Электрические и электромагнитные поля
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

Глава IV. Электрические и электромагнитные поля

В. С. Лукошков

О СОВРЕМЕННОМ СОСТОЯНИИ АНАЛОГОВЫХ СРЕДСТВ

И МЕТОДОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

ЭЛЕКТРОНИКИ

Комплекс задач, рассматриваемых в этой обзорной статье, определяется большим разнообразием изучаемых и конструируемых современных вакуумных электронных приборов. Сюда относятся не только хорошо известные электронные лампы с сетками (радиолампы) и телевизионные трубки, но и разнообразные сверхвысокочастотные приборы, приборы для обработки материалов электронным лучом, электронные микроскопы, мас-спектографы, электронные преобразователи света, квантовые генераторы с атомными и молекулярными пучками (мазеры), ускорители заряженных частиц и многие другие приборы, для которых характерно движение в вакууме заряженных частиц, направляемых электрическими или магнитными полями, сформированными соответствующим образом.

В статье основное внимание обращается на новое в применении аналоговых средств и методов, не отраженное в материалах сборника [1].

Задачи о поле

Наиболее типичными являются краевые задачи об определении двухмерного 16 электрического поля в межэлектродном пространстве электронных приборов, когда заданы геометрия и потенциалы Uэлектродов и распределенные в пространстве заряды р. При этом решаются уравнения Лапласа y17t/ = 0 или Пуассона у17£/ = - у^    ; U = U(x, у). В настоящее время эти

£0

задачи решаются, как правило, на электролитических ваннах; однако появляется тенденция решать эти задачи на сетках из омических сопротивлений (7?-сетках) с хорошо автоматизированным съемом информации с них.

Типичны также задачи об определении электромагнитного поля в волноводах и резонаторах, не редко сводимые к решению двумерного уравнения типа у2U + k2U = 0. Эти задачи решаются на сетках, составленных из индуктивностей и емкостей (LC-сетка [4]), а также на трехмерных электролитических ваннах [8].

Баллистические задачи

Такими задачами являются задачи о движении заряженных или нейтральных (но имеющих дипольный момент) частиц в заданных электрическом и магнитном полях. При этом для каждой движущейся частицы решается отдельно уравнение Лоренца:

О) в случае заряженных частиц или уравнение

(2)

т-= a grad [Е2]

dt2    s

в случае нейтральных частиц с дипольным моментом, где т и q — масса и заряд частицы;

г — вектор, определяющий положение частицы;

Е — напряженность электрического поля;

В — индукция магнитного поля.

Уравнение (1) решается в настоящее время и в случае релятивистских скоростей заряженных частиц (электронов), при этом учитывается зависимость массы т частиц от их скорости

dr/dt и изменение магнитной индукции В под влиянием собственного магнитного поля движущихся частиц [2] (в частном случае равномерного распределения плотности тока по сечению пучка, близкого к прямолинейному и ламинарному).

Баллистическая задача считается решенной, если построено (т. е. вычерчено на бумаге) некоторое число траекторий (обычно порядка десятка), дающее достаточное представление о всем пучке траекторий в приборе.

Хорошо разработанные разнообразные графо-аналитические методы «ручного» построения траекторий по вычерченным на бумаге эквипотенциалям поля в большинстве практически важных случаев очень трудоемки. Поэтому сейчас развиваются и внедряются в практику автоматизированные устройства — тра-ектографы, которые решают уравнения движения (1) и (2) с помощью специальных вычислительных (аналоговых или цифровых) устройств и одновременно вычерчивают траектории. В СССР оправдали себя следующие два типа траектографов: первый тип — решающий уравнение в естественной системе координат (вычерчивающий плоские траектории по их радиусам кривизны) [2, 8, 7]; второй тип — решающий уравнения движения в декартовой или цилиндрической системах координат [2].

Для обоих типов траектографов характерно движение по поверхности электролита ванны многоштырькового зонда, т. е. системы близко расположенных зондов (штырьков), «снимающих» различные составляющие напряженности поля, а также потенциал напряженности. Обычно применяются 2-, 3-, 4- и

5-штырьковые зонды. Данные о поле поступают в счетно-решающие устройства траектографов, которые вырабатывают либо радиус кривизны траектории (траектографы первого типа), либо смещения движущейся частицы в проекциях на оси координат (траектографы второго типа). В обоих случаях многоштырьковый зонд и механически связанное с ним пишущее устройство являются моделью движущейся частицы.

