РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МАССИВНО-КОНТРФОРСНОЙ ПЛОТИНЫ МЕТОДОМ ЭЛЕКТРОАНАЛОГИИ ЭЛЕКТРОАНАЛОГИИ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МАССИВНО-КОНТРФОРСНОЙ ПЛОТИНЫ МЕТОДОМ ЭЛЕКТРОАНАЛОГИИ

Секция контрфорсной плотины с массивными оголовками представляет собой треугольную пластинку переменной толщины с утолщениями у верховой и низовой грани, упруго защемленную в основе.

Если толщина контрфорса h мала по сравнению с его размерами в плоскости хОу (рис. 1), то задача приближенно сводится к двумерной введением интеграла напряжений по толщине

+ А    1

^ 2

J oxdz = Nx = ocPh;


j aydz = Ny = ocyph;

x%h'

xxydz=Txy--

где oCyp, аср и Tcpg — средние по толщине напряжения. 276

Рассматривая равновесия элементарного параллелепипеда с размерами dxy dyt Л, получим уравнения равновесия


dNx

дх

дКу

ду


дТ Ху

ду

дТХу

дх


+ Ях =

+ Яу = о.


(2)


где qx, qy — проекции объемных сил на координатной оси.


Рис. 1. Секция контрфорсной плотины и распределение напряжений в ней

характеризующую податливость пластинки, через S и будем считать, что она изменяется но области по произвольному закону

s = SJ(x,y),    (5)

где S0 — податливость, принятая за базисную; f — безразмерная функция.

В этом случае закон Гука может быть записав в виде e* = S„/(W*-vAg; '

(6)

% = SJ (N у — vNx);

Уху — SJ2 (1 + v) Тху. .

2/7


Внося выражения (6) в уравнение (3) и имея в виду соотношения (2), получим

* W. + ЛУ - С + -) [ft -V, + 2- Д- т„ + Л N, -

(7)


Уравнения равновесия (2) тождественно удовлетворяются введением функции Ф, связанной с усилиями следующими соотношениями:

й2ф =NX + NX; ^L=Ny + Ny;

Л2гЬ    _ Л2ЛЧ    _

ду‘

дх2

Т 4- Т *

1 ху \ 1 ху>

(8)

д2Ф дхду

здесь Nx, Ny, Тху = 0 — частные решения уравнений (2). Из соотношений (8) вытекает, что    _    ___

у2ф = Q -{- Nx-\- N у, где

e = Nx + Ny.

Введя новую функцию

G = fQ + Nx + N„    (9)

и подставляя ее в уравнение (7), получим разрешающую систему уравнений:

v-o - Vf (ЛГ, + N,) - (1 + .) [£ (    И.) +

+£(-£-"0-е+


d2f


д2Ф


+ 2


дхду дхду дЯу


(10)


+


ду


У2Ф = у-

Область с произвольным законом изменения 5 всегда может быть разбита на несколько участков так, чтобы в пределах каждого из них / приближенно можно было бы принять линейной функцией.

Тогда для каждого такого участка система (10) примет вид

V*G = V2f (Nx + NB) - (1 + v) |> (■) +

и


У2Ф = у-


dx


В случае действия нагрузок только на гранях контрфорса (при отсутствии объемных сил) система (11) упрощается:

(12)

V2G = 0; 1 У2Ф = у.)

Таким образом, задача о распределении напряжений в теле массивно-контрфорсной плотины может быть решена по следующей схеме. Плотина вместе с частью основания разбивается на ряд участков, в пределах каждого из которых допустимо принять —— линейной функцией. Тогда в пределах каждого участ

Рис. 2. К выводу условий равновесия и неразрывности на границе участков

ка функция Ф должна удовлетворять уравнениям (11), а по линиям контактов отдельных участков должны выполняться условия равновесия и неразрывности. Для однозначного решения задачи на внешнем контуре области должны быть определены значения функции Ф и ее нормальной производной.

