О МОДЕЛИРОВАНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ С ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ЗАРЯДОМ НА СЕТКЕ ОМИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙя
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

О МОДЕЛИРОВАНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ С ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ЗАРЯДОМ НА СЕТКЕ ОМИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Расчет электрических полей сводится к решению уравнения Пуассона:

V2<P =--(1)

е0

при наличии в межэлектродном (пространстве свободных зарядов, распределенных с плотностью р. Уравнение справедливо также для электровакуумных приборов с накаленным катодом.

Для потенциалов узлов сетки, составленной из омических сопротивлений (рис. 1), справедливо конечно-разностное уравнение [1, 2]

1и -f- h4

2 К


^2 ~Ь ^4

2 Л3


2h2


(<Pl— Фо) +


(Фз — Фо) +


(фг — Фо) +


(2)

+ —^3 (Ф4— Фо) = — {К - h3) (h2 + /г4)р + е,

где h\t2,з,4— «шаги» сетки (рис. 1, а);

е — погрешность от замены дифференциального уравнения конечно-разностным; можно считать ее пренебрежимо малой.

Обычно при решении уравнения (2) на сетке омических сопротивлений во все узловые точки, находящиеся в области электронного потока, задают токи, пропорциональные правой части уравнения Пуассона:

Нх,у)=- (Al + ^(-2-+-4>- Р,    (3)

4 А 0®0

где Ко — удельное сопротивление сетки.

Выражая плотность пространственного заряда р через плотность электронного тока / в данной точке межэлектродного пространства и скорость движения электронов, получим выражение для токов, моделирующих пространственный заряд на сетке со-

f

<p1

. h '< h<, #><>

hg

fP,2 ,

*

0

4

*3

2

3

<>)

Рис. 1. Схема сетки потенциалов:

а — схема узлов сетки; б — принципиальная схема сетки, составленной из омических сопротивлений

противлений, справедливое в случае нулевых начальных скоростей электронов:

4,75 • 10* (fr + Лз) (ft, + ft«) / Ко /ф


i {х, у) -


(4)


В общем случае величина плотности тока / и распределение потенциала <р неизвестны. Поэтому моделирование пространственного заряда осуществляется методом последовательных приближений [3]. В качестве нулевого приближения может быть использовано распределение потенциала на сетке сопротивлений при отсутствии пространственного заряда. Так как обычно электронные лампы работают в режиме ограничения тока пространственным зарядом, то величина плотности тока, отбираемого с катода, в этом случае может быть выражена по известному закону «степени трех вторых»:

2,33 •

(5)

d?

/к =

где в качестве анода эквивалентного диода выбирается ближайшая к катоду вычисляемая эквипотенциаль.

Если плотность тока с поверхности катода отбирается неравномерно, то всю активную поверхность катода разбивают на трубки тока, ограниченные электронными траекториями, так чтобы в каждой из них плотность тока с катода можно было принять постоянной. Выражения (4) и (5) справедливы для каждой отдельной трубки тока. В междуэлектродном пространстве трубки тока могут изменять свою ширину вследствие фокусирующего или дефокусирующего действия электрического поля. Поэтому плотность тока в трубке в любой точке междуэлектродного пространства может быть выражена через плотность тока у катