РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ И ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА СЕТОЧНЫХ ЭЛЕКТРОИНТЕГРАТОРАХ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ И ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА СЕТОЧНЫХ ЭЛЕКТРОИНТЕГРАТОРАХ

Для промышленного и гидротехнического строительства, для газотурбостроения, двигателестроения, реакторостроения и т. п. все большее значение приобретает разработка инженерных методов расчета напряжений и деформаций, особенно от температурных воздействий.

Задача снижения веса машин и сооружений также требует детального изучения напряженного состояния конструкций. Такое исследование напряженного и деформированного состояния часто может быть сведено к решению плоской или осесимметричной задач теории упругости. Однако для областей со сложной конфигурацией эффективных аналитических решений этих задач в настоящее время не существует. Поэтому разработка инженерных методов расчета должна базироваться на применении современных цифровых и аналоговых вычислительных машин.

В настоящей статье дается обзор основных работ, проведенных по решению на сеточных электроинтеграторах плоской и осесимметричной задач прикладной теории упругости, а также ряда работ по расчету пластинок, так как уравнения для прогибов пластинки подобны бигармоническому уравнению плоской задачи.

При решении любой задачи теории упругости должны быть удовлетворены три следующие группы уравнений:

В плоской задаче К В осесимметричной задаче9 10 а) Статические уравнения

(2)

дох    ,    дтХу    =    0.

дх    ^    ду

дву    у    дхху    __    Q.

ду    ^    дх

б) Геометрические уравнения

дог - dxrz .    в г    г\

дг 'г дг ^ г    ‘

дч>гг    у    до2    . хг2    __    q

дг    ~Г    дг    ^ г    “

dU # дг ’

60 =

и

г

; ег =

dW

dz

Угг

_ dU

dW

dz

дг ■


дУ . ду ’

dU

ду


дх


(3)


Уху =


в) Физические уравнения

=    — чоу)+аТ;

в» = -^(0, —*г,)+а7; _ _1_

Уху Q хху'

ег = 4" [ог — р (о© + а2)] + аТ;

ее = — [gq — \i (а2 + аг)] + i

Е

= ~ К — (А (<*, + ае)1 + а^-

П

Кроме того, должны быть выполнены условия на контуре рассматриваемой области

Х„ = ах cos (пх) + хху cos (пу); Rn = ar cos (nr) + хгг cos (nz);    (5)

Yn = xxy cos (nx) + ay cos (ny); Zn = xrz cos (nr) -f o2 cos (nz).    (6)

Если при решении задач интерес представляют только напряжения и деформации, то геометрические уравнения (2) следует заменить уравнениями неразрывности деформаций {1, 2]:

в плоской задаче

дгех    дЧу _ д*уХу .

ду2    дх~ дхду ’


в осесимметричной задаче


• — (гее) = 0; дг


дг(гЧ) _J_ дег


дгг


дг


dY гг дг


(7)


При аналитическом решении задач теории упругости прямое решение всех трех групп уравнений для отыскания всех неизвестных (напряжений, деформаций и перемещений) обычно не предпринимается. Задачи решают либо методом сил, либо методом перемещений.

Однако существует принципиальная возможность создания электромодели, обеспечивающей непосредственное интегрирование всех трех групп уравнений теории упругости. В 1944 г. Г. Крон описал электромодель упругого тела, в которой каждой группе уравнений теории упругости соответствует определенный закон электрической цепи:

а)    уравнениям равновесия — первый закон Кирхгофа;

б)    физическим уравнениям — закон Ома;

в)    уравнениям неразрывности — второй закон Кирхгофа.

При этом напряжениям в упругом теле соответствуют токи, а

перемещениям — напряжения в узлах электромодели, состоящей из двух взаимосвязанных сеток, узлы которых сдвинуты на полшага.

Однако электромодель Крона на реактивных LC-сетках не получила широкого 'распространения из-за больших технических трудностей создания моделей удовлетворительной точности [4]. Поэтому продолжались исследования возможностей построения 230

электроаналогий, использующих преобразованные уравнения теории упругости, по методам сил и перемещений, где сначала отыскивается лишь одна группа неизвестных.

В уравнениях метода сил искомыми неизвестными являются напряжения:

в плоской задаче    в осесимметричной задаче

&х> ^ху*    ^0» ^г И

для определения которых необходимо решить уравнения равновесия (1) — (2) и уравнения совместности (7), выраженные через напряжения:

(1 + v) (а — az) + rk-^-((jr + oz) — r^ =0;

or    dr


V2 К + О у) +

+ Еау2Т = 0;


д2о(


_ до2

дг2~    ~дг

гд2(ог + <Уг)

дг2


(7а)


0


+


дг


farz

дг


-2(1 +v)


= 0.