При заданной на внешнем контуре нагрузке (рис. 2)

Xt =    + Txyk\ )    / j g\

Yt=Txyl + Nyk,} где

I = cos (tx) = cos (sy) = —;

dx

IT'


— cos (sx) = —


k = cos (ty)


и при действии объемных сил для контурных значений функции и ее нормальной производной, следуя теореме Мориса Леви [1], можно получить выражения:

Ф = С + Ах + By -f-

(Y t + kNy) dsx +


(14)


Mt


+ l f (Xt — lNx)dSl]ds\


N


*    + W*]-f + [B +

дФ


N

М    _

N


+ J (Xt-Wx)ds\^-,

где N — произвольная фиксированная точка на контуре, в которой принято

Л =    B=S~;

дх    ду

С = NX = N„ = 0;

os    а

М и М{ — произвольные точки на контуре области.

дФ

Контурные значения Ф и —могут быть также вычислены

с использованием представления рамной аналогии [3]. При этом изгибающие моменты и продольные усилия в стержнях рамы должны вычисляться от фиктивных нагрузок

(15)

Xf = Х(— Шх; Y? = Yt + kNy.

Рассмотрим теперь условия на контакте двух участков I и II с различными (но линейными) законами изменения податливости.

Выберем ортогональную систему координат ij так, чтобы направление i совпадало с линией контакта участков.

По условиям равновесия на линии контакта должны удовлетворяться равенства:

(16)

N) = N? = N,; Т1п =    = Т ц.

При анализе напряженного состояния участка I усилия Щ1 и

•>    -    *т ЭФ1

Г).} являются внешней нагрузкой и значения Ф1 и -р- на линии контакта EF будут определяться соотношениями (14). Зна-

чения Фп и- на этой же линии для участка II от нагрузки

<5/

Nlj и Т)} будут определяться этими же соотношениями.

Поэтому если АВ и С задать равными для двух участков, а частные решения приняты таким образом, что на линии EF

Nl = N™ и А1\ = Nly,

то на контакте будут выполняться равенства:

Ф1 = Фп; |

дФ1 _ дФ11    |    (17)

dj д\ ' J

Условия неразрывности удовлетворяются, если по линии EF

(18)

и1 = ии; vl = v11.

где и — перемещение вдоль оси х; v — перемещение вдоль оси у.

Если нас не интересует смещение и поворот I и II участков в целом (такое смещение не влияет на напряженное состояние участков), то условия (18) можно заменить условиями наложимости линий контакта двух участков после деформации, т. е.

диl.

duf

di

di

— &h

|Jvh

II

Fuf

■ = K,

a/2

a/2

(19)

где щ и и, — перемещения по направлениям i и /;

б» — относительная деформация линии контакта;

К — кривизна линии контакта после деформации.

По закону Гука

ii = SJ(Nt-^N,)=SJ[Q-( 1 +v)N,],    (20)

где

О = Nx + Ny = Nt + N, = у - (Nx + Ny) ■

Учитывая геометрические соотношения, закон Гука и уравнения равновесия, функцию К можно выразить через функцию G и непрерывные по линии контакта компоненты напряжений:

K = S0[2(l+v)jLTtl + {l+v)f^-^ + ±f{Nx+Jri') +

+ (I + v)_|_iV/-(l+v)fey.    (21)

Подставляя выражения (20) и (21) в соотношения (19), получаем

(22)

281

G1 - G11 = (J1 — fn) [Nx + Ny + ( 1 + v) N,];

df1    dfu \

di di )


dfl


П


:II


df


dG

dj


dG1

dj


2 Tlf +


= (1 + v)


X


dj dj

+ f.- f“) (.+ Л.1±±El-,g,

1 + v j    V di dj 1 + v


X (N


В частном случае, когда f1 = А = const, fu = B = const (при отсутствии объемных сил), условия на контакте для функции G примут вид

G1 — G11 = (А — В)( 1 + v) Nf;    (23)

ary

а/


ii


dG1


dG


(24)


- = 04-B)(l+v)


а/


а/


df^    dfu

Если на линии контакта /1 = /п, но -2— = Б, —— = С (в слу-

а/    dj

чае отсутствия объемных сил), то справедливы равенства

G1 — G11 = 0;    (25)

И


dG1


dG-


(26)


- = (1 +y)(B-C)NJ.


dj dj

Систему (11) запишем в конечных разностях для точки ху.

