РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ И ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА СЕТОЧНЫХ ЭЛЕКТРОИНТЕГРАТОРАХ 2
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

Рис. 2. Общий вид интегратора КГУ

Подготовка всех сопротивлений произведена с высокой точностью (±0,05%).

Набор величины сопротивления производится путем закорачивания катушек специальным ножевым контактом. Следовательно, сопротивления сетки могут быть набраны в диапазоне от 10 ом до 11 100 ом через 10 ом. Для расширения пределов набора величин сопротивлений имеются дополнительные переменные сопротивления— приставки (величиной порядка 10 ом), которые включаются параллельно высокоомным сопротивлениям. Таким образом, обеспечивается возможность набора величин сопротивления от 0,1 ома до 11100 ом через 0,1 ома. Сопротивления истоков размещаются на специальных приставках.

Измерительное устройство выполнено по потенциометрической схеме последовательных декад. Для компенсации измеряемого напряжения с точностью до единицы пятого знака имеются пять декадных переключателей. В связи с несовершенством делителей напряжения обычного типа в электроинтеграторе КГУ для задания граничных условий или токов истоков применяются индивидуальные потенциометры. Всего установлено 100 потенциометров (каждый из них имеет две ступени регулирования), обеспечивающих задание граничных условий с точностью до единицы пятого знака.

Аналогичную конструкцию имеет упрощенный интегратор

К.ГУ, выполненный по заказу Института гидрологии и гидротехники АН УССР, где в 1949 г. Л. И. Дятловицким была предложена методика итерационного решения краевой бигармонической задачи на односеточном ЭИ с использованием клавишных вычислительных машин [28]. Суть метода заключается в следующем. Численное решение бигармонического уравнения

V2 (V2f) = о

при заданных фгр и Г—) осуществляется чередующимися чис-\дп jtp

ленными решениями уравнения Пуассона (14) и уравнения Лапласа (15).

При численном решении уравнения (14) и (15) заменяются разностными уравнениями. Для повышения точности решения задач с областями, очерченными ломаным контуром, применялись прямоугольные, нерегулярные сетки, выбранные так, чтобы все прямолинейные отрезки контура координировались выбранными шагами сетки (т. е. чтобы углы сетки попадали на контур области) .

Если контур области имеет входящие углы, то рекомендуется применять местное сгущение сетки для того, чтобы разностные уравнения лучше улавливали концентрацию напряжений в окрестностях входящих углов. На рис. 3 приведен пример разбивки сетки при расчете плотины [14].

Дифференциальным уравнениям (14) и (15) соответствуют разностные выражения при прямоугольной нерегулярной сетке:

/+Д</,--1 +Ду,-_н \Ду,_1+Ду,+1 /    14 .


ГО(">    (D<">

<Р/-1 , JP/+L

г" у


Д*/_1 + Дх,.


”Д х.


/+1


(16)

'    ,^*/+1 + ДУу-^Уу-н )

р(п+1) =

Pi-1    , Pi+l

_!_

д*/-1 + Д*/+| удх;_| ^ Дх/+[у ^ ДУ/_1 + Ayi+1 \Д</у_1 ^ Дуу-м

(17)

ю

СО

о>


1 2


Рис. 3. Пример разбивки сетки при расчете плотины.

Числа с чертой — номера граничных точек; числа без черты — номера внутренних точек сетки; размеры шагов указаны в м


формуле (16). Эта операция может осуществляться на клавишных вычислительных машинах.

Для облегчения работы заранее изготовлялось достаточное число бланков, соответствующих сетке задачи.

Вычисления для п-то приближения по формуле (16) производятся с двумя бланками. Бланк (л—1)-го приближения содержит замеренные на ЭИ значения Р f~l) и вычисленные по формуле (16) значения ф^-1) в узлах сетки. В бланк п-то приближения вписываются вновь вычисленные ирМ и    . По

бланку п-то приближения производится на ЭИ следующее решение уравнения (17) и т. д. Этот нестационарный процесс продолжается до получения необходимой стабилизации ф*, что требует около 25 чередований решений (16) и (17) при числе узлов сетки от 100 до 200.

