РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ И ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА СЕТОЧНЫХ ЭЛЕКТРОИНТЕГРАТОРАХ 3
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

Рис. 7. Распределение напряжений на цельнокованом роторе


удовлетворяли бы однородным дифференциальным уравнениям, что позволило    бы    отойти от создания «двухэтажных» моделей.

Исходя из общего решения П. Ф. Папковича — Г. Нейбера, И. С. Бобырь, Н. И. Синявский и Ю. Н. Шевченко получили такое решение в    1960    г.

DF = 0;    (28)

Df = 0.    (29)

Это новое решение может быть получено непосредственно из формул (26), (27), если положить

О = —F;    (30)

1 — V

(31)


Ф =


2(1 -v)


Напряжения от, оо az, arz связаны с функциями F и / следующими зависимостями:

■Я

II

С)

ч-

dF <• 2 F .

nr

+ 1 [+ 2(1 — v) [ dz2

_L IL__

r dr dr \ r j\y

(32)

Г ( 2F 1 dF ,

^e = G—----— +

(г2 г dr

1 Г 1 dF f 1) .

(33)

2(1— v) L r dr r2 Jr

G — 6 1 д z~ 2(1— v) г dr

(34)

х - G 1 <4

2(1 —v)F—r —fj.

(35)

rz 2(1—v) r dz 1

Преимущество нового решения по сравнению с решением (23) — (26) заключается в возможности моделирования функции F и / с одинаково высокой точностью, недостаток его — в некоторой сложности граничных условий.

Однако этот недостаток был успешно преодолен И. С. Бобырем и В. Т. Корниенко, которые разработали способ вычисления граничных условий и задания их на ЭМ, в результате чего была создана новая эффективная методика моделирования осесимметричной задачи.

Решение осесимметричной задачи с учетом действия центробежных сил и температурных полей можно получить как сумму общего решения однородной и частных решений неоднородной системы уравнений (1), (2), (7а):

ог = аг + о™ + атг;

ое = ое + оеш> + о5;    ,gg.

ог = аг + of’ + о*;

тгг =    + Огг* + Ъ'ггу

где

о>, ае, oz, xrz — компоненты напряжений, отвечающие общему решению однородной системы;

а;, а£“>, о<ш>, т^ш) и

а<т), а^, tW —компоненты напряжений, отвечающие частным решениям неоднородной системы уравнений, и воздействия неравномерного нагрева соответственно.

Для частных решений <т<ш), ajm>, a£°>, ческие выражения [12]. Частные решения ределяются по формулам:

оГ---?-(±™- +

1 — v \ г дг

аГ=--^ (-??- +

1 — V \


известны аналити-ar(r>, a^r>, a<r>, t<*> on-

)=

a2e

dz2


а<т)=--*_(_L

1 — V \ г


т<г)_ Irz —


dr2

d9

dr

a2e


+


dz2

d2Q


■>


(37)


1 — v drdz


где 0 — любое частное решение для температурного потенциала

у20 = аТ,    (38)

легко реализуемое на ЭИ.

Таким образом, основная трудоемкость решения задачи заключается в нахождении компонентов напряжений по формулам (32) — (35) и, следовательно, в задании граничных условий при моделировании уравнений DF = 0, Df = 0. Решение этих уравнений не представит особых затруднений, если известны краевые условия I, II или III рода относительно функций напряжений.

И. С. Бобырь и В. Т. Корниенко показали, что, используя выражения (32) — (35), посредством контурного интегрирования можно построить зависимости, связывающие на границе области функции напряжений F и / через заданные на контуре нагрузки. Согласно этим зависимостям для функций напряжений F и f на горизонтальных участках контура определяются граничные условия соответственно III и I рода:

1 dF г дг

1 — v


["'-т)-Г(гг“)* + -Ягг"*]-

(39)


1    da: (г) ,    1    , .