Для траектографов первого типа характерна относительная простота электромеханического счетно-решающего устройства при решении простейших задач о плоских траекториях в электростатическом полеЕ, а также при наличии магнитного поля, перпендикулярного к плоскости траекторий. При этом в случае нерелятивистских скоростей из уравнения движения (1) может быть выведено следующее выражение для радиуса кривизны траектории R:

R =

(3>

где U — потенциал электростатического поля; В — индукция магнитного поля;

п — вектор нормали к траектории; т0 — масса покоя заряженной частицы.

Согласно формуле (3), для вычисления R по снймаемым в ванне Еп и U достаточно выполнить несколько алгебраических действий. Кроме того, значение радиуса кривизны R надо связать с поворотом рулевого колеса трехколесной катящейся по бумаге тележки, на которой укреплено устройство, вычерчивающее траекторию. Для выполнения всех этих операций используются специальные потенциометры и вращающиеся трансформаторы, управляемые следящими системами [8].

Однако счетно-решающее устройство траектографов первого типа значительно усложняется при переходе к изменяющимся по времени электрическим полям (задачи сверхвысокочастотной электроники). Это происходит, в частности, потому, что величину Еп приходится заменить интегралом от тангенциальной составляющей электрического поля. В траектографе ИФП АН СССР-8 для этой цели используется механический фрикционный интегратор.

В траектографах второго типа счетно-решающая часть непосредственно интегрирует систему уравнений для составляющих движения. Эта система уравнений непосредственно выводится из соотношения (1). При этом используются хорошо освоенные промышленностью электромодели постоянного тока, выполняющие как интегрирование, так и отработку различных функций, входящих в систему уравнений движения. Специальные следящие системы переводят результат интегрирования в смещение 4-штырькового зонда по координатным слоям.

В траектографах второго типа зонд и пишущее устройство являются «истинной динамической моделью» заряженной частицы, т. е. в своих масштабах моделируют не только траекторию, но и скорость и ускорение частицы (в траектографах первого типа скорость движения тележки никак не связана со скоростью моделируемой частицы и обычно выбирается постоянной по величине). Указанная особенность траектографов второго типа позволяет относительно легко перейти к решению задач СВЧ электроники.

На электромоделях постоянного тока с помощью траектографов второго типа решаются задачи о движении заряженных частиц в продольном магнитном поле [2], когда в двумерных электрическом и магнитном полях (одновременно плоских или одновременно осесимметричных) траектории оказываются трехмерными Ч

К этому же типу задач относится и учет собственного магнитного поля заряженных частиц при релятивистских скоростях [2], о чем говорилось выше. Довольно полное сопоставление достоинств и недостатков траектографов 1-го и 2-го типов проведено в работах [2, 8].

Отметим попутно, что оба типа траектографов позволяют также автоматизировать нанесение на чертеж эквипотенциальных и силсйвых линий поля.

Задачи о самосогласованном поле

Эти задачи приобретают с каждым годом все большее значение вследствие роста многообразия электронных приборов, у которых электронные пучки обладают большой плотностью.

1 При этом третья координата траектории частицы вычисляегся и записывается специальным аналоговым устройством.

При решении таких задач необходимо учитывать влияние собственного заряда движущихся частиц на поле, в котором они движутся. Изменение поля приводит к изменению траекторий частиц. Поэтому подобные задачи можно решать только методом последовательных приближений [5], так как без решения баллистической задачи в предыдущем приближении невозможно определить плотность пространственного заряда р, входящую в правую часть уравнения Пуассона, используемого при решении задачи о поле в последующем приближении.

Необходимо подчеркнуть, что классическая задача электронных приборов — вычисление тока, ограниченного пространственным зарядом в прикатодной области, — это задача о самосогласованном поле.

Трудоемкость последовательных приближений (обычно необходимо до десятка приближений) привела к тому, что многочисленные задачи о самосогласованном поле в настоящее время решаются почти всегда на траектографах второго типа; принципиальная возможность решения задач о самосогласованном поле на траектографах первого типа на сегодняшний день не реализована.

Опубликованные ранее работы [3, 9] используют указанное выше свойство зонда и пишущего устройства, характерное для траектографов второго типа, их скорость пропорциональна скорости моделирующего электрона. Это свойство в случае решения плоской задачи приводит к следующему выражению для суммарного тока 1т.в.э всех т. в. э., обслуживающих рассматриваемый участок поверхности электролита (обычно дно ванны и соответствующая поверхность электролита и чертежа, на котором вычерчиваются траектории, разбивается на несколько сотен таких небольших прямоугольных участков):

N

/т...* = С£/А,    (4)

/=1

где N — число вычерченных траекторий, проходящих через рассматриваемый участок;

ti — время прохождения зонда (пишущего устройства) через этот участок;

ji — плотность электронного потока в натуре у того участка катода электронного прибора, где начинается траектория с индексом i.

