РЕШЕНИЕ ДВУХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ВОЗНИКШИХ В ТРАНСПОРТНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

РЕШЕНИЕ ДВУХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ВОЗНИКШИХ В ТРАНСПОРТНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ

В статье сообщается о результатах развития во Всесоюзном научно-исследовательском институте транспортного строительства метода электрических аналогий в теории упругости, впервые предложенного в 1944 г. в США [6]. Соображения о выборе направления, изложение основ метода, сведения о созданной аппаратуре и результаты решения первых задач приведены в работах [2, 3]. Настоящая статья имеет целью показать эффективность развиваемого метода на примерах решения практических задач и ознакомить с принятым в последнее время видоизменением метода — совместным применением метода электрических аналогий и цифровой техники. Рассматриваемые задачи были 284 решены в связи с исследованиями проблем повышения прочности и долговечности транспортных сооружений, особенно в условиях сурового климата.

Рис. I. Схема исследуемой области

Рассмотрим задачу о термонапряженном состоянии железобетонной сваи квадратного поперечного сечения, подверженной в зимнее время приливным колебаниям уровня моря. Расчету подвергалось сечение монолитной сваи размером 45 X 45 см, изготовленной из бетона марки 400. Задача ставилась с целью выяснения целесообразности дальнейшего применения призматических железобетонных свай при строительстве портов, так как имеются данные о малой долговечности их в портах с регулярными колебаниями уровня воды.

Расчету температурных напряжений предшествовал анализ температурных полей в свае15 на гидравлическом интеграторе В. С. Лукьянова.

В результате предыдущих исследований двухмерных температурных полей в сваях круглого поперечного сечения диаметром 0,6 м, расположенных в зоне переменного уровня, выяснилось, что тепловые потоки в вертикальном направлении незначительны, особенно на расстоянии более 20—40 см от уреза воды. Поэтому рассматриваемую задачу сочли возможным поставить как двухмерную в плоскости, перпендикулярной длинной оси сваи. Так как внешние воздействия на сваю одинаковы со всех сторон, то имеются четыре оси симметрии и для исследования достаточно выделить Vs поперечного сечения. Далее задача формулируется так.

Искомая функция распределения температуры t(x, у, т) удовлетворяет уравнению Фурье в однородной области ОАВ (рис. 1):

где с = 2311 кдж/м3 • град — объемная теплоемкость;

= 1,977 вт/см • град — коэффициент теплопроводности материала сваи. Начальное условие


t{x, у, kx0 + т) = t[x, y{k+ 1)т0 +т];

0 < т < т1э k = 1, 2, 3,...

является условием установившегося периодического режима. Распределение температуры в любой момент времени т k-то периода колебания уровня воды равно распределению температуры в соответствующий момент времени следующего (&+1)-го периода. Продолжительность периода колебания уровня То = 12,4 ч.

Граничные условия:

dt    dt

На осях симетрии О А и О В соответственно = О и^~ = 0, где п — нормаль к ОВ.

На грани АВ:

а)    во время пребывания рассматриваемого сечения под водой (т. е. при О < т < ть Ti = 11,4 ч) t = ted — 0° С;

б)    во время пребывания рассматриваемого сечения над водой (при ti < т < т0)

^1    + ai if — 1вз ) = ^»    (^)

где а\ = 23,3 вт/см2 • град — коэффициент теплоотдачи с поверхности.

Для решения задачи методом гидравлических аналогий исследуемую область расчленили на блоки (рис. 2, а), искомые

Рис. 2. Схема решения задачи методом гидравлических аналогий: а — разбивка исследуемой области на блоки; б — схема электрической эквивалентной цепи

значения температуры были определены в центрах этих блоков.

При расчете температурного поля в рассматриваемом поперечном сечении сваи принимали, что свая подвергается воздействию приливно-отливных колебаний уровня моря с частотой один раз в 12,4 ч (применительно к условиям Мурманского порта) и что разность температур и воздуха At0 = (ted — te3) = = 20° С.

Правильное назначение климатических условий при расчетах конструкций, связанных с оценкой их долговечности, является трудным, так как в нормах отсутствуют соответствующие данные. При назначении упомянутой разности температур имелось в виду, что решается линейная задача термоупругости, т. е. в принятой постановке теплофизические и упругие параметры в пределах исследуемой области постоянны во времени и не зависят от искомых величин (температуры, перемещений). Это обстоятельство позволяет производить простой пересчет полученных окончательных результатов (например, напряжения) для других значений Д/о- Далее путем пробных расчетов опреде-286

лилось наиболее невыгодное (в отношении неравномерности температур) соотношение времени пребывания рассматриваемого сечения сваи под водой к времени пребывания его над водой. Для неизолированной сваи это соотношение оказалось равным 11,4 : 1. Затем на гидравлическом интеграторе был проведен окончательный расчет искомого температурного режима рассматриваемого поперечного сечения сваи и построено температурное поле в свае к концу периода пребывания расчетного сечения над водой. К этому моменту имеет место наибольшая неравномерность в распределении температуры по сечению сваи.

