РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИЗГИБА ПЛИТ И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ ЭЛЕКТРОАНАЛОГИИ 2
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

((22)

у2Ф = EhQ;

v2e = vlw>

здесь 0 =    , где ei и ег — линейные деформации средней

поверхности оболочки в направлении координатных линий.

Второе уравнение системы (19) заменим эквивалентной ему системой двух дифференциальных уравнений второго порядка:

V

(23)


V2M = Z —у|ф,

где М =    , а М] и М2 —■ изгибающие моменты.

1 + v

Решение системы уравнений (19), каждое из которых расчленено на два совместных дифференциальных уравнения второго

Рис. 7. Электрическая схема для расчета пологих оболочек:

/ — канал следящей системы низкого потенциала; II — канал следящей системы высокого потенциала


порядка (22) и (23), реализуется на электрической модели, состоящей из шести сеток переменных омических сопротивлений (рис. 7).

На сетке «т», которая набирается из переменных низкоомных сопротивлений rWij, решается первое уравнение системы (23), представляющее собой уравнение Пуассона. На сетке, каждый узел которой соединен с соответствующими узлами сетки «до» переменными высокоомными сопротивлениями Rwm/ , реализуется второе уравнение Пуассона системы (23). Сетка «М» так же, как и сетка «до», состоит из переменных ниэкоомных сопротивлений ГмЦ-

На сетках «<р» и «0» аналогичным образом реализуются уравнения Пуассона системы (22). Сетка «<р», состоящая из переменных низкоомных сопротивлений гФ,у, и сетка «0», набираемая из переменных низкоомных сопротивлений г©//, соединяются между собой в сходственных узлах переменными высокоомными сопротивлениями Rtfi.

Для реализации правой части второго уравнения системы (22) в каждый узел сетки «0» вводится внешний ток /в, который воспроизводит в некотором масштабе g оператор у£до, реализуемый на сетке «до&». В каждый узел сетки «М» вводятся два внешних тока. Один из них Iz, подаваемый с делителя панели истоков, соответствует в некотором масштабе р функции внешней нагрузки Z(a, р), а другой 1А в том же масштабе — оператору vf ф. который реализуется на сетке <р&.

Сетки «фь» и «дол», предназначенные для реализации обобщенных гармонических операторов над функциями ф и до, состоят из переменных низкоомных сопротивлений, которые набираются таким образом, что система уравнений закона Кирхгофа для узлов каждой из сеток формально совпадает с конечно-разностной аппроксимацией каждого из рассматриваемых обобщенных гармонических операторов.

Ток Iа и пропорциональный ему ток 1'А, вводимый в каждый узел сетки «фй», воспроизводит в разных масштабах р и р' один и тот же оператор у|ф. Эти токи должны быть подобраны так, чтобы значения потенциалов в сходственных точках сеток «ф» и «фь» точно совпадали. Аналогичным образом токи /в и 1'в, которые вводятся в каждый узел сетки «Дой», должны быть подобраны из условия равенства потенциалов в соответствующих точках сеток «до» и «Дой». Проведение одновременного подбора значений операторов у |ф и у|до в каждой внутренней узловой точке моделируемой области затруднительно, если операцию подбора производить вручную. Это объясняется тем, что изменение одной величины в одной внутренней точке области влечет за собой изменение всех четырех величин во всех без исключения точках области как внутренних, так и контурных.

В рассматриваемой модели автоматизация процесса подбора осуществляется в каждой внутренней узловой точке двумя следящими системами, одна из которых подбирает ток 1А(1А ), а другая— ток 1в{1'в).Сигналы рассогласования, возникающие вслед-

ствие неравенства потенциалов, замеряемых в сходственных точках сеток «w» и «Wk»j поступают на входы усилителей следящих систем. На выходе усилителя каждой следящей системы включается реверсивный двигатель, перемещающий через редуктор движок реохорда, питаемого от независимого источника. При соответствующей полярности включения усилителя разность потенциалов, замеряемых в узлах сеток «ш» и «Wk», вызывает смещение движка реохорда, потенциал с которого подается в сходственные узлы сеток «0» и «wk». При этом величины токов /в и /д, вводимых в узлы сеток «0» и «о;*», будут изменяться до тех пор, пока не совпадут значения потенциалов в сходственных узлах сеток «w» и <ш&».

