Алгоритмы и методы решения некоторых задач теории поля
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

Глава I. Алгоритмы и методы решения некоторых задач теории поля

А. Г. Угодников

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Эффективными методами решения плоских краевых задач являются методы, основанные на использовании функции комплексного переменного с применением конформных отображений.

Построение конформного отображения идентично решению задачи Дирихле (или Неймана) и поэтому для решения этих задач во многих случаях нет необходимости в построении конформно отображающих функций, если искомые величины достаточно просто выражаются через градиент потенциала.

С другой стороны, при решении бвгармонических задач непосредственное моделирование связано с весьма большими трудностями, а для решения этих задач аналитическими методами необходимо построить функцию, отображающую одну из канонических областей 2 (круг, круговое кольцо и т. п.) плоскости £ = = | + й] на область 5 плоскости z = х + iy, для которой решается краевая задача.

Задачу приближенного построения конформно отображающих функций следует разделить на две части:

а)    определение соответствия точек границы у области 2 и границы L области S;

б)    построение приближенного выражения отображающей функции при известном соответствии граничных точек.

Определение соответствия точек отображаемых областей, в том числе и граничных, идентично решению гармонической задачи. На возможность моделирования регулярных функций комплексного переменного указывал еще Д. К- Максвелл [1], а в работах Фёрстера [17] были даны методы экспериментального решения гармонических задач.

Моделированию конформных отображений с помощью электролитической ванны была посвящена работа Брэдфильда и др. [16].

и

Дальнейшее развитие работ по моделированию конформных отображений идет параллельно с разработкой методов построения отображающих функций.

Первые результаты построения отображающих функций для наперед заданных односвязных (двухсвязных) областей были получены в работах (7, 8], где для установления соответствия граничных точек круга ('кругового кольца) и заданной односвязной (двухсвязной) области рекомендовалось использование стандартных приборов ЭГДА и, исходя из экспериментально установленного соответствия точек, построение отображающей функции в виде полинома.

В последующих работах [9] этот метод был распространен на единосвязные бесконечные и полубесконечные области и полу-бесконечные двухсвязные области, а также был использован для решения широкого круга инженерных задач методами теории упругости.

Необходимо отметить здесь работы Г. Н. Положего [2, 3], в которых был предложен новый метод установления соответствия граничных точек—метод сравнения сопротивлений и предлагалось строить приближенное выражение отображающей функции в виде ряда по натуральным логарифмам.

В этот же период были опубликованы результаты работ Ма-лаварда [18], О. В. Тозони [6], В. Е. Шеманского [16]. Г. Ю. Степанова [12], в которых разрабатывались методы и приемы моделирования конформных отображений.

За последнее время в связи с появлением электронных цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ) расширились возможности применения приближенных методов, в том числе методов построения конформно отображающих функций и решения краевых задач.

Предложенный П. В. Мелентьевым метод вычисления коэффициентов полинома

т

(1)

осуществляющего приближенное отображение круга |£|^ 1 на область 5, обладает недостатком: даже в узлах интерполяции значение полинома юп(£) не совпадает с заданными значениями функции <й(£), так как полином (1) строится не как интерполяционной полином функции о>(£), а получается в результате тригонометрической интерполяции действительной или (мнимой) части функции ^_1ш(^).

Первая попытка построения интерполяционного полинома

вида (1), совпадающего в узлах интерполяции ^ = е10/' , где

Oj = — /(/ = 1,    т), с заданными значениями отображающей функции <о(£), была сделана в работе П. Ф. Фильчакова [13]. Автор строит систему линейных алгебраических уравнений и для решения ее использует специальный прием. Необходимые значения отображающей функции в узлах интерполяции определяются при помощи электромоделирования [7].

Для построения последовательных приближений интерполяционного полинома производится искусственное зануливание ко-эффиентов при больших степенях £ или вычисление их по принципу пропорционального убывания. В результате этого точки

2&> = ЧХЖ0/)

оказываются не на границе L. За исходные значения для построения следующего приближения принимаются те точки -г/х+1) границы L, которые получаются путем сно-са точек zfy на L по нормали к L.

В 1962 г. на Первой конференции по аналоговым средствам и методам решения краевых задач нами был изложен иной метод построения интерполяционного полинома (1), основанный на использовании интерполяционных полиномов Лагранжа. Основные положения этого метода изложены в работах [10, И], а вывод формул для вычисления коэффициентов Си интерполяционного полинома (1) дан в работе [12}:

1 т

c-k= — y2/e-‘fte/(^=l,...,m))    (2)

т “

J=i

где Zj — значения отображающей функции в основных узлах интерполяции = eieJ , где 0j = ^ j(j = 1, га), определяемые

Я нулевом приближении при помощи электромоделирования. Для нахождения последовательных приближений был построен цикл

/ iO1.    /

с введением промежуточных узлов £/ = е >    , где в/ —

= — (1 + 2/) (5 = 0, ..., га— 1), который давал возможность при

данном числе узлов га свести до минимума отклонения границы Z/, имеющей уравнение z = (оп(е£е ), от заданной границы L.

С небольшими изменениями этот метод был распространен на конечные двухсвязные, бесконечные и полубесконечные односвязные, а также на полубесконечные двухсвязные области [10]. Дальнейшие исследования показали, что разработанный метод позволяет, используя ЭЦВМ, строить отображающие функции для наперед заданных областей с автоматическим выбором необходимого числа узлов интерполяции (членов полинома) по заданному допускаемому отклонению границы U от границы L1.

Применение этого метода построения отображающих функций для решения краевых задач теории упругости (кручение и изгиб стержней по Сен-Венану и плоская задача) показало лучшую сходимость результатов и меньшие 'погрешности в напряжениях на контуре, возникающих за счет отклонения границы U от заданной границы L.