Для определения в каждом цикле приближения /*, ограниченного, как правило, пространственным зарядом, существуют специальные методы. Коэффициент С зависит от выбранного на поверхности катода расстояния между началами вычерчиваемых траекторий и от различных масштабных коэффициентов моделирования. При решении осесимметричной задачи соотношение (4) несколько усложняется.

Развитие электронных приборов и изучение происходящих в них явлений требуют дальнейшего значительного ускорения процесса решения двумерных задач о самосогласованном поле.

Если учесть возможности полной автоматизации операций вычисления пространственного заряда пучка и моделирующих его токов, и введения этих токов в электролит, то окажется, что необходимо ускорение процесса вычисления траекторий в каждом цикле последовательных приближений (на вычисление и вычерчивание траектографом того и другого типа одной траектории требуется от одной до нескольких минут). Для этого, по-видимому, надо отказываться от электролитической ванны и от связанного с нею инерционного механического устройства, передвигающего одновременно зонд и пишущее устройство. Перспективным является замена электролитической ванны Я-сеткой, оборудованной автоматизированным устройством быстрого съема информации о поле, и работающей в сочетании со счетнорешающим и запоминающим устройством цифрового или моделирующего типа. При этом отпадает необходимость использования зонда, роль которого играет система коммутации — опроса соответствующих ячеек; информация, эквивалентная вычерченному семейству траектории, может храниться в запоминающем устройстве.

В настоящее время актуальной представляется задача о расчете статического магнитного поля, создаваемого катушками с током при частичном заполнении окружающей среды ферромагнитными материалами с нелинейными и гистерезисными свойствами, и задача о расчете поля, создаваемого постоянными магнитами. Весьма актуальна также и обратная задача — подбор геометрической формы различных устройств, создающих магнитное поле, по заданной форме этого поля. Современные аналоговые средства и методы позволяют создать соответствующие вычислительные устройства для оперативного решения указанных, задач о статическом магнитном поле.ЛИТЕРАТУРА

1.    Б л е й в а с И. М. Автоматические устройства для вычисления и построения траекторий заряженных частиц в электрических магнитных полях. Аналоговые методы и средства решения краевых задач. Киев, «Наукова думка», 1964, стр. 200—222.

2.    Блейвас И. М., Зелинский Э. М., Майоров В., Сергиенко В. И. Применение цифрового дифференциального анализатора для автоматизации процесса решения самосогласованных задач о поле в траекториях в электронных приборах. «Аналоговые методы и средства решения краевых задач. Киев, «Наукова думка», 1964, стр. 222—230.

3.    Карплюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории, поля. М., Изд-во иностр. лит., 1962, стр. 442.

4.    Лукошков В. С., Шерель Л. А., Шубин Л. В. Задачи о самосогласованном электрическом поле в электронных приборах и практика их решения с помощью электролитической ванны с токовводящими элементами. «Аналоговые методы и средства решения краевых задач», Киев, «Наукова Думка», 1964, стр. 191—200.

5.    Лукошков В. С. Моделирование источников поля в электролитической ванне -при решении задач математической физики. «Электроника», вып. 7 и 8, 1958, стр. 67—71.

6.    Пру д ко век и й Г. П., Левин Г. Э. Траектографы-автоматы, производящие расчет и построение траекторий заряженных частиц. «Приборы и техника эксперимента», № 1, 1962, стр. 7.

7.    Прудковский Г. П. «Траектограф», В сб. «Электроника больших мощностей», вып. 3. М., «Наука», 1964, стр. 70.

8.    Шепсенвол М. А. Методы моделирования на электролитической ванне с автоматизацией процесса расчета распределения объемного заряда. ЖТФ, т. 31, вып. 3, 1961 г., стр. 226.

9.    Р. A. L i n d s а у, «Application of the Relaxation Methodto the Solution ol Space Charge Problems». Journal of Electronics and Control, First Series, vol. 11, N 5, May 1959, p. 415.

И. M. Блейвас, С. А. Дубровина,

Э. M. Зелинский, В. M. Красноперкин