Рис. 3. Поле разности температур tf = f — U (поле термоупругих

составляющих деформаций £'г в 10-5 ед.).

Полученное температурное поле / = t(x, у) явилось основой для решения температурной задачи теории упругости.

Предварительно предстояло решить вопрос о начальном распределении температуры, при котором в свае нет температурных напряжений. Температурные напряжения возникают в конструкциях от изменения температуры и, следовательно, для расчета нужно знать два тепловых состояния рассматриваемой конструкции.

Учитывая многообразие условий изготовления железобетонных свай, было решено на этом этапе исследований не принимать в расчет возможные вредные (или полезные) предварительные напряжения сваи, вызванные различными возможными режимами термообработок, и считать, что искомым начальным распределением температуры в свае, при котором в ней нет температурных напряжений, является распределение вида t\ = const. Так как свая не закреплена в торцах и поперечные сечения ее могут свободно перемещаться вдоль длинной оси (г), то целесообразно принять величину t\ равной средней температуре сечения сваи to-

Температурные напряжения были рассчитаны с помощью известного приема перехода от поля разности температур tf = = t — to (рис. 3), принятого при расчете, к системе условных объемных и поверхностных сил. Задача теории упругости ставилась как разновидность задачи о плоской деформации, т. е. предполагалось, что рассматриваемые поперечные сечения озаи после деформации остаются плоскими, хотя и могут смещаться в направлении длинной оси сваи. В остальном задача формулировалась следующим образом.Определяющими неизвестными являются составляющие (перемещений и и v по осям координат хну. Эти искомые функции удовлетворяют уравнениям Ляме в однородной области ОАВ (рис. 1):

/л » о \ d2u I d2u \ п I \ д2и I    л

(А, + 2v) •— +v -jy + (^ +v) ——-—h Р* — 0;

(3)

дх2    ду2    дх-ду

■|?+<x+2^ + ft + 4lSr+‘>»-0'

где

^ _ИЯ_. v _    £

~ (1 + Ю(1-2р)’ V“ 2(1+|i)

—    постоянные Ляме;

_ аЕ 3V _ а Е dtf

Рх~ 1—2ц ~дх' Pj'_ 1 —2ц ~ду

—    составляющие условных объемных сил, эквивалентных воздействию принятой в расчет разности температур t' (х, у);

Е = 2,36-К)10 н/м2 — модуль продольной упругости; ц — коэффициент Пуассона;

а = 10-4 град~1 — коэффициент линейного расширения. Составляющая перемещения w в направлении продольной

оси сваи z не изменяется, т. е. — = 0.

дг

Граничные и особые условия следующие.

На оси симметрии ОА ~ = v = 0, на оси OB u = v, на грани

АВ Ох = тху = 0. Кроме того, напряжения ог удовлетворяют условиям [ OzdF = 0 (F — площадь исследуемой области ОАВ).

F

Искомые напряжения (нормальные ох, az и касательные тху = туХ) связаны с составляющими перемещений:

°* = (^ + 2v) ■—

дх

ди

дх

а EV 9 1—2р ’

а EV # 1—2р *


°у ~    2v)    —\- X

ду

Решение поставленной задачи было получено при использовании метода электрических аналогий. Этот метод близок методу 288

конечных разностей: исследуемую область расчленяют на блоки конечных размеров (рис. 2, а) и искомые величины (составляющие перемещений) определяют для избранных точек области (середин граней блоков). По правилам, изложенным в работе [2], с учетом принятых граничных условий была составлена схема электрической эквивалентной цепи (рис. 2, б), воспроизводящей исследуемое упругое поле. Эквивалентная цепь вблизи оси симметрии ОВ получена на основании условия и(а, b) = v(6, а) для симметричных пар точек с координатами (а, Ь) и (Ь, а).

Рис. 4. Схема матрицы системы линейных уравнений, представляющих конечно-разностную аппроксимацию уравнений Ляме задачи о свае. Затемненные кружки представляют собой отрицательные коэффициенты, а незатемненные — положительные

Ранее для получения решения задачи — распределения составляющих перемещений — использовали имеющуюся электрическую установку.

Подав в узлы эквивалентной цепи токи, воспроизводящие составляющие условных поверхностных и объемных сил, измеряли искомые величины потенциалов, установившиеся в узлах этой установки.

При решении данной задачи распределение потенциалов не определялось на электрической модели, а получалось на цифровой вычислительной машине БЭСМ-2м путем решения системы 48-линейных алгебраических уравнений с 48 неизвестными. Коэффициенты системы определялись значениями проводимостей эквивалентной цепи, а свободные члены — величинами токов, подводимых к узлам. Программа для решения системы уравнений была составлена в Гипротисе [1]. В ней использованы такие упрощающие обстоятельства, как ленточная структура и симметрия матрицы коэффициентов (схему матрицы задачи см. на рис. 4).