Процесс подбора токов 1А и ГА из условия совпадения потенциалов в сходственных узлах сеток «ср» и «щ» производится другой группой следящих систем, принцип действия которой аналогичен предыдущему.

Составим конечно-разностное выражение для моделируемых уравнений и систему уравнений Кирхгофа для узлов сеток, что позволит установить зависимости между параметрами механической и электрической систем.

Записывая для точки 1 систему уравнения (23) в конечных разностях (шаг сетки — переменный в обоих направлениях), получим




(24)




*("■4Г' ^


1±±{М3 — М1)


41


/•2


1+1    А Г1’ ^1+ 2

Z/r    _ /    л    *2 \


«(«■—p P,

'*(“■—P »■)

^3 + 4


X


В


/ /2 \

(«.. f.+f)


2/о


■(M8 —Mj)


+

2/,

B(“1,pi- 2 )

X (/a + /4) Л (a^Pi) Б (at, pi) [Z (alt px) — v|<P К. Pi)].

здесь i2, /3, /4, /5 — размеры шагов конечно-разностной сетки.

Обозначим потенциалы сеток «w» и «М» через v и V соответственно и запишем уравнения закона Кирхгофа для 1-го узла каждой из сеток:

Vi-vi


v5 — v1


Vj — Vx _j_ V2 — V!


Л,


rw4—l


rw 2-1


rw3-l


'су5-1


(25)


v.-Vi ! у»-У1


Vi-f,

R,


V*-Vi ! Vt-Vi

rM4-l    rM2-l


+^Zt—1ах •


^5-1


ОиЗ-I


WM1


В соответствии с правилами замещения положим

ra>3-1 Pj


a>4 —1


^ (ai + "|"’

2L

Г.5-1 = P

fw2—1 = P«

w

в

(-+-K

^ ^2 + u

p(

Pi)

2/5 .

Рад ^

«!-Y’ Pi)

/2 + ^4

B(

ai> Pi + )

1 2/2

Ai

ai.Pi-H-^-)

| h + h

B(

«lP!-Y)

1 2/4

A


(«i. Pi- 24 )


(26)


r М3—1


Рм


М2—1


гма-\ ~ Pm


гмь-\ ~ Pm

Pm

в\

(<*1 А

к_ 2 ’

,)

к + к

А I

(«1-

и 2 ’

p.)

2k

В 1

(«1-

к

~ 2 ’

*■)

к + U

В

(«1.

Pi+

i)

2 U

/

pi +

к \

к + к

А

1 «1>

t)

В

(«1.

Pi-

*)

2/4

A Pi — = P wM

L


к + h


(28)


A(alt px) В (ax, p,) ’ здесь р» и рм — базисные сопротивления сеток;

рwM — базисные межсеточные сопротивления. Систему уравнений (25) закона Кирхгофа можно записать теперь в следующей форме:

s (“* +-Г-

--(Уз — у*) +


+


(a, + * . Р


+


(«1- 2 .Pl >*(«i.Pi+y) l,

5 К Р‘ + т)

В («1> Pl- -у)

= — A К.рх) В (olt Pl)


з 4- к

2U


(vi — v1) +


k+h.^    v)..

2L v 4    11


(29)


в («1 + \ ■ pt) А (ai + _2'’ Pl)


^2 Ч~ ^4

2/.


2 к


X (^5-V\) +


Л|Л1’р1+ 2 / /, + /,

21.


(V2-^) +


X


В(«1.Рl +    "2    S («х

/з + к (^4-У1) = Л(а1, pjBfo,    +


- X

гЬ


2/4    ' "    '    ' *'‘"L РшМ ' Л^р^В^, рх).