--— --а, (г);

2 г    dr г* *w


f = - G V> frrJr + 2 (1 - v) F - r -g- - a, (r).    (40)

На вертикальных участках контура имеет место краевое условие I рода:

F ~    [I ‘m*~ I'r (f V*)'dr + Т 1<г) + 1<2>; <41 >

/ = —'v7’J| J + 2 (I - V) F - г ^ _ Р, (г);    (42)

здесь    аг, а2, огг — значения напряжений на границе об

ласти согласно условию (1);

cu(r), P<(z), fli(z), (2) —функции интегрирования, определяемые из некоторых условий непрерывности на стыках горизонтальных и вертикальных участков.

На закруглении по дуге окружности (рис. 8) в любой точке s имеем краевое условие

_L SL _ Г = - R. - -L J- f ,Zjb -

г dr    г2    G sin a    G r dr J

e< W + -

1 — v cos a    1

G    sin a R

-^jrZnds + rZnds--—-


1

2 r2 cos a sin a


2 r


в/ —

2Л4),


(43)


где

Rn = — a,, sin a — Trz cos a, Z„ = — xrz sin a — az cos a,

s)r), е,-г>, ег- — постоянные.

Рис. 8. Схема к составлению краевых условий

В приведенных граничных условиях III рода для функции F в уравнения (6), (8) и (9) коэффициенты при функции и ее производной имеют разные знаки. Для задания этих условий на сеточном электроинтеграторе используется схема аналога отрицательного сопротивления.

По этой методике был решен ряд задач по определению напряженного состояния тел вращения (цилиндров постоянного и переменного сечения), находящихся под действием центробежных сил, поверхностной нагрузки и неравномерного нагрева.

Так как краевые условия для функций напряжений определяются приближенно, то для подбора напряжений, заданных на границе области, применяется метод последовательных приближений. Для цилиндров постоянного сечения (без внутренних угловых точек) для удовлетворения граничных условий относительно компонент напряжений с точностью до 2—5% необходимо одно-два приближения, при этом граничные условия по 0Z и Trz на торцовых поверхностях обычно удовлетворяются в результате первого приближения, т. е. в этом случае функции напряжений F и f после первого приближения не подправляются.

Для цилиндров переменного сечения с внутренней угловой точкой на составляющем вертикальном участке процесс последовательных приближений следует вести так, чтобы не возникало разрыва между распределением функции F на границе и внутри области. При этом следует начинать уточнение значений функций на вертикальном участке с внутренней угловой точки.

Граничные условия относительно компонент напряжений oz, ог2 на торцах и ог и %Zr на цилиндрических поверхностях в результате первого приближения удовлетворяются с точностью до 10— 15%, а для удовлетворения граничных условий с большей точностью требуется еще несколько приближений.

Трудоемкие вычисления, связанные с определением напряжений внутри тела вращения, выполнялись на ЭЦВМ «Раздан-2». При расчете функции напряжений с электроинтегратора непосредственно наносились на перфоленту, которая затем обрабатывалась по определенной программе.

Как в плоской, так и в осесимметричной задаче, несмотря на наличие прямой аналогии между уравнениями теории упругости и уравнениями для сеточных моделей, не удается при заданных граничных условиях получить решение задачи в один прием, необходим ряд последовательных приближений. С этой точки зрения рассмотренные модели согласно терминологии, предложенной Б. А. Волынским, следует отнести ко 2-му и 3-му классам: при решении задач в функциях напряжений создаются модели 2-го класса, требующие внешней (контурной) итерации; при решении задач в перемещениях — модели 3-го класса, где требуется внутренняя итерация.

Необходимо также отметить, что при разработке рассмотренных моделей возникла необходимость в создании аналогов отрицательных сопротивлений, что по существу означало создание квазианалоговых моделей.

Общие принципы построения квазианалоговых сеточных электроинтеграторов разработаны Г. Е. Пуховым [28].

В основу теории квазианалоговых систем вместо обычного для электромоделирования принципа подобия положен более общий принцип эквивалентности уравнений в отношении получаемых результатов. Квазианалоговой электрической моделью некоторой системы уравнений называют такую электрическую цепь, в которой при помощи дополнительных устройств можно произвести изменение потенциалов и токов таким образом, что уравнения этой электрической цепи будут эквивалентны моделируемой системе уравнений.

