РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИЗГИБА ПЛИТ И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ ЭЛЕКТРОАНАЛОГИИ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИЗГИБА ПЛИТ И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ ЭЛЕКТРОАНАЛОГИИ

Электрические интеграторы для моделирования бигармонического уравнения теории упругости являются специализированными вычислительными машинами, предназначенными для расчета плит. До последнего времени в СССР имелся один такой электроинтегратор марки ЭМБУ-6, установленный в Научно-исследовательском секторе института Гидропроект [3]. На этом интеграторе на протяжении около десяти лет решено более трехсот задач. Результаты решения многих задач использованы в практике гидротехнического строительства. Указанный интегратор плодотворно используется и в настоящее время.

Решение задач на ЭМБУ-6 производится путем подбора, т. е. неизвестные значения функций высокого потенциала на контуре области подбираются из условий совпадения замеренных и заданных величин функции низкого потенциала. Подбор требует высокой квалификации оператора и длительного времени для своего осуществления.

В данной работе изложена методика расчета плит, балок и пологих оболочек на автоматизированном электроинтеграторе МИСИ.

Расчет плит методом электроаналогии сводится к моделированию уравнения

£>у4ш = q    (1)

потенциалами двух связанных сеток омических сопротивлений, на одной из которых решается уравнение

у2М = —,    (2)

на другой уравнение

y2w = — М.    (3)

Система уравнений (2) и (3) эквивалентна уравнению (1).

255

В случае прямолинейного свободного края (свободный край параллелен оси у) условия Кирхгофа [8] имеют вид


d3w

дх3


+ (2 — v)


d3w дхду2 d2w


= 0;


(4)


ду2


= 0.


d2w ,

дх*

Рис. 1. Схема электрической сетки


Учитывая, что d2w


y2w =


дх2


+


d2w

~W


условия (4) представим в виде dsj2w ,! ч д3т


дх


(1-V)


ду2 d2w

IF


(5)

(6)


Уравнение (6) реализуется в дополнительной цепи, совпадающей со свободным краем плиты (рис. 1). Эта цепь представляет собой последовательно соединенные омические сопротивления г2, номинальная величина которых на два порядка меньше величины сопротивлений ги составляющих сетку «w». В этом случае токи в сопротивлениях г\ незначительно влияют на распределение потенциалов в цепи АВ, и контурные значения функции w задаются на участке свободного края по уравнению (6). Сопротивления R2 выбираются из условия соответствия масштабов потенциалов сеток и с учетом постоянного множителя (1 —v), что аналогично выбору сопротивлений в дополнительных цепях при решении плоских смешанных задач теории упругости [6].

Условие (5) преобразуем введением функции Ч**, связанной с y2w соотношением


д2Ч ду2

д3Ч


■y2w;


(7)


d3w


(8)


дхду2    дхду2

Соотношение (8) в отличие от соотношения (7) справедливо


только на свободном крае плиты. Интегрируя выражение (8) по длине свободного края, получим

dW

дх


dw

дх


+ Сгу -f- С2.


(9)


Функция W автоматически строится в процессе решения задачи в двух дополнительных целях, одна из которых (CD) совпадает со свободным краем, а другая (EF) отстоит от него на один шаг сетки (рис. 1). Токи, текущие в узлы цепи W через сопротивления R2, пропорциональны значению функции у2 w = —М. Уравнение первого закона Кирхгофа, записанное для узлов цепи при соответствующем выборе масштабов потенциалов [6], аналогично уравнению (7).

дЧ

Производная - непосредственно замеряется в цепи Про-

дх

извольные постоянные С{ и С2 целесообразно выбирать из усло-

d¥    dw    ^

вия равенства производных и--— по концам свободного

края, что практически осуществляется заданием потенциала в концевых точках С, D, Е, F цепи 4я. В этом случае подбор значений функции М по длине свободного края осуществляется по dY    dw    х

равенству -=--, обе части которого замеряются непо-

дх    дх

средственно. Контурные значения функции w, как было указано выше, автоматически получаются в процессе подбора в цепи АВ.

Результаты расчета квадратной плиты, шарнирно опирающейся по трем сторонам и имеющей один свободный край, представлены на рис. 2.

На рис. 3 показана трапециевидная пластинка, рассчитанная на автоматизированном электроинтеграторе, выполненном в МИСИ.

Функция прогибов w должна удовлетворять следующим граничным условиям:

*^ = о,

ду

dw


(10)

(И)


при у = 0 и у = A; w = 0;


при х = ± (/ -


У tg 30°); ш = 0; — = 0,

дп


где п — нормаль к скошенному краю пластинки.

