РЕШЕНИЕ ДВУХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ВОЗНИКШИХ В ТРАНСПОРТНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ 2
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

Рис. 5. Изолинии термоупругих составляющих деформаций

е'х [гу] (в 10-5 ед.)


Рис. 6. Изолинии нормальных напряжений Ог (В 105 Н/М2)


кулярным длинной оси сваи. В серединах боковых граней сутзх = 19^5. ю5 н/м2. Эти напряжения могут вызвать разрушения в сваях, установленных во многих отечественных портах, так как для данной марки бетона (400) в элементах конструкций, нахо-

Рис. 7. Изолинии нормальных на- Рис. 8. Изолинии касательных пряжений <ь[сГу](в Ю5 н/м2) напряжений хху = хух (в 105 н/м2)


дящихся в зоне переменного уровня воды, на растяжение допускается лишь оу = 13,25 • 105 hJm2 (половина от нормативного предела прочности бетона на растяжение [4]). Напомним, что такие напряжения можно ожидать в свае, установленной в каком-либо незамерзающем порту, где имеются приливно-отливные (т. е. регулярные) колебания уровня воды и где в зимнее время разность между температурой воды и воздуха Д^0 = 20° С.

Пользуясь отмеченным выше свойством линейной связи между этой разностью и искомыми напряжениями, можно определить наименьшую допустимую величину A/0niin, при которой наибольшие растягивающие напряжения на ребре не превысили бы допустимой величины 13,25-105 н!м2.

Рис. 9. Схема деформированного состояния поперечного сечения сваи


Рис. 10. Изолинии промежуточных нормальных напряжений о'х [Оу ] (в 105 н/м2)

Эта искомая величина невелика:    A/JJlin = At0<jd/e™x =

= 20,0-13,25/23,10 = 11,5° С.

В НИИ транспортного строительства было предложено защищать железобетонные сваи круглого сечения от чрезмерных температурных напряжений тепловой изоляцией, например, досками. Для призматических свай такая изоляция сложно осуществима и она менее эффективна, чем для круглоцилиндрических свай. В дополнение к проделанным расчетам определяли температурные напряжения в свае квадратного поперечного сечения, покрытой тепловой изоляцией из досок толщиной 5 см. Наибольшие растягивающие напряжения оказались меньше, чем в неизолированной свае, но все же превышали допустимые величины. Круглоцилиндрическую сваю такая изоляция с запасом защищает от чрезмерных температурных напряжений.

Рассмотрим теперь задачу о термонапряженном состоянии бетонной мостовой опоры, частично погруженной в воду. Исследовался случай, когда опора имеет форму прямоугольного параллелепипеда, выполненного из бетона марки 200 с модулем продольной упругости Е = 1,96-10ю н/м2. Коэффициенты Пуассона р, и линейного расширения а принимались такими же, как и в предыдущей задаче. Температурное поле, а затем и напряжения рассчитывались в изображенной на рис. 11, а симметричной половине поперечного сечения опоры. Так как в направлении, перпендикулярном чертежу (ось г), опора простирается на расстояние, превышающее в 3—4 раза ее высоту, то в средней части опоры температурное поле и напряженное состояние практически двумерны, т. е. зависят лишь от двух координатх и у. В результате решения задачи следовало получить полную картину напряженного состояния и оценить погрешность применяемого в настоящее время приближенного способа расчета.

Как и в предыдущем случае, решение термоупругой задачи начиналось с подговки к анализу на гидравлическом интеграторе температурного поля в поперечном сечении мостовой опоры. Температурная задача была поставлена следующим образом.

Искомая функция распределения температуры должна удовлетворять уравнению Фурье (1) в исследуемой области OABCD (рис. 11,а). Значения теплофизических характеристик бетона су h и величину коэффициента теплоотдачи с поверхности си назначили такими же, как и в задаче о свае. Начальное распределение температуры должно быть определено из условия установившегося периодического теплового режима мостовой опоры. В этом режиме надводная часть опоры (внешняя поверхность CD) омывается воздухом, температура которого t\ изменяется по графику годового хода среднемесячных величин с амплитудой 14,4° С при среднегодовой температуре 0°С. Теплоотдача от опоры к воздуху происходит по условию (2). Находящаяся под водой поверхность опоры ВС (рис. 11, а) в летнее время испытывает изменения температуры t2 по трапецеидальному графику, изображенному в левой нижней части рисунка (t2 = 15°С). В зимнее время эта температура неизменна и равна 0° С. Остальные границы исследуемой области (ОА, АВ и OD) Предполагались непроницаемыми для потоков тепла в направлениях, нормальных к этим границам.