Главным достоинством метода квазианалоговых моделей является возможность существенно расширить круг задач, решаемых средствами математического моделирования. Так, принципиально становится возможной реализация идеи Г. Крона о прямом моделировании всех трех групп уравнений теории упругости. А. Е. Степанов рассмотрел способ построения такой модели для решения плоской задачи теории упругости.

На основе общих принципов квазианалогового моделирования Г. Е. Пуховым, А. Е. Степановым и В. М. Самусем разработаны квазианалоговые модели для решения двухмерных задач теории упругости [29, 30].

А. Е. Степановым |[30] разработан также принцип построения квалианалоговой сетки для моделирования бигармоничееко-го уравнения в конечных разностях, построенной по способу уравнивания неизвестных.

А. Е. Степанов представил бигармоническое уравнение в конечных разностях (9) в виде двух уравнений:

12ф0 — 2 (ср5 + ф6 + <р7 + ф8) — (ф9 + ф10 + фп + ф12) = Ф0;    (44)

32ф0 — 8 (фх + ф2 + ф3 + ф4) = Ф0,    (45)

где Ф0 — некоторая функция.

Рис. 9. Схема моделирования уравнений А. Е. Степанова

Эти уравнения моделируются двумя соединенными между собой в каждом узле сетками из положительных омических сопротивлений (рис. 9). На верхней сетке решается уравнение (44), на нижней — уравнение (45). Процесс «уравновешивания» сетки состоит в последовательном регулировании величины Uiдля уравнения потенциалов в соответствующих узлах первой и второй сеток. На основании этого принципа была создана модель. Преимущества этой модели по сравнению с методикой решения на ЭМБУ-6 заключаются в определенности граничных условий, удобств их задания и простоте алгоритма уравновешивания.

Аналогичная модель предложена А. Е. Степановым и для решения плоской задачи в перемещениях. Эксперимент показал, что этому случаю свойственна более медленная сходимость процесса последовательных приближений.

В. М. Самусем разработан квазианалоговый сеточный электроинтегратор, позволяющий решать довольно широкий класс задач теории упругости. Модель состоит из сетки со свободной коммутацией, позволяющей в случае необходимости создавать двух- и трехэтажные модели, задавать стоки и истоки, и специального арифметического устройства.

На этой модели осуществлено моделирование прямоугольной пластинки, жестко закрепленной по контуру и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (225 узловых точек) [29]. Кроме того, на этой модели можно решать плоскую задачу теории упругости в перемещениях.

На IV Всесоюзной конференции по применению электронных математических машин в строительной механике, машиностроении и строительном производстве Л. А. Гагарина и В. М. Самусь доложили о результатах расчета элементов крупнопанельных зданий. На той же конференции Самусь В. М. изложил методику решения на квазианалоговой модели осесимметричной задачи в перемещениях, т. е. на модели, обеспечивающей решение системы уравнений (8). На квазианалоговом интеграторе была набрана модель из двух электрических, не связанных между собой, сеток (рис. 10).

Потенциалы одной сетки (а) моделируют осевое перемещение Wy потенциалы другой (б) —радиальное перемещение U. Связь между сетками реализуется с помощью специального арифметического устройства АУ (рис. 10, в), которое посредством вводимого дополнительного тока компенсирует разность между исход-

Рис. 10. Схема модели из двух электрических, не связанных между собой,

сеток:

а — моделирование осевого перемещения; б — моделирование радиального перемещения; в — арифметическое устройство для связи сеток U и W

ными уравнениями и уравнениями электрической цепи без дополнительных токов.

Недостатком квазианалоговых моделей рассмотренного типа является использование итерационных методов, сходимость которых для каждого класса уравнений должна быть доказана не только теоретически, но и экспериментально. Дальнейшее развитие квазианалогового моделирования возможно на пути применения неалгоритмического варианта квазианалоговых моделей, которые имеют достаточное количество усилителей (Г. Е. Пухов показал, что количество усилителей может быть уменьшено до 1—2 за счет применения динамического метода моделирования).

