где Е — единичная матрица.

Для иллюстрации рассмотрим задачу об определении частот колебаний схематизированной секции массивно-контрфорсной плотины со сдвоенными оголовками, представленной на рис. 1.

Предварительно были проведены экспериментальные исследования колебаний такой секции на гипсовой модели, изготовленной в масштабе 1:200. Изучались поперечные колебания контрфорса. Модель устанавливалась в специальном стенде, обеспечивающем жесткую заделку ее по основанию. Определение частот собственных колебаний и пересчет их в натуральный масштаб производился по методике, изложенной в работе (1].

Опыты показали, что при поперечных колебаниях таких плотин напряжения в нижней части стенок контрфорса во многом определяются прогибом стенок, которые в данном случае работают как плиты, защемленные в головках. В нижней части секции плотины напряжения в каждой стенке имеют знакоперемен-220 ный характер и поэтому для всего сечения секции плотины гипотеза плоских сечений оказывается неприемлемой. Здесь необходимо рассматривать совместную работу оголовков, представля-

Расчетная схема    Электрическая модель

Рис. 1. Расчетная схема отдельной секции массивно-контрфорсной плотины со сдвоенными контрфорсами и соответствующая ей электрическая модель

ющих собой балки, защемленные в основании, и стенок контрфорсов как плит, защемленных в оголовках и основании. В статической постановке для построения матрицы жесткостей необходимо решать совместно системы уравнений:

а) для стенок

у4Ф = О,



где


дх2    у


д2Ф

= Nr


ду

= —N

д2Ф

дхду


ху>


W — прогибы стенок контрфорса; qz — поперечная нагрузка;

Nx, Ny, Nxy — усилия, действующие в срединной плоскости стенок;

б) для оголовков

d*W    Ч0г    .    d*Uj    ^ Я/    .    0 = К

di*    El о    ’    di* EIZ ’    G/p    ’

где Uj — перемещение оголовка по направлению оси /;

/р — полярный момент инерции оголовка;

0 — угол закручивания на единицу длины оголовка;

G — модуль упругости при сдвиге.

Здесь и далее индекс о обозначает, что функция относится к оголовку, ас — к стенке контрфорса.

Распределение воспринимаемых плотиной нагрузок между стенками и оголовками (усилия на контакте) могут быть получены из условия совместности деформаций.

Анализ экспериментальных данных показывает, что в первом приближении допустимо пренебречь кручением оголовков и влиянием перемещений Uj на прогибы стенок и оголовков в направлении оси z(рис. 1).

При этом задача существенно упрощается и сводится к совместному решению двух уравнений:

а) для стенки

V4№ = — ;

^    D

б) для оголовка

d*W _ Я° di* “ Е10 1

где qcz — нагрузка на стенку контрфорса (плиту); q°z — нагрузка на оголовок.

Так как при принятых допущениях стенки контрфорса работают в одинаковых условиях, то можно ограничиться рассмотрением работы одной из стенок с оголовками половинной жесткости. Электрическая схема для моделирования этой системы представлена на рис. 1 (сопротивления R0i связывающие соответствующие узлы сеток W и М на рисунке не показаны).

В соответствии с правилами замещения сеточные сопротивления приняты следующими:

Ал:

г* = р1*Г:

Ау .

(3)

r' = pl д7'

К =

Ал; в я    А у

К - р* д,;

где рь р2 — сопротивления квадрата замещаемой проводящей среды.

На сетках «№» и «М» моделируется первое уравнение системы (2), а в цепях АВ и CD — второе уравнение этой системы.

Уравнения (2) представим в виде системы

дШ ^ Я°г di2 EI '


V2№ = М;


(4>


=*М.

di*

Записывая эти уравнения в конечных разностях и сравнивая их с уравнениями первого закона Кирхгофа для соответствующих узлов электрической схемы, можно убедиться, что если потенциалы цепи АВи сетки «W7» в масштабе п моделируют прогибы, т. е. если люк = VK, где VK — потенциал узла «Л» цепи АВ или сетки «W», то потенциалы узлов сетки «М» в масштабе

п — ДхДу моделируют функцию «М», а потенциалы цепи СВ в

Pl    R

масштабе nAi2 — моделируют функцию «М».

ri

При этом токи, притекающие к сетке    и узлам цепи

CD будут соответственно равны

to = П-


*-A xAy^-;

PiP*    D

R° * P°


Г {ki


M3 ■


EI°


где

P° = qczAxAy;

P° = q°zM.