Легко видеть, что левые части соответствующих уравнений систем (24) и (29) формально совпадают. Поэтому если принять, что

plz


w = mv; Z = М = nV; v|«p =


A (a, P) В (a, P) P[A


(30)


где m, n, p-


AmD

(k + h) {h + U) PVzt — ^Ai) 4«H(alt Pi) В (o^!, px)


A(a, P)B(a, P)’ масштабные коэффициенты, то, подставив выражения (30) в систему (24), можно приравнять правые части полученных уравнений и соответствующих уравнений системы (29):

(к + к) (к "г I4) nVх Ух — ui п .

Рда»


Vx-Vx


Р wM


+ •


Izx-lAx


Pm- (3D


A (alt Pi) В (a1( pi).

Так как сопротивления pw, рм и pwM и потенциалы v и V выбираются из условий ршдг Рш, рwm    рм, V V, то члена


ми


Рв>»1


в правой части первого равенства (31) и


рм(Ух — Pi)


pwM    pwM

в правой части второго равенства (31) можно пренебречь без существенной погрешности. При этом предположении система (24) будет эквивалентна системе (25), если

4mpwD


п =


4лр


м


(k + k)(k + k)PwM

16/лршр MD


(k + h?(k + h?9wM


(к + к) (к + к)

Положим далее, что

Ф = su; 0 = tU;

Sj\w = А (а, Р) В (а, Р) y2kw = gIB, где и и U — потенциалы на сетках «ф» и s, t и g — масштабные коэффициенты.


(32)

(33)

(34)


Тогда, принимая во внимание, что рФе > р»; p*e>pe, (где Р<р и ре — базисные сопротивления сеток <«р» и «в», а рФе—базисное сопротивление между этими сетками), a U и, аналогичным путем получим следующие соотношения:

1


4sp„


Eh


(k+U)(i3 + U)P^ ’


4/ре


16sp<pP0


Eh


(к + h) (I3 + h)


(k + U)2 (k + У2Рфв


(35)

(36)


Покажем теперь, каким образом выполняется эквивалентность конечно-разностного представления оператора у*ф и системы уравнений Кирхгофа для узлов электрической сетки «сри», что поможет выявить соотношение между токами 1А и 1'А, воспроизводящими в различных масштабах р и р' одну и ту же функцию у* ф = АВ

Конечночразностное выражение этого _оператора, записанное для точки 1 с учетом того, что ф = su, а \/*Ф = Р'^л, имеет вид

F (а* + \ ’ k)    (vs ~vi) + F(ai--J’ Pi) ^ («5—«1)+


+ G («1. Pi + -у) *^7^ (v2 — vi) + G (ai- Pi — y)

X («4 — «i) =    — (k + (4) (k + k) Fap


2/5

h \ к ~f~ h


2L


X


здесь


4 s

F = —kz, G = —k1. A 2    В 1


(37)


Сопротивления (rVk)a сетки «ср&» набираются, исходя из следующих соотношений:

(гч) 3-1 = Рч>*


(Гф*)5—1


{Г 9^2-1 ~

1

2/3

F i

[“i+f'Pl)

1 к A- к

1

2/*

^1

b-b »■)

/3 -p /4

1

2/2

G

(«1. Pi + -^-)

h + к

1

2/4

б(«1- Pi- 2 )


к + к


(38)


где рф&— базисное сопротивление сетки.

Подставим выражения (38) в уравнение закона Кирхгофа для узла I сетки

(39)

U§ — lli _j_    ^5    ^1    |    ^2    ^1    |    ^4 — ^1

(Гф*)з-1    (ЧбЬ-! (Г<р&)4 —I

получим уравнение, левая часть которого полностью совпадает с левой частью уравнения (37). Это позволяет приравнять и правые части этих уравнений:

(40)

(41)

—--- (4 + 4) (4 + 4) —    Рф/;-

4 s    я

Отсюда следует, что

Р[ = —

4sp

(k + h)(l3 + h)

Так как = Р^'л » то, учитывая соотношения (33) и (41), можно заключить, что отношение между токами 1А и 1а есть величина

s^<PfPaiM (4 + к) (4 + U)

4mpwpMD

(42)

Точно так же токи /в и Гв, воспроизводящие в масштабах g

2

и g' соответственно функцию в узлах сеток «в» и <ш&», находятся в отношении

(43)

mPw/PcpQ (^3 + W (k + W 4/Tzpa)p^D

где — базисное сопротивление сетки «Wk».