Дх2


{@х-\1 ,у -Ь @x—i ,у    2GXj/)


(Gx,y+l +


ху' ' Дг/2 +    — 26^) = FAx2;


(27)


Дх2


(Фх, х+1 4~


Д у2


+ Фа,_.-2Ф„) = -^^

f

Составим электрическую цепь (рис. 3). Сопротивление верхней и нижней сеток примем в соответствии с правилами замещения.

Пусть сопротивление R, связывающее верхнюю и нижнюю сетки, переменное по области:

R = Я of.    (28)

где R0 — сопротивление, принятое за базисное.

Обозначим потенциалы верхней и нижней сеток соответственно W и V. Тогда уравнения закона Кирхгофа для узлов ху можно записать:

2 Wxy) =

Wx+x. у +    , - 2Wxy + {Wx, x+i + Wx, у—i -

А У2

__ т у Vxy — Wxy л .

R

J хуЛ*х    n

_ Vxa-Vxe .

Rof

Примем R0 Xx, R0 rx\ W V. Тогда, если принять «ф = V, то вторые уравнения систем (17) и (19) эквивалентны при условии

mG = — пАхАу -^-G = W.    (30)

Pi

Сравнивая первые уравнения систем (27) и (29), заключаем, что они аналогичны при

J ху = — тАхАу — F — nAx2Ay2-^-F = kF.    (31)

Р2    PlP2

Таким образом, при электромоделировании упругой области с линейно изменяющейся податливостью по закону S = S0f со


противления, связывающие верхнюю и нижнюю сетки, должны меняться по линейному закону R = R0f.

По линиям контактов участков с различными законами изменения f условия (17) выполняются при непосредственном соединении соответствующих узлов сетки «У».

Условия неразрывности (22) можно выполнить, обеспечив между соответствующими контактными узлами сетки «W» перепад потенциалов

Д W = (GI — Gu)m

и подводя к ним дополнительный ток, пропорциональный личине


ве-


dG1


dG11 dj


т.


д]


По изложенной выше методике на интегратО|ре, выполненном в МИСИ, моделировалось напряженное состояние Кампьир-Ра-ватской плотины. Секция плотины (рис. 1) была разбита на 4 участка, причем гв пределах каждого функция f принималась постоянной или линейно изменяющейся. Значения функции Ф на контуре строились в дополнительных цепях по методике, изложенной в работе [2].

Значения функции G на напорной и низовой грани подбирались следящей системой из условия равенства нулю внутренней нормальной производной функции Ф.

Дополнительные токи к линиям контактов подводились с делителя истоков методом последовательных приближений. После

4—5 приближений процесс сходился.

На рис. 1 приведены эпюры напряжений на подошве плотины от действия гидростатического давления для плотины на абсолютно жестком основании.

ЛИТЕРАТУРА

1.    ЛейбензонЛ С. Курс теории упругости. М.—Л., Гостехиздат, 1947, стр. 464.

2.    Медовиков А. И. Решение плоской смешанной задачи теории упругости методом электроаналогии. Труды 1-й Межвузовской конференции по электрическому моделированию задач строительной механики. Изд-во Ново-черкасского политехнического института, 1960, стр. 63—70.

3.    Филоненк о-Б о р о д и ч М. М. Теория упругости. М.—Л., Гостехиздат, 1947, стр. 299.

М. Д. Головко, Ю. А. Матросов