Поэтому для того чтобы масштабы узловых усилий были одинаковы, необходимо выполнение равенства

,    Д£2 R0 А. D

rih = PiP2—т- — А/


(6)


Е1°


д/2


Условия на контакте оголовка и стенки имеют вид

dwc


= 0;


К = Wc;


dj


(7)


дМ

di ’


q° = Qj = —lLvW


■D


где Qj — поперечное усилие в стенке.

Выполнение этих условий обеспечивается при помощи следящей системы.

Схема включения одного канала следящей системы СС для реализации условий (7) показана на рис. 1. Аналогично отрабатываются условия в каждой контактной точке. На контакте плотины с основанием выполняются условия

W = 0; — = 0. ду

Включение канала следящей системы для выполнения этих условий в узле 5 показана на рис. 1.

При набранной электрической схеме время решения одной статической задачи определяется только временем замеров и записи результатов решения.

Значения частот и формы колебаний легко могут быть получены на ЭЦВМ из решения частотного уравнения (1).

Ниже приведены частоты собственных колебаний для вышеуказанной секции плотины, полученные по этой методике и по экспериментам на гипсовой модели.

Частота, определенная    Частота, полученная

методом электроаналогии,    экспериментально, в гц

в гц

1,19

3,80

7,4

1.34

3.34 7,06

Во многих случаях для оценки динамической жесткости сооружений достаточно ограничиться получением одной основной частоты и формы собственных колебаний. Решение таких задач может быть получено на сеточном электроинтеграторе и без использования ЭЦВМ. Методику электромоделирования рассмотрим на примере расчета гипсовой модели (£ = 40 000 кг!см2, у = 1,1 г/смг) отдельной секции массивно-контрфорсной плотины с одиночными контрфорсами при поперечных колебаниях (рис. 2).

Для простоты изложения будем рассматривать отдельно стоящую секцию массивно-контрфорской плотины как консольную

Электрическая модель

К2

Рис. 2. Гипсовая модель отдельной секции массивно-контрфорсной плотины с одиночными контрфорсами и соответствующая ей расчетная схема и электрическая модель


балку переменной жесткости и переменной массы, защемленную в основании.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний такой балки имеет вид

д2

дх2

I nr, \ &W 1 .    / ч d2W

\_EI (Х) ~дхГJ + m (х) ~др

225

15 Заказ 1148

где W — прогиб балки;

1(х) — момент инерции; т(х) —погонная масса.

Полагая, что

Wn = Wn (х) sin (at + ф), для п-й формы колебаний получим уравнение

(8)

Обозначим

El (х) = EIJi (х); т (х) = m0f2 (х),

где Е, Iо, /«о — характеристики некоторого сечения балки; fi(x), }г(х) —безразмерные функции от координаты.

В этом случае уравнение (8) можно переписать в виде

д*М = дх2

d2W


tlQ

м


(9)


дх* h '

Для моделирования этой системы составим электрическую схему, приведенную на рис. 2.

Если принять, что Ri > rx\ Rx > г2; г5 + г6 » гх\ г5 + г6 > г4;

= Rofu /"б = /"5/2, то уравнения первого закона Кирхгофа, записанные для t-х узлов цепей АВ и CD, эквивалентны конечноразностной записи системы (9).

При этом потенциалы узлов цепи АВ в масштабе п моделируют значения функции «№», а потенциалы узлов цепи CD в мае-/2 R,

штабе —- Ах2 моделируют функцию «М».

ri

Если включить каналы следящей системы так, как показано на рис. 2 (каналы следящей системы подбирают на выходе такую э. д. с., чтобы разность потенциалов на входе стремилась бы к приборному нулю), то токи

j( = nJ± (R2±Rs±ntw^

Гь    V4

Следовательно,если принять

(10)

ц __    1    | f EIq -м f (^2 + ^3 + Г4) Г1Г2

Аде2 У m0 У    R2^R0

то токи U будут моделировать правую часть первого уравнения системы (9) в конечно-разностной форме.