Чтобы исключить -влияние потенциалов в узлах сетки «М» на величину токов ГА, в каждом канале следящей системы высокого потенциала используется реохорд с источником питания, электродвижущая сила которого примерно на два порядка выше потенциалов в узлах сетки «М». Требуемое соотношение между токами 1А и ГА обеспечивается нагрузочными сопротивлениями RM и R<$ = cRM.

В отличие от токов 1А и ГА направление токов 1В и Гв , моделирующих функцию w, всегда совпадает, чем объясняется несколько иная схема соединения реохордов следящих систем этой группы с соответствующими узлами сеток «0» и «ш^». Каждый внутренний узел сетки «0» непосредственно соединяется с реохордом соответствующей следящей системы. Для выполнения постоянного соотношения С\между токами 1В и I в движки реохордов

Для получения однозначного решения системы уравнений общей моментной теории пологих оболочек на электрической модели необходимо удовлетворить граничным условиям на контуре оболочки, которые определяются известными усилиями и условиями закрепления.

следящих систем через сопротивления Rw соединены с узлами

(R \    J

Ro = —J — с землей.


Ниже рассматриваются некоторые варианты граничных условий для оболочек, у которых максимальный подъем представляет собой малую величину по сравнению с размерами перекрываемого оболочкой плана. При этом вводится допущение [2], что внутренняя геометрия средней поверхности оболочки ничем не отличается от обычной, евклидовой, геометрии плоскости, т. е. А = В = 1.

В случае заданных на контуре оболочки нормальных и касательных усилий можно, используя представления рамной аналогии, определить граничные значения функции напряжений ф и ее

нормальной производной (здесь п — направление нормали

дп

к -контуру оболочки). Значения , подсчитанные для контурных точек области, из условий задачи, задаются в соответствующие контурные узловые точки сетки «<р» в виде токов непосредственно с делителя граничных условий. Подбор контурных значений функции 0 из условия совпадения значений функции <р в контурных точках сетки «ф» с заданными производится автоматически граничными следящими системами. На входы усилителей граничных следящих систем подаются сигналы рассогласования между потенциалами, снимаемыми с делителя граничных условий, и потенциалами соответствующих контурных точек сетки «ф», а выходы следящих систем соединяются с соответствующими контурными точками сетки «0».

При нулевых значениях функции ф и ее нормальной лроизвод-« дф

ной — соответствующие участки контура сетки «ф» закорачи-дп

ваютея и соединяются с нулем делителя, а следящие системы подбирают контурные значения функции 0 из условия равенства

„    о дер

нулю нормальной производной —- в соответствующих контур-

дп

ных точках сетки «ф».

Точно так же на сетках «т» и «М» реализуются заданные на контуре значения функции прогиба w и ее нормальной производной (в случае жестко защемленного края они равны нулю).

Если на контуре или на части контура оболочки задано перемещение, то ни функция напряжений, ни ее нормальная произ-

Эти зависимости получаются посредством исключения функции ф из выражений (44) с учетом уравнений равновесия и зависимостей, выражающих связь между деформациями и перемещениями.

Если положить в формуле (45) главные кривизны оболочки ku k2 равными нулю, т. е. если перейти от пологой оболочки к плоскому напряженному состоянию пластинки, то W станет гармонической функцией, а выражение (44) даст решение Ля-ва [5] плоской задачи теории упругости.

В случае жестко защемленного края (считаем, что защемленный край параллелен оси а) и = v = w =    = 0 и выраже-

dp

кия (45) примут вид

da2 d2Y

^ EhQ; '

(46)

dp2

= — EhQ.