Геометрические граничные условия (11) на скошенных краях пластинки означают, что в любой точке контура линейный элемент нормали dti так же, как линейный элемент самого контура ds, после деформации остается в плоскости Оху (рис. 3). Иначе говоря, плоскость Оху касательна к поверхности прогибов. Но тогда элементы dx и dy после деформации также остаются

83


Рис. 2. Расчет прогиба квадратной плиты:

а — расчетная схема; б — таблица и график проба2

гибов в долях 10~5 —-— (сила приложена к точке а

9—9)

1    2    3    9    5    6    7    8    9    10    11    12

И-1    I    I    I    I    I    I    I    I    I    I

69,5 175 256 361 628 518 596 673 765 810 863 915

—I-1-Г" I I I ~1-1........1.......1 —I_|

119 266 370 500 625 762 873 990 1086 1173 1258 1320

40,3 80,6 125,5 172,5 190,5 240 303 341 374 408 437 466 ,    f—,    ■    ■    ■    ■    ■    ■

139 296 669 630 793 960 1110 1236 1392 15ft) Фд Wes

I -+-Ч-1-L_l    I—I    I    |—I—I

161,3 360 538 730 925 1HT1305-M5J668 1776 1890 1965


'1225-1660^1666 I860 1970 2060 2160


Гг/Ш-/£# 1925 2050 2150 2260


157 338 560 766 960


1—Г

1636-1672J892 1990 2055 2160

1


161 291 653 621 m~WT 1230-16801705 1760 1810 1852

•6,

Г


100,9 206 327 653 59б75Т~Щ-1082-1260^2й5 1330 1368

—i— i    i i m-


1-Г


51,5 105,2 159 235 313 396 686 570 695 Ы 7i>6 7?6


в плоскости Оху и граничные условия (5) эквивалентны следующим условиям на скошенных краях: при

х = (I — ytg 30°);

п dw *

w = 0; -= 0

дх

или    W = о- — = 0.

%

Поскольку пластинка симметрична относительно оси Оу, в дальнейшем рассматривалась только одна ее половина. Вся область, занимаемая пластинкой, была разбита на прямоугольную сетку с шагом

Ах = — /;

14

Ay = — h;

J 14

— = —= 1,155.

А У h

Различные шаги по горизонтали и вертикали были выбраны для того, чтобы больше узлов сетки попало на линию контура,

Сетка М    Qm источника высокого

Рис. 3. Расчет трапециевидной пластинки: а —расчетная схема; б — электрическая схема


совпадающую со скошенным краем пластинки. Электрическая схема моделирования напряженного состояния трапециевидной пластинки приведена на рис. 3.

Граничные условия на контуре пластинки подбирали многоканальной следящей системой. На вход каналов системы подавались напряжения, пропорциональные разности потенциалов 17*    259

между контурными и внутриконтурными точками сетки прогибов. Потенциалы с реохордов следящих систем подавались в соответствующие контурные точки сетки моментов. Следящая система автоматически уравновешивала модель, подбирая такие значения моментов, при которых равны нулю углы поворота на контуре пластинки. Время установления не превышало 1 мин.Точность отработки граничных условий соответствовала приборному нулю усилителей следящей системы. Величины прогибов, замеренных на сетке электроинтегратора, для половины пластины приведены на рис. 4. По этим значениям были вычислены изгибающие и крутящие моменты, величины которых близко совпали с соответствующими величинами, полученными аналитическим расчетом этой пластинки по методу начальных функций [1].


Изгиб нейтральной линии балки описывается системой двух дифференциальных уравнений второго порядка:

dm

dx2

d2w __


(12)

(13)


м_

EJ


= —ъ


где w — прогиб балки;

% — кривизна нейтральной линии;

М — изгибающий момент;

q — интенсивность распределенной нагрузки.

Известны электрические модели для расчета балок, состоящие из двух интегрирующих цепей омических сопротивлений [4].

Эти модели позволяют непосредственно моделировать изгиб балок из линейно упругого материала. В этом случае зависимость между внутренним моментом сечения и кривизной линейна. Если материал балки 'нелинейно упругий, то эта зависимость является нелинейной. Типичная зависимость между моментом М и кривизной % для балки из стали с учетом упрочнения показана на рис. 5, а. Электрическая модель балки из нелинейно упругого материала (рис. 5, б) состоит из двух цепей омических сопротивлений: цепь М моделирует уравнение (12). Цепь w моделирует уравнение (13). Правая часть уравнений моделируется токами /, подаваемыми в узлы цепей; длины — сопротивлениями. Напря-

а)


d&r~

"X

6)


Рис. 5. Расчет балок из нелинейно упругого материала: а — зависимость момента от кривизны и соответствующая ей вольт-амперная характеристика преобразователя; б — электрическая схема расчета; в — схема функционального преобразователя

жения в узлах цепей с учетом переходных масштабов представляют изгибающие моменты и прогибы.

Так как решение уравнения (12) является правой частью уравнения (13), то необходимо в узлы цепи «ш» подать ток, пропорциональный напряжению в узлах цепи «М». Зависимость между напряжением в узлах цепи «М» и током, подаваемым в узлы цепи «w», для балки из нелинейно упругого материала должна быть нелинейной. С целью создания нелинейности в модели используются функциональные преобразователи Фп. Вольт-амперная характеристика функционального преобразователя (рис. 5, а) должна аппроксимировать кривую М — % с учетом переходных масштабов.