Успешное решение ряда практических задач по исследованию напряженного и деформированного состояния плоских и осесимметричных конструкций в турбомашиностроении, гидротехническом, промышленном и гражданском строительстве показывают, что электрическое моделирование является весьма эффективным в конструкторской практике и заслуживает всемерного распространения. Однако необходим серийный выпуск качественных 252

ЭИ и дальнейшее совершенствование методов моделирования плоской и осесимметричной задач теории упругости.

Это совершенствование возможно по трем направлениям:

а)    по пути создания комбинированных установок, использующих электрические сетки и цифровые вычислительные машины;

б)    по пути построения новых общих решений (особенно в осесимметричной задаче), которые допускают создание наиболее эффективных сеточных моделей;

в)    по пути развития методов квазианалогового моделирования, обеспечивающих быстрое и точное решение задач теории упругости при значительном количестве узловых точек, необходимых для аппроксимации областей со сложной конфигурацией.

ЛИТЕРАТУРА

1.    А г а р е в В. А., У м а н с к и й Э. С., Квитка А. Л. Некоторые вопросы решения температурной осесимметричной задачи теории упругости. В сб. «Вопросы порошковой металлургии и прочности материалов». Изд. АН УССР, Киев, 1958, вып. 5, стр. 134—-159.

2.    А м е л ь я н ч и к А. В. Исследование температурных напряжений и деформаций в поршне тепловозного дизеля посредством электрических эквивалентных цепей упругого поля. Труды Всесоюзного научно-исследовательского института железнодорожного транспорта, вып. 49, Грансжелдориздат, 1958, стр. 30—59.

3.    Амельянчик А. В. Расчет на прочность дисков турбомашин на математической машине, «Известия АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение», 1959, № 1, стр. 138—143.

4.    Амельянчик А. В. Решение температурных задач теории упругости посредством электрических эквивалентных цепей упругого поля. «Известия АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение», 1959, №14, стр. 196—200.

5.    Головко М. Д. Электрические цепи для решения двумерных задач теории упругости. В сб. «Исследования напряженного состояния крупноразмерных стеновых панелей методом электрических аналогий». НИИ строительной физики, научные сообщения, вып. 3. М., Госстройиздат, 1961, стр. 5—45.

6.    Головко М. Д. Решение задач теории упругости на электрических эквивалентных цепях. В сб. «Аналоговые методы и средства решения краевых задач». Киев, «Наукова думка», 1964, стр. 85—104.

7.    Волынский Б. А., Бухман В. Е. Модели для решения краевых задач. М., Физматгиз, 1960, стр. 446.

8.    Гагарина Л. А. Температурные напряжения в стеновых панелях «Строительная механика и расчет сооружений», № 1, 1961, стр. 39—40.

9.    Гагарина Л. А. Исследование прочности продольных стеновых панелей объемного элемента методом электроаналогии. В сб. «Испытание и расчет объемных элементов жилых зданий». М., Госстройиздат, 1962, стр. 46—77.

10.    Гагарина Л. А. Исследование прочности многоэтажных стеновых панелей методом электроаналогий. «Строительная механика и расчет сооружений», 1962, № 4, стр. 6—9.

11.    Дятловицкий Л. И. Решение плоской задачи теории упругости на сеточном электродетонаторе. Известия Института гидрологии и гидротехники УССР, т. 8, 1951, стр. 15.

12.    Дятловицкий Л. И., Гаркави О. Я. Исследование напряжений в гравитационных плотинах на скольном основании. Известия Института гидрологии и гидротехники АН УССР, т. 9, 1952, стр. 16.

13.    Дятловицкий Л. И. О влиянии блоков на распределение напряжений в гравитационных плотинах. «Гидротехническое строительство», 1954, № 6.

14.    Дятловицкий Л. И. Напряжения в гравитационных плотинах на нескальных основаниях. Изд. АН УССР, Киев, 1959, стр. 35—124.

15.    Истомин С. А. О взаимодействии плиты и колонны в безбалочном перекрытии. «Строительная техника и расчет сооружений», 1959, № 6, стр. 33—38.