В машину для решения вводятся данные о всех коэффициентах симметричной половины ленты (включая главную диагональ). Это неудобно, так как число нулевых мест здесь в два раза превышает число значащих коэффициентов. Поэтому предполагается несколько изменить используемую программу для того, чтобы не вводить равные нулю элементы.

19 Заказ 1148

Удобство введенной модификации метода электрических аналогий состоит в том, что наряду с автоматизацией на БЭСМ-2м очень трудоемкой части задачи — решения основной системы линейных уравнений — сохраняется единообразие и простота учета принятых граничных условий и нагрузок. Схема электрической эквивалентной цепи в этом случае используется как топологическая модель решаемой системы уравнений.

Полученные на БЭСМ-2м величины потенциалов были проверены на клавишных счетных машинах подстановкой в исходные уравнения.

Последовательность вычислений была следующей. Вначале по известным значениям потенциалов U, V и по величинам проводимостей цепи ау b, с, d, е, f были вычислены токи в неупрощенной цепи:

ix = a (Un — Un+1) + с (Vm — Vm+i);

iy = b(Vm-Vm+l) + c(Un-Un+l);

h = g(Un — Un+l) + hty m — Vm+1); ixy = e(Uk-Uk+l)+f(Ve-Vl+l};

iyx ~ d(Vt V i+\) f(Uk Uk+\).

Для контроля полученные значения токов проверяли на равновесие в узлах цепи. После проверки эти величины токов ik пересчитывали в усилия F'k , умножая их на масштабный коэффициент l/rrii н/ма:

F’k = ik •

По полученным значениям усилий позже осуществили контроль равновесия участков исследуемой области. Умножая вычисленные значения усилий на величины, обратные размерам соответствующих площадок (1/Sfc), получали напряжения. Значения касательных напряжений, полученные для площадок, сходящихся под прямым углом, проверялись на парность. Вычисленные значения нормальных напряжений o'k = F'kl/Sk еще не являлись окончательными. Надлежало учесть возможность свободного расширения, т. е. вычесть члены aEt'/(l—2ц). Так вычисляли значения нормальных напряжений по всем трем осям координат. Для контроля этих вычислений была использована известная зависимость между нормальными напряжениями температурной задачи о плоской деформации:

ог = \1 (ох + ау) — а ЕГ.

Поэтому величины crz вычислялись дважды: по току iz и по приведенной формуле. Получаемые расхождения позволяли обнаружить допущенные ошибки.

Выверенные таким образом величины oz проверяли на равновесие их в сечении сваи, т. е. на удовлетворение условию f oz*dF = 0, которое выполняется, если вначале была определе-

F

на без ошибки средняя температура сечения сваи t0. Обнаруженная ошибка в значении величины е/0 может быть исправлена вычислением напряжения ozо = —aE(eto), равномерно распределенного по сечению сваи, и вычитанием его из значений oZy полученных ранее. Величины остальных напряжений (ох, оу, тХу = тУх) оставляют при этом без изменений.

В некоторых случаях желательно характеризовать опасность разрушения железобетонных элементов не по напряжениям, а по величинам деформаций. При решении этой задачи в дополнение к изложенной типовой процедуре обработки результатов для пробы вычислили термоупругие составляющие деформаций:

о * -

ди

гх —

дх

dv

гу-

~д»

8* =

— с

и построили чертежи изолиний этих величин.

Полученные результаты решения задачи представлены в виде чертежей изолиний: деформаций е' (рис. 3), гх [е^] (рис. 5), напряжений oz (рис. 6), ох [сг^] (рис. 7), хху = ^ух (рис. 8) и схемы деформированного состояния (рис. 9).

В верхнем среднем углу исследуемой области (след пересечения плоскости OXY ребром сваи) величина напряжения oz пропорциональна разности температур f = t —10. Здесь oz = = —aEt\ так как на ребре сваи ох = оу = 0. Эта простая связь была использована для графического контроля результатов. Чертежи изолиний деформаций оказались, как видим, сходными по начертанию с чертежами изолиний напряжений. Вычисление деформации несколько проще вычисления напряжений. Это следует иметь в виду при приближенных оценках опасности разрушения в подобных случаях.

На рис. 10 в качестве примера приведены изолинии величин «фиктивных» (промежуточных) нормальных напряжений в' [с^]. Сравнивая рис. 10 с рис. 7, видим, что промежуточные и окончательные напряжения отличаются не только по величине, но и по характеру распределения. Это обстоятельство уменьшает эффективность использования электрической эквивалентной цепи как реальной модели исследуемого процесса, так как распределение токов, протекающих в этой модели, еще не отражает искомого конечного результата — распределения окончательных нормальных напряжений.

Полученные на ребрах сваи наибольшие растягивающие напряжения а™ах = 23,1 -105 н/м2 приводят к трещинам, перпенди-