Таким образом, задача сводится к подбору таких значений R3 [или других сопротивлений, входящих в выражение (10)], при которых имеет место не тривиальное решение уравнения (8) и система находится в положении безразличного равновесия.

Каналы № 1 и № 2 следящей системы, показанные на рис. 2, отрабатывают граничные условия на защемленном и свободном концах балки.

При х = 0, выполняются условия = 0; W = 0.

дх

При х = I — условия = 0; М = 0.

дх

При электромоделировании по схеме, приведенной на рис. 2, было принято

F0 — 194 см2, гх — 20 ом, гг = 20 ом.

/„ = 1105 см3, R2 — 40 ом,

R0 = 10 000 ом, г4 = 40 ом,

Остальные параметры приведены в таблице.

%

сечения

F в см2

I В СМ*

U (х)

h (*)

Ri—Rofi

В ОМ

гв в ом

Гв в ОМ

1

284

1453

1,46

1,385

13 850

900

620

2

239

1278

1,23

1,22

12 200

970

800

3

194

1105

1.0

1,0

10 000

1000

1000

4

151

930

0,775

0,885

8 850

770

1000

5

105

739

0,541

0,705

7 050

540

1000

6

515

490

0,266

0,466

4 660

260

980

В процессе решения подбирались сопротивления R3.

Положение безразличного равновесия системы имело место при R3 = 900 ом. (При R3 < 900 потенциалы цепи АВ стремились к нулю, при R3 > 900 потенциалы неограниченно возрастали).

При Е = 40000 кг/см2 и у =    кг/см3 частота основного то

на колебаний по формуле (13) равна

/


V


(900 + 40 + 40) 20.20 10000 • 40 . 40


1 • 36

628 • 542


40000 • 1105 • 981 194 • 1,1

= 128,5 гц.


ю


Для оценки точности полученного решения была изготовлена из гипса модель контрфорса с теми же расчетными характеристиками (геометрическая форма и размеры, модуль упругости, объемный вес) и жесткой заделкой по основанию.

Непосредственно замеренная на гипсовой модели частота основного тона поперечных колебаний оказалась равной 120 гц.

Расхождение частот, определенных методом электроаналогии и экспериментально на хрупкой модели, составляет 7%.

„ О Tit ТПш

другой у2 М = -.

Аналогичная методика может быть использована и при определении частот и форм изгибных колебаний плит произвольной формы при произвольных условиях опирания. В этом случае вместо одномерных цепей АВ и CD следует использовать двумерные сетки из омических сопротивлений.

На одной из них будет моделироваться уравнение у2 W = М, а на то2 ~D~

Токи Iiy моделирующие правую часть последнего уравнения, подаются так же, как показано на рис. 2.

На рис. 3 дано сравнение основных частот собственных колебаний треугольных плит, полученных методом электромоделирования, с результатами аналитического расчета Рис 3. Частоты основного тона методом коллокаций [3] и энергети-изгибных колебмиИ' треуголь- ческим методом [4].

ЛИТЕРАТУРА

1.    Волынский Б. А., Бухман В. Е. Модели для решения краевых задач. М., Физматгиз, 1960, стр. 451.

2.    Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев, «Наукова думка», 1964, стр. 287.

3.    Г у т и д з е П. А. К исследованию сейсмостойкости бетонной контрфорсной плотины на модели. Извести ТНИСГЭИ, т. 15, М.— Л., «Энергия», 1964, стр. 142—153.

4.    Г у т и д з е П. А. О расчете инерционных сейсмических сил, действующих на бетонные контрфорсные плотины с массивными оголовками. Известия ТНИСГЭИ. т. 14, М.—Л., Госэнергоиздат, 1962, стр. 138-^147.

А. Л. Квитка