В последних работах, проводимых в том же направлении, была несколько изменена методика решения системы линейных уравнений: используя известные формулы для тригонометрических сумм, были получены формулы для коэффициентов Си интерполяционного полинома (1), совпадающие с формулами (2), полученными ранее [14].

Развитие методов построения отображающих функций имеет определенную тенденцию перехода от электромоделирования конформного отображения в сочетании с элементарными приемами счета к проведению всех вычислений на ЭЦВМ без предварительного моделирования. Это позволяет объединить все вычисления по решению той или иной краевой задачи в единую программу, в которой имеется подпрограмма построения отображающей функции.

Необходимо остановиться также на новом направлении работ2 развивавшихся в период между 1-й и 2-й конференциями и имеющих прямое отношение к моделированию конформных отображений. Речь идет о моделировании конформных отображений и решении краевых (гармонических и бигармонических) задач на электронных моделях 2 [5].

Принципиально новым в этих работах является создание специальных блоков типа гармонического фазовращателя, которые в совокупности со следящей системой функционального преобразователя (фотоформера) с круговой разверткой и стандартными электронными блоками позволяют:

а)    представить краевые условия для комплексных потенциалов при произвольной звездной области как функцию одной переменной — центрального угла 6 единичного круга |£| ^ 1 или, что то же, натурального масштаба времени;

б)    определить из этих условий действительную и мнимую части искомых аналитических функций;

в)    получить на регистрирующем приборе (осциллографе или двухкоординатном столе) эпюры напряжений.

В заключение отметим, что в статье освещены лишь основные направления работ в области моделирования конформных отображений, проведенных за период между 1962 и 1965 г.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Максвелл Д. К. Трактат об электричестве. Т. 2. М.—Л. Изд. АН СССР, I960, стр. 381.

2.    П о л о ж и й Г. Н. Конформное отображение одноавязных и двухсвязных областей и определение постоянных Кристофеля—Шварца при помощи математического прибора. «Доклады АН СССР», т. 104, Изд. АН СССР, № 1, 1955, стр. 15—18.

3.    П о л о ж и й Г. Н. Эффективное решение задачи о приближенном конформном отображении односвязных и двухсвязных областей и определение постоянных Кристофеля—Шварца при помощи электрогидродинамических аналогий. Украинский математический журнал, т. 7, № 4, 1955, стр 423—432.

4.    Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашины. М., Физмат-гиз, 1962, стр. 146.

5.    Супрун А. Н., Ильин Н. А. Прибор для воспроизведения границ при конформном отображении круга (кругового кольца) на односвязную (двухсвязную) область, когда отображающая функция имеет вид полинома. Труды Горьковского инженерно-строительного института, Вьгп. 44, 1964, стр. 46—56.

6.    Т о з о н и О. В. Обоснование экспериментально-аналитического метода решения задачи Дирихле для односвязной и двухсвязной областей. Труды Новочеркасского политехнического института, т. 43, 1956, стр. 45—64.

7.    Угодчико® А. Г. Электромоделирование задачи конформного преобразования круга на наперед заданную односвязную область. Украинский математический журнал, т. 7, № 2, 1955, стр. 221—230.

8.    У год чико в А. Г. Электромоделирование конформного преобразования кругового кольца на заданную двухсвязную область. Украинский математический журнал, т. 7, № 3, 1955, стр. 305—312.

9.    Угодчиков А. Г. Основные принципы решения задач теории упругости при помощи электромоделирования конформных отображений. Труды второй межвузовской научно-технической конференции по электрическому моделированию задач строительной механики, теории упругости и сопротивления материалов (Ростов-на-Дону, 1962), Новочеркасский политехнический институт, 1962, стр. 18—24.

10.    Угодчиков А. Г. Применение электромоделирования и интерполяционных полиномов Лагранжа для построения конформно отображающих функций. Материалы научных семинаров по теоретическим и прикладным вопросам кибернетики. Киев, «Наукова думка». 1963, стр. 28—35.

11.    Угодчиков А. Г. Построение конформно отображающих функций при помощи электромоделирования и интерполяционных полиномов Лагранжа. В сб. «Аналоговые средства и методы решения краевых задач». Киев, «Наукова думка», 1965, стр. 183—>191.

12.    Угодчиков А. Г. О построении конформно отображающих функций при помощи электромоделирования и интерполяционных полиномов Лагранжа. ДАН УССР, 1963, № 11, стр. 29—35.

13.    Фильчаков П. Ф. О конформном отображении заданных односвязных однолистных областей при помощи электромоделирования. Доклады четвертой межвузовской конференции по применению физического и математического моделирования в различных отраслях техники. Сб. 1. Изд. МЭИ, М., 1962, >стр. 67—74.

14.    Фильчаков П. Ф. Приближенные методы конформных отображений. Киев, «Наукова думка», 1964, стр. 181.

15.    Ш е м а н с к и й В. Е. О конформном отображении при помощи электромоделирования. Украинский математический журнал. Т. 8,    1956,    № 1,

стр. 125—129.

16.    Brandfield К. N., Hooker S. G., Sonthwell R. W. Conformal Transformation With the aid of an Electrical Tank. Proceedings of the royal society Series A Mathematical and Physical No 898, t. 159, 1937, London, p. 315—346.

17.    Forster R. Experimentelle Losung von Bandwestaufgaben der Glei-chung A2F=0. Archiv fur Electrotechnik, Bd. 2, H. 5, 1913, s. 175—181.

18.    Malavard L. Sur une nouvelle technique dans le calcul experimental par andlogier rheo electriques. La Recherche Aeronautique, 1951, № 90, p. 61— 69.

И. M. Витенберг, P. Л. Танкелевин