Функциональные преобразователи включаются между одноименными узлами верхней и нижней цепей. Схема функционального преобразователя (рис. 5, в) для моделирования изгиба балки из стали выполнена на полупроводниковых диодах Д-104 [7].

Рассмотренная модель позволяет осуществить моделирование системы перекрестных взаимно перпендикулярных балок из нелинейно упругого материала без учета кручения.

Электрическая модель системы перекрестных балок состоит из цепей, моделирующих продольные и поперечные балки. Нагрузка, воспринимаемая перекрестными балками, передается на продольные и поперечные балки таким образом, чтобы прогибы балок в местах их пересечения были равны. Это достигается регулировкой независимых источников тока в цепи стоков. Уравновешивание модели по прогибам может осуществляться автоматически или вручную.

Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности орто-тропной плиты

d*w

~дх^

d4w

дх2ду2

Я

£>i

+ 2D

может быть представлено в виде системы пяти уравнений, которые более удобны при решении задачи методом электромодели-рования:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)


I 2G    Ег )


дтх

дх2


1 д2Мх Ei %2 дЩ ду2


+


Яху


2 G


1 д'2М


д'2Му    IJ___vj_'

дх2    2G Е1


У _


2G


ТЛ d2wx , г, °1 -Г? +

дх2

ГЛ    d2Wy | pv

Davi“TT+Da

дх2


d2wx ду2 d2w


= -Мх;


‘Л-= —М„,

,2    У1


ду-


где Еь Е2, vi, \2 — модули упругости и коэффициенты Пуассона вдоль главных направлений упругости х и у, G — модуль сдвига;

Мх и Му — изгибающие моменты;

Dj, D2 — жесткости изгиба; qx, qv, q — интенсивность распределенной нагрузки.

Электрическая модель системы уравнений изгиба ортотропной плиты может быть представлена в виде четырех взаимосвязанных сеток омических сопротивлений: двух сеток высокого потенциала Мх и Муи двух низкого потенциала «до*» и «доу» ('рис. 6), моделирующих уравнения (15), (16), (17) и (18) соответственно.

Узлы сеток «Мх», «до*», «Му» и «доу» соединены между собой через сопротивления R. Величина сопротивлений должна быть достаточно высокой для уменьшения взаимного влияния сеток. Переходные масштабы нагрузок, моментов, прогибов и длин для сеток одинаковы. Величины внутрисеточных сопротивлений опре-262

деляются по известным формулам [6]. Так как правые части уравнений (16) и (15) неизвестны, а известна лишь их сумма, то решение задачи на модели требует ее предварительного уравновешивания по прогибам. Регулируя величину источника тока в цепи стоков, добиваются равенства прогибов в одноименных узлах сеток <<wx» и «wy». Наличие двух сеток моментов позволяет сразу

К делителю стоков

Рис. 6. Электрическая схема расчета изгиба ортотроп-ной плиты


получить значение моментов Мх и Му. Граничные условия на контуре выполняются для всех сеток аналогично изотропным плитам.

Система уравнений общей моментной теории пологих оболочек, представленных в форме смешанного метода, имеет следующий вид [2J:


JLy*V*<P — V^’ = 0; V* ф + Dy\2w — Z = О,


(19)


где E — модуль упругости материала оболочки; h — толщина оболочки; v — коэффициент Пуассона;


Eh3

12(1 — v2)


D =


— цилиндрическая жесткость;


<р — функция напряжений; w — функция перемещений;

Z — функция внешней нагрузки.


Символами у2 и в системе (19) обозначены дифференциальные операторы второго порядка:


здесь    а и р — криволинейные ортогональные

координаты средней поверхности оболочки;

k\ = k\{a, р) и k2 = k2{a, Р)—главные кривизны оболочки;

А = Л (а, р), В = В (а, Р)—коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, отнесенной к линиям кривизны аир;

ds2 = A2da2 +- B2d$2.    (21)

Функция напряжений <р = ср(а, р) определяет все внутренние тангенциальные силы Nu N2 и S, а функция перемещений w = w{а, р)—все моменты и поперечные силы оболочки.

По своему физическому смыслу первое уравнение системы (19) выражает условие неразрывности деформации, а второе — условие равновесия в направлении нормали к поверхности.

Решение системы уравнений (19) аналитическими методами весьма затруднительно, особенно в случае не прямоугольного, а произвольного плана оболочки. Поставленная задача может быть успешно решена методом электроаналогии. Электрическая модель основной системы уравнений (19) общей моментной теории пологих оболочек, собранная в МИСИ им. В. В. Куйбышева и оборудованная многоканальной следящей системой, позволяет получить решение этой весьма трудоемкой задачи достаточно быстро, без каких-либо промежуточных операций и ручного подбора.

Заменим каждое из уравнений системы исходных дифференциальных уравнений (19) в частных производных четвертого порядка системой двух дифференциальных уравнений второго порядка.

Первое уравнение системы (19) представим в виде





собачье сердце смотреть онлайн