+ Г


При этом должны удовлетворяться условия (5), (6) на контуре рассматриваемой области.

В уравнениях метода перемещений искомыми неизвестными являются перемещения:

в плоской задаче


в осесимметричной задаче

и, W,


U, V;


для определения которых необходимо решить два синтезирующих 11 уравнения Дюгамеля — Неймана, которые при удовлетворении условиям на контуре (5) — (6), выраженным через перемещения, и при отсутствии температурных членов превращаются в уравнения Ляме:


d2W 1 — 2v ( д J_\dT ' <?z* + 2(l-v)Ur + г )дг +

+ ‘-—f—+ —W=0;

2(1 — v) dz \ dr г I


v*U+Lz^±(*L+W-

1 — 2v дх \ дх ду


0;


(8)


1 — v д I dU    dV \

1 — 2v ду \ дх    ду )


_d_(dU_ U \    1 — 2v d2U

dr[dr+ г Г 2(1—v) dz2 +


v2v +


0;


d2W

drdz


1

2(1 — v)


= 0.


+


Упрощение аналитического решения задач теории упругости достигается введением функций напряжений (функций переме- 12

щений), которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям четвертого порядка:

в плоской задаче

V2 (v2-0 — о*;

в осесимметричной задаче

Д(Д<Р) = 0,    (9)

где у2 и Д — операторы Лапласа в декартовой и цилиндрической системах координат;


д2


д2

дг*


1


д2

дх2


Д =


(10)


+


V2 —


ду2


дг2


дг


Напряжения связаны с этими функциями следующими выра

жениями

d2F ду2


d2F

д*2


д

дг


*р\.

?г2 У

W = ^-(viV—L^);

d2cp


vA(p -


(И)


d2F

дхду


а

дг


+ qx;


*ху


Граничные условия в осесимметричной задаче сложны: они выражаются сложной комбинацией производных искомой функции ф. Эти условия получим подстановкой выражения (11) в условия на контуре (5)—(6). Граничные условия в плоской задаче для односвязной области просты, на контуре области известны функция ф и ее нормальная производная

F \ер = fi ($У,    (12)

=fAS).    (13)

ОП гр

Эти значения функции и нормальной производной наиболее просто вычисляются по методу рамной аналогии.

В математической физике известно, что уравнение в частных производных четвертого порядка может быть представлено в виде системы двух уравнений в частных производных второго порядка. Таким образом мы можем записать:

для плоской задачи вместо уравнения V2(V2 F) = 0 систему

для осесимметричной задачи вместо уравнения А (Д<р) = 0 систему

V2P = Р, V2P = 0;

( ДФ = Р;    (14)

|ДР = 0.    (15) 13 11

Так как принципиальная возможность решения уравнений Лапласа и Пуассона на электрических сетках была показана С. А. Гершгориным еще в 1926 г., то естественно, что разработка методик решения плоской и осесимметричной задач теории упругости в первую очередь была направлена на моделирование систем уравнений (14) — (15). Реализация этих методик стала возможной после разработки Л. И. Гутенмахером сеточного электроинтегратора. Применению методов электрического моделирования при решении задач теории упругости содействовала широкая популяризация Л. И. Гутенмахером идей электрического моделирования. В связи с недостатками серийно выпускаемых сеточных интеграторов ЭИ-11, ЭИ-12 (низкая точность сетки й делителя напряжений) для решения задач теории упругости были созданы специализированные интеграторы типа ЭМ-6БУ (рис. 1), изготовленные в 1952 г. Институтом автоматики по заказу Гидропроекта [7], и интегратор КГУ (рис. 2), создан-

Сетка <р    Сетка р

Измерительное    Делитель напряжения

устройство

Рис. 1. Принципиальная схема интегратора ЭМ-6БУ


ный в 1949 г. коллективом Лаборатории электрического моделирования Киевского государственного университета им. Т. Г. Шевченко под руководством Дьяченко В. Е. и Танцюры Н. А. Электроинтегратор КГУ работает на постоянном токе. Сетка имеет прямоугольную форму, на ней размещено 30 X 40 = 1200 узлов и 2400 магазинов сопротивлений. Магазины сетки изолированы от узлов и включаются в схему с помощью ножевых контактов и специальных узловых шнуров, которыми производится набор величины сопротивления магазина сетки. Это позволяет одновременно набирать несколько задач, а также создавать многоэтажные сетки.

Переменные сопротивления сетки выполнены в виде магазинов сопротивления, состоящих из трех групп последовательно соединенных сопротивлений:

1000, 2000, 3000 и 4000 ом — в первой группе;

100, 200, 300 и 400 ом — во второй группе;

10, 20, 30 и 40 — в третьей группе.