Тогда граничные условия для перемещений и и v можно представить следующим образом:

водная не известны. Для реализации граничных условий такого типа используется методика, осно!ванная на электрическом построении функции, определяющей перемещения совместно с функцией напряжений.

В случае пологой оболочки перемещения и и v серединной поверхности можно выразить через функцию напряжений ф и некоторую функцию W по формулам

2цц = _4ф+. 1 **


1 + v 1


да

дЧ


да

дф


(44)


2\xv =


dp 1 + v

— модуль сдвига.


Eh


где \х =


2(1 +N)

Функция Т связана с функцией 0 = -прогибав w следующими зависимостями:

= Eh (0 —М);


£1 + £2 1 —V


и функцией


да2


(45)


= —Eh (0 — koW).


dp2


■0;

1 +V

1 dW 1 + v dp

d29 Fh

да2

дер _

"dp"“

d2w

~да?

Первое из условий (47) аналогично тому, как это сделано в работе [6], реализуется в дополнительной цепи из последовательно соединенных омических сопротивлений, устанавливаемых между рассматриваемыми контурными точками сетки «ср». Номинальная величина этих сопротивлений на два порядка ниже величины сопротивлений рф, из-за чего токи, идущие через рф,незначительно влияют на распределение потенциалов в дополнительной цепи.

Второе условие системы (47) выполняется (также аналогично работе [6]) посредством построения функции Ч? в двух дополнительных цепях, одна из которых совпадает с рассматриваемым краем, а другая — отстоит от него на один шаг сетки. Подбор значений функции 0 из условия выполнения второго условия системы (47) производится автоматически граничными следящими системами.

Если учесть, что при А = В = 1

d2w

dp2"’

то граничные условия


d2w

ар2"


d2w

На2


= 0:


+ V


(48)


d3w

ар*


д3и

даЩ


v)


+ (2-


= 0,

соответствующие свободному краю изгибаемой плиты, можно преобразовать к виду


d2w . ао2"’


V 2W = (1 — v)


(49)


dsj2w

~ajT


d3w

aa2ap


_ (1 — v>


Условия (49) по форме записи ничем не отличаются от условий (47), а их реализация производится также с использованием дополнительных цепей и следящих систем, которые автоматизируют подбор контурных значений функции М из условия выполнения второго условия системы (49).

Рассматриваемые случаи граничных условий и их комбинации описывают наиболее распространенные типы граничных условий: шарнирно-подвижное закрепление, шарнирно-неподвижное закрепление, свободный край, жесткое или упругое защемление.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Ванюшенков М. Г. Расчет тонких упругих пластинок методом начальных функций. Изд. МИСИ им. Куйбышева, М., 1965, стр. 46.

2.    Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение к технике. М.—Л., Гостехиздат, 1949, стр. 783.

3.    Кузнецова А. К. Исследование напряженного состояния элементов сооружений на электроинтеграторе ЭМБУ-6. Труды первой Межвузовской конференции по электрическому моделированию. Изд-во Новочеркасского политехнического института, 1960, стр. 70—80.

4.    К е р о п я н К. К., Чеголин П. М. Электрическое моделирование в строительной механике. Госиздат литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1963, стр. 390.

5.    Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. М.—Л., Гостехиздат, 1947, стр. 464.

6.    Медовиков А. И. Решение плоской смешанной задачи теории упругости методом электромоделирования функции напряжений. Труды первой межвузовской конференции по электрическому моделированию. Изд-во Ново-черкасского политехнического института, 1960, стр. 63—70.

7.    Петров Г. М. Применение полупроводниковых диодов в схемах нелинейных блоков электромоделирующих установок. Автоматика и телемеханика. М., Изд. АН СССР, т. XVII, 1956, № 8, стр. 707—717.

8.    Тимошенко С. П., Войновски й-К ригер С. Пластинки и оболочки. Перевод с английского В. И. Контова под редакцией Г. С. Шапиро. Физматгиз, М., 1963, стр. 631.