Этим методом было решено значительное количество задач из области гидротехнического строительства [13, 14].

Следует указать на следующее важное обстоятельство, возникающее при местном сгущении сетки. Если в сетке получаются участки, в которых отношение шагов А*! и Ах2 велико, то итерационный процесс нахождения ф* может получиться расходящимся. Эта расходимость практически может быть преодолена некоторым «притормаживанием» итерационного процесса по формуле

фрасч * = «Фрост +W"+1)>    (18)

где а и Я— весовые коэффициенты, причем а + Я = 1 [14].

Наибольший опыт решения задач теории упругости методом моделирования бигармонического уравнения накоплен в Гидропроекте, где А. К. Кузнецовой на ЭМ-6-БУ решено около четырехсот задач.

Теоретически наиболее простая методика решения бигармонического уравнения на двухсеточной модели была предложена Б. А. Волынским [7]. Она состояла в представлении F в виде суммы двух функций:

F = со + ф,

где ф удовлетворяет уравнению Лапласа;

у2Ф = 0 при ф |г =    (х, у)

и решается на одной сетке.

Тогда функция со должна удовлетворять бигармоническому уравнению

V2V2(0 = о

и решаться на двухсеточной модели.

Процесс последовательных приближений состоял в том, что, да

замеряя на границе — и меняя потенциалы на верхней сетке

(Р), добивались удовлетворения условия (20).

Метод оказался неудобным на практике вследствие медленной сходимости и скачкообразности итерационного процесса.

Во время эксплуатации модели и по мере накопления опыта в научно-исследовательском секторе Гидропроекта методика решения на ЭМ-6-БУ постоянно совершенствовалась.

Н. Д. Предтеченский [27] предложил новую методику, по которой функция F разбивалась на две бигармонические функции:

F = U + V.

Граничные условия для функции U:

Рп = const и £L = J!L = f (S). дп дп

В результате решения уравнения y2U = Ри = const на модели находят граничное значение

usp = h(S).

Тогда для V имеем граничные условия

при граничных условиях


(19)

(20)


(О |г


Fr — фг = 0;

д(р дп


(21)

(22)

V \г = Е\г — Ur = ft(S) — f3(S); дУ = J)F_ _ dU_ _ 0 дп дп дп

причем на модели сразу выполняется условие — = 0, а значения

дп

(РХ)У — Ри) постепенно подбираются так, чтобы удовлетворилось условие (21).

Совершенствование методики решения бигармонического уравнения на ЭМ-6-БУ произведено А. К. Кузнецовой [17, 18, 19, 20].

Решение уравнения у2 y2F = 0 Для односвязных областей теперь производится в один прием: задав на сетку F условие (22), подбирают граничные значения Р на сетке Р так, чтобы на сетке <р выполнялось и второе граничное условие (21).

Аналогично решаются задачи об изгибе тонких плит поперечной нагрузкой, так как уравнение Софи Жермен    у2у2w = — также может быть представлено в виде системы двух уравнений Пуассона:

у2до =--; у2М == — q.

Что касается граничных условий, то, например, при жесткой заделке равны нулю прогибы и углы поворота:

= 0.

I n dw а»1г = 0; — дп

Н. Д. Предтеченским (26, 27] разработана методика электрического моделирования плоской задачи для двухсвязных областей, основанная на принципе суперпозии. Функцию F представляют в виде суммы четырех бигармонических функций:

F — Ф1 + Фг + Фз + Ф4-

Граничные условия для функции <pi зависят только от внешней нагрузки, для ср2— только от постоянной Fa, для <р3 — от К, для ф4 — от L. Таким образом, методика является машинно-аналитической: в четыре приема (для функций <pi, <р2, фз и <р4) производится решение на электроинтеграторе, а затем аналитически из условия минимума потенциальной энергии вычисляются значения постоянных Fa, К иL. Для определения постоянных может быть использовано условие однозначности перемещений [26].