Для расчета напряженного состояния мостовой опоры следовало получить распределение температуры к моменту ть соответствующему концу периода резкого похолодания. При этом принималось, что температура воздуха понижается по линейному закону в течение 2 суток до величины — 29,4° С, а затем остается неизменной 2 суток.

Для решения задачи методом гидравлических аналогий исследуемую область расчленили на 120 блоков различного размера (от 0,15 X 0,15 до 0,20 X 0,50 м) и рассчитали схему гидромодели,

После проведенной подготовки можно было приступить к расчету искомого температурного поля t (х, у, ti). Но, еще не приступая к нему, уяснили, что это искомое поле будет иметь вблизи уреза воды значительную концентрацию изотерм. В этом случае расчет напряженного состояния методом электрических аналогий очень нежелателен, так как решение окажется неточ-

Рис. 11. Температурные поля:

а — нестационарное t(x, у, т»); б — стационарное tс (х, у)\ в — нестационарное t(x, у, ti)

ным вблизи места концентрации изотерм даже при довольно дробной разбивке исследуемой области на блоки.

Начальное распределение температуры, при котором в опоре нет температурных напряжений, приняли линейным (tH = = to + At • у) по тем же соображениям, что и в случае со сваей, хотя было ясно, что учет принятой функции tH не снимает концентрации изотерм вблизи уреза воды. Поэтому для решения поставленной задачи прибегли к следующему приему. Заданное распределение температуры t(x, у, п) разложили на два: одно— с концентрацией изотерм вблизи уреза воды (рис. 11,6) и другое — без концентрации (рис. И,в). В качестве второго приняли нестационарное распределение температуры tHC = = (*>У» Ti), возникающее в исследуемой области при начальном и граничных условиях, не отличающихся от заданных, за исключением участка границы CD, на котором взамен заданного графика изменения температуры воздуха t\ (т) приняли tu «с = = U (т)—^i,c (см. схему в левой верхней части рис. 11, в). Величину /i,c = —29,8° нашли подбором из условия, чтобы к моменту п распределение температуры в исследуемой области не содержало бы концентрации изотерм (рис. 11,в). Для нахождения величины tl<e потребовалось провести на гидравлическом интеграторе три дополнительных расчета.

Распределение температуры, изображенное на рис. 11,6, получено в результате расчета на электроинтеграторе ЭГДА стационарного температурного поля tc (х, у) при следующих условиях: на участке ВС(граничные условия I рода) /2,с = 0,°С, на участке CD (граничные условия III рода) ti,c = —29,8° С с прежним значением коэффициента теплоотдачи щ.

Очевидно, что, суммируя граничные условия, принятые в расчетах составляющих искомого температурного поля, получим заданные функции. Начертание этого температурного поля (рис. 11, а) произведено суммированием ранее рассчитанных его составляющих, изображенных на рис. 11,6 и в.

После разложения температурного поля t(x, у, ц) на составляющие tc(x, у) и tnc(x, у, ti) перешли к раздельному определению напряжений, возникающих от действия этих полей. Напряженное состояние мостовой опоры от стационарного температурного поля в нашем случае определяется сравнительно просто, путем цифровой переработки величин температур tc(x, у). Поэтому и было проведено изложенное разделение. Для определения же напряженного состояния в опоре, возникающего от действия температурного поля tHC{x, у, ti), нужно решить двумерную задачу теории упругости. Но так как после проведенного разделения в этом поле нет концентрации изотерм, то для решения можно было бы без опасения применить освоенный метод электрических аналогий.

На рис. 12 изображены граничные условия, принятые в расчете обоих напряженных состояний. Грани АВ, BD и OD исследуемой области свободны от напряжений ах = хху = 0 на гранях АВ и OD\ оу = тху = 0 на грани BD, а на оси симметрии следовало принять v = — = 0.

дх

Так как рассматриваемое поперечное сечение мостовой опоры имеет лишь одну ось симметрии (а не более, как поперечное сечение сваи), то к условию равновесия в сечении напряжений 02

J ojiF = 0

F

следовало добавить условия равновесия моментов этих напряжений относительно оси у:

I* ozxdF = 0.

F

Напомним, что принятие этих условий равносильно допущению о свободе перемещения рассматриваемого сечения опоры в направлении оси г и поворота его относительно оси у. Само сече-

Рис. 12. Уравновешенные температурные поля: а — стационарное    (х, у)\ б — нестационарное    (х, у,%\)\

в — разбивка исследуемой области на блоки и схема электрической эквивалентной цепи


ние при этом остается плоским. Возможность таких перемещений обусловлена конечной длиной сооружения в направлении оси z.