16.    Кар плюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля. М., Изд-во иностр. лит., 1962, стр. 469.

17.    Кузнецова А. К. Сборные плотины средней высоты с применением напряженного железобетона. Исследования напряженного состояния сплошного контрфорса методом электромоделирования. Всесоюзный научно-исследовательский институт гидротехники им. Б. Е. Веденеева. Аннотации законченных в 1959 г. научно-исследовательских работ по гидротехнике. Госэнерго-издат, М.—Л., 1960, стр. 32.

18.    Кузнецова А. К. «Электромоделирование» в связи с исследованиями методами теории упругости конструкций гидротехнических сооружений. В сб. «Научно-исследовательские работы Гидропроекта». М.—Л., Госэнергоиз-дат, 1961, стр. 119—126.

19.    Кузнецова А. К. Решение задач плоского напряженного состояния и изгиба плит. «Напряжения и деформации в деталях и узлах машин». М.„ Машгиз, 1961, стр. 361—368.

20.    Кузнецова А. К. Исследование напряженного состояния элементов на специализированном электроинтеграторе ЭМБУ-6. Всесоюзный научно-исследовательский институт гидротехники им. Б. Е. Веденеева. Труды координационных совещаний по гидротехнике, вып. 4, М.—Л., Госэнергоиздат, 1962, стр. 39.

21.    Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. Гостехиздат, 1947.

22.    Медовиков А. И. Исследование термонапряженного состояния бетонных блоков, расположенных на жестком основании и фундаментной плите, методом электроаналогии. Изд. Новочеркасского политехнического института,

1962,    стр. 49—56. Труды второй межвузовской научно-технической конференции по электрическому моделированию задач строительной механики, теории упругости и сопротивления материалов, Ростов, февраль, 1962.

23.    Медовиков А. И. Исследования методом электроаналогий напряженного состояния гравитационной плиты, расположенной на жестком основании. Всесоюзный научно-исследовательский институт гидротехники им. В. Е. Веденеева. Труды координационных совещаний по гидротехнике, вып. 4, М.— Л., Госэнергоиздат, 1962, стр. 3.

24.    Медовиков А. И. Отчет по научно-исследовательской работе «Разработка методов автоматизации подбора граничных условий при исследовании напряженного состояния толстых арок на электрических моделях». МИСИ,

1963,    стр. 84.

25.    Медовиков А. И. Отчет о научно-исследовательской работе: «Усовершенствование конструкции следящих систем применительно к статическому расчету плотин с расширенными швами». МИСИ, 1964, стр. 65.

26.    Предтеченский Н. Д. Основные зависимости для определения напряжений при решении плоской задачи теории упругости на электроинтеграторе ЭМБУ-6. В сб. «Напряжения и деформации в деталях и узлах машин». М., Машгиз, 1961, стр. 320—361.

27.    Предтеченский Н. Д. Решение плоской задачи теории упругости на электрических моделях. Институт машиноведения АН СССР. «Поляризационно-оптический метод исследования напряжений». Под редакцией Приго-ровского, М.—Л., Изд. АН СССР, 1956, стр. 59—83.

28.    Пухов Г. Е. Принципы построения квазианалоговых сеточных электроинтеграторов. «Аналоговые методы и средства решения краевых задач». «Наукова Думка», 1964, Труды Всесоюзного совещания, М., 1962, стр. 13—26.

29.    С а м у с ь В. М. Электрическое моделирование элемента авиаконструкции типа упругой пластинки. Киевский институт воздушного гражданского флота. Электрическое моделирование, вып. 1, Киев, 1962, стр. 56—60.

30.    С т е п а н о в А. Е. Электромоделирование бигармонического уравнения. Известия высших учебных заведений. Электромеханика, 1962, № 3, стр. 262—268.

31.    Тетельбаум И. М. Электрическое моделирование. М., Физматгиз. 1959, стр. 319.

А. И. Медовиков, Э. Ш. Бобров, М. Г. Ванюшенков, Г. Э. Шаблинский, С. П. Клюев