А. К. Кузнецовой детально разработана методика решения плоской термоупругой задачи как для односвязных, так и для двухсвязных областей [18]. Решение уравнения (9) в общем случае сводится к представлению функции F в виде суммы двух функций:

F — со + Р

и последовательному решению уравнения Пуассона

уча = —

аЕТ

1 -= 0

ды

с граничными условиями —

дп

и однородного бигармонического уравнения

у2у2ф = 0

с граничными условиями на внешнем контуре

Ф


■СО


\гр


I гр


дФ

дп


гр


на внутреннем контуре

Фгр — — согр + А + Вх + Cyi


дФ

дп


dF_

дп


гр


гр


Детальному рассмотрению методики электрического моделирования термоупругой задачи был посвящен доклад А. К. Кузнецовой на I Всесоюзной конференции по аналоговым методам и средствам решения краевых задач.

Рассмотренная выше методика моделирования плоских задач теории упругости, разработанная в НИСе Гидропроекта, не может быть непосредственно применена к решению смешанной задачи, так как на части контура, где заданы перемещения, не из-

д F

вестны значения функции F и ее производной —.

2vt/ =

dF ,

1

дф .

дх 1

1 + V

дх 9

2vK =

dF

1

дф

ду

1 + V

ду

А. И. Медовиковым разработана методика, которая позволяет решать такие задачи на сеточном электроинтеграторе, моделирующем бигармоническое уравнение. Она основывается на электрическом построении гармонической функции ф, которая определяет перемещения совместно с бигармонической функцией по формулам Лява:

Функция ф связана с суммой нормальных напряжений Р равенством = Р. Подбор граничных условий при решении смешанных задач осуществляется по дополнительным функциям, которые автоматически строятся в дополнительных цепях. Схема соединения сеток электромодели, предложенная А. И. Медовиковым для решения смешанной плоской задачи, представлена на рис. 4. В МИСИ им. В. В. Куйбышева под руководством А. И. Медовикова по этой схеме был разработан и изготовлен специализированный интегратор, основной отличительной особенностью которого является замена сетки функции высокого потенциала (Р) несколькими листами электропроводной бумаги, поджимаемой к контактам пневматической подушкой [22]. На электропроводную бумагу накладывался лист кальки, имеющий вырез по форме моделируемой области. Тем самым набор области осуществлялся весьма быстро.

При решении бигармонического уравнения на этом ЭИ не используются производные функции высокого потенциала, точность решения определяется качеством сопротивления сетки низкого потенциала и влияние неоднородности электропроводной бумаги невелико. Собранный электроинтегратор несколько лет находился в эксплуатации. В настоящее время он заменен электроинтегратором усовершенствованной конструкции.

Рис. 4. Схема соединения сеток электромодели для решения смешанной плоской задачи:

а — граничные цепочки; б — сетка в — сетка «Р»; г — сопротивления для задания правой части бигармонического уравнения

В работе [23] изложен расчет по этой методике гравитационной плотины, расположенной на жестком основании. Анализ результатов позволил сделать вывод о целесообразности размещения вблизи основания напорной грани шва-надреза.

Экспериментальные исследования такой конструкции, проведенные во Всесоюзном научно - исследовательском институте гидротехники, полностью подтвердили эти выводы.

В работе [22] изложена методика электрического моделирования напряженного состояния конструкций, расчетная схема которых может быть сведена к балке, соединенной с пластинкой произвольной формы. Значения функции напряжений и ее нормальной производной по линии контакта выражаются через смещения соответствующих контактных точек пластинки, изгибающий момент и продольную силу балки.

НИСа Гидропроекта. По этой методике рассчитаны элементы конструкций Киевской, Мамаканской и других электростанций.