Принятая линейная форма распределения температуры tH позволила путем надлежащего подбора параметров t0 и At еще до начала расчетов обеспечить удовлетворение написанным выше условиям равновесия. Для упрощения начало координат переносили в центр тяжести сечения и искомые параметры вычисляли по формулам

= — f tdF:


= — Г txdF,

Jy J

где Jy — момент инерции сечения относительно оси у.

Величина t0 представляет собой среднюю температуру сечения, г At — градиент (град/м) уравновешивающей плоскости в направлении оси х.

После вычитания из температурных полей tc и tHC соответствующих линейных функций tH получили «уравновешенные» температурные поля /' и t'HC (рис. 12, а и б), по которым определять напряжения удобнее, чем по полям, не прошедшим такой обработки. Для случая стационарного температурного поля расчет на этом закончили, так как полученное температурное поле t'c представляет собой в некотором масштабе искомое поле напряжений gz = —aE-t'c =—1,96-/М05 я/ж2. Остальные напряжения в этом случае, как известно, равны нулю [3].

Для расчета напряженного состояния, вызванного полем повторили процедуру, проделанную для задачи о свае: расчленили исследуемую область на 50 блоков, составили схему электрической эквивалентной цепи (рис. 12,в), по которой записали и затем на машине БЭСМ-2м решили 105 линейных уравнений, предоставляющих для этого случая конечно-разностную аппроксимацию уравнений Ляме. Полученные значения перемещений пересчитали на клавишных счетных машинах в напряжения.

На рис. 13, а показано распределение напряжений ох в поперечном сечении опоры от воздействия температурного поля t'HC. Так как от воздействия поля /' напряжения ох = 0, то изображенное на рис. 13, а распределение ах одновременно является и суммарным. На рис. 13,6 показано суммарное распределение напряжений oz. Несколько выше уреза воды виден участок поверхности опоры с недопустимо большими растягивающими напряжениями. Напряжения оу и хху оказались небольшими. На рис. 13, в показано распределение величин ц(ах + оу). Если температурное поле, изображенное на рис. 11, а,подвергнуть описанному выше уравновешиванию, а затем полученные ординаты умножить на —аЕ, то получим приближенное распределение напряжений , отличающееся от точного на величину Aaz = = oz— onz =|х(ах + а2/). В нашем случае в исходном температурном поле имеется значительная доля стационарной составляющей, поэтому погрешности приближенного расчета невелики.

В заключение следует отметить, что для успешного решения задач, подобных описанным, необходимы:

1. Тщательный анализ тепловых режимов, формирующих изучаемые напряженные состояния. Возможно более обстоятельное 298 понимание причин, вызывающих в температурных полях особенности, существенные для расчета напряжений.

2. Комбинация различных методов расчета и применение разнообразной вычислительной техники, особенно техники, автоматизирующей множество вспомогательных вычислений.

Первое требование удовлетворяется при использовании гидравлических интеграторов В. С. Лукьянова для расчетов теп-

Рис. 13. Изолинии нормальных напряжений (в 105 н/м2): а — Ох ; б—Ог ; в — Aoz - \x,(Gx + Оу)

ловых режимов, на которых можно разобраться в деталях изучаемых тепловых процессов. Что касается второго, то подбор подходящего оборудования для эффективной автоматизации вспомогательных расчетов является первоочередной дальнейшей задачей.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Бобкова В. Е. Решение систем линейных алгебраических уравнений с симметричной кодиагональной матрицей коэффициентов и несколькими столбцами свободных членов. Вып. IV-29, М., Изд. Гипротис, 1965, 15 стр. Библиотека программ для ЭВМ БЭСМ-2м.

2.    Головко М. Д. Электрические цепи для решения двухмерных задач теории упругости. В сборнике — Исследования напряженного состояния крупноразмерных стеновых панелей методом электрических аналогий. Вып. 3, М., Изд. НИИ строительной физики, 1961, стр. 5—45.

3.    Г о л о в к о М. Д. Решение задач теории упругости на электрических эквивалентных цепях. Доклад на I Всесоюзном совещании по аналоговым средствам и методам решения краевых задач. В сб. «Аналоговые методы и средства решения краевых задач». Киев, «Наукова думка», 1964, стр. 85—104.

4.    Инструкция по повышению долговечности бетона в конструкциях морских гидротехнических сооружений. М., Госстройиздат, 1962, стр. 9.

5.    Л у к ь я н о в В. С., Г о л о в к о М. Д. Расчет глубины промерзания грунтов. Труды ВНИИ транспортного строительства, вып. 23, М., Трансжел-дориздат, 1957, стр. ПО—160.

6.    К г о n G. Equivalent circuits of the elastic field. Journal of Applied Mechanics, vol. 11, № 3, 1944, p. 149—161.