При решении многих задач теории упругости на двухсеточной модели не требуется производить уравновешивание во внутренних узлах исследуемой области. Подбор краевых условий необходимо осуществлять при решении некоторых задач на контуре области или на отдельных участках контура. Однако проведение подбора вручную и в этом случае является весьма трудоемкой операцией. Для автоматизации этого процесса в МИСИ им. В. В. Куйбышева под руководством А. И. Медовикова разработана многоканальная следящая система.

Экспериментальные исследования условий работы такой системы показали, что при питании сеток электроинтегратора пере-

16 Заказ 1148    241

Методика электрического моделирования смешанных задач теории упругости внедрена в практику работы

менным током квадратурная составляющая наводки в сигналах рассогласования делает работу системы неустойчивой. Избавиться от этого недостатка не удалось, хотя была проведена большая работа по экранировке всех узлов и устранению сдвига фаз.

Осуществление автоматизации процесса подбора стало возможным после перевода питания сеток электроинтегратора на постоянный ток. В этом случае фиксированная фаза питающего напряжения не вызывает появления квадратурной составляющей, а вибраторы, стоящие на входах усилителей, являются надежными фильтрами наводок промышленной частоты [24, 25].

В отличие от рассмотренных работ, где на электроинтеграторах осуществлялось моделирование гармонических и бигармони-

Рис. 5. Схема моделирования уравнения теории упругости в перемещениях

ческих функций напряжений, во ВНИИ транспортного строительства ЦНИИС М. Д. Головко и др. довели до практического применения метод решения двухмерных задач теории упругости на электрических цепях, предложенный Г. Кроном.

В результате настойчивых поисков М. Д. Головко удалось реализовать упрощенную модель. Г. Крона (рис. 5), которая по существу моделирует уравнение теории упругости в перемещениях.

С этой целью в ЦНИИС и в НИИ строительной физики была создана специальная аппаратура, включающая в себя настраиваемые вручную схемы, имитирующие поведение отрицательных сопротивлений, необходимых в применяемых эквивалентных цепях. На этой аппаратуре решаются задачи из практики строительства, преимущественно о термонапряженном состоянии бетонных элементов конструкций [5, 6]. В НИИ строительной физики А. А. Гагарина рассчитывала напряженные состояния крупноразмерных стеновых панелей [8, 9, 10].

Получить достаточно точные решения на этих устройствах оказалось возможным лишь при использовании метода последо-242 вательных приближений, вычисляя на клавишных сеточных машинах небалансные токи (соответствующие в решаемой задаче теории упругости невязкам уравнений равновесия в избранных точках исследуемой области) и повторно загружая эквивалентную цепь для определения поправок, уточняющих первое, недостаточно точное решение. В настоящее время проводят 2—3 таких уточнения.

Во ВНИИ транспортного строительства рассматривалась не только плоская задача. Здесь А. В. Амельянчик реализовал модель Г. Крона для осесимметричной задачи. Им исследовались тепловые напряжения в поршне тепловозного двигателя [3].

Значительная трудоемкость решения задач на моделях Г. Крона, выражающаяся в необходимости приведения уточнения решений, получаемых на моделирующем устройстве, наряду с большим объемом вспомогательных вычислений по решению задач в целом содействовала постепенному превращению развиваемого в ЦНИИС аналогового метода в аналого-цифровой. Так, А. В. Амельянчик предложил использовать электроаналогию для простого составления уравнений, которые затем решаются на ЭЦВМ.

В статье данного сборника М. Д. Головко и Ю. А. Матросов сообщают о решении двух температурных задач теории упругости методом электрических аналогий, но уже без применения электрической установки. Искомые значения потенциалов (составляющих перемещений) получаются в результате решений на ЭЦВМ системы линейных алгебраических уравнений, определяющей поведение электрической цепи, эквивалентной упругому полю.

Схема эквивалентной цепи в этом случае используется как топологическая модель решаемой системы уравнений. Удобство нового подхода состоит в единообразии учета разнообразных граничных условий (по сравнению, например, с методом конечных разностей) и в простоте автоматизации трудоемких вспомогательных вычислений.

Перейдем к рассмотрению способов электрического моделирования осесимметричной задачи. Теоретически для электрического моделирования может быть использовано решение Лява (9) — (11), так как сеточные электроинтеграторы (ЭИ-12, КГУ и др.) обеспечивают моделирование уравнений Лапласа (15) и Пуассона (14) в цилиндрической системе координат. Однако граничные условия для функции настолько сложны, что практически применить решение Лява для решения задач методом моделирования не представляется возможным.

В обширной литературе по теории упругости известны и другие решения осесимметричной задачи: решения К. Вебера, Б. Г. Галеркина, Г. Д. Гродского, К. Маргера, Мичела, П. Ф. Папковича, Г. Нейбера, Р. Саусвелла, А. Тимпе.

Однако исследование этих решений показало, что их использование для электрического моделирования практически невозможно из-за сложности реализации граничных условий. Поэтому автором настоящей статьи была предпринята попытка отыскания новых решений, более удобных для моделирования. В результате поисков в 1949 г. было получено новое общее решение осесимметричной задачи, выраженное через две функции напряжений Q и Ф, удовлетворяющих системе двух дифференциальных уравнений второго порядка:

где оператор

д2 дг2


(23)


(24)



D —


В этом решении напряжения связаны с Ф и Q следующими соотношениями:

1


1


[(l-v)Q + Ф]


(Ф + Q)-


дг


г дг

с>е —--— 4—— [(1 — v) + Ф];

(25)

_L

г дг _1_ дФ_ г дг

Из выражений (25), (5) и (6) получаем следующие граничные условия на контуре:

4 = —-4р-;    (26)

г ds

= {т 1Г(Ф +    ^ ю - V) « + Ф]| cos (п, г) +

+ ~ ~Г cos (л, г).    (27)

г дг

Из первого граничного условия путем контурного интегрирования можно определить значения функции Ф на границе исследуемой области

Ф (s) = | rZnds.

Таким образом, методика решения осесимметричной задачи на ЭИ может быть аналогична методике плоской задачи: гра-ничные значения одной функции (Ф) известны, а граничные значения другой функции (й) должны быть найдены в результате ряда последовательных приближений, производимых до удовлетворения граничному условию (27).

На электроинтеграторе КГУ нами была создана трехсеточная модель (рис. 6). На сетке I решалось уравнение DQ = 0, на

= 0. Все узлы сетки II связыва-

R

п

сетке II — уравнение D

лись с соответствующими узлами сетки III. Эта «двухэтажная» модель и позволила получить на сетке III решение уравнения

дг2

На этой модели было исследовано напряженное состояние ряда толстостенных цилиндров и дисков турбомашин.

На рис. 7 представлены результаты исследования напряженного состояния цельнокованого турбинного ротора.

В методе последовательных приближений для выполнения второго граничного условия (27) использовался метод верхней релаксации, позволивший резко увеличить скорость сходимости процесса подбора граничных значений функции й [1]. Новые значения функции й вычислялись по релаксационной формуле


где ег — «невязка» в граничном условии (27) для i-го узла;

ап — релаксационный коэффициент, подбиравшийся экспериментально в процессе решения на ЭИ.

Опыт эксплуатации этой модели показал, что на ЭИ могут решаться сложные осесимметричные задачи. Была разработана методика решения на ЭИ задач с учетом центробежных сил и температурных полей. Вместе с тем необходимо отметить, что в ряде случаев сетка низкого потенциала (Ф) не обеспечивала необходимой точности решения. Поэтому в вычислительном центре КГУ им. Т. Г. Шевченко были продолжены поиски новых решений осесимметричной задачи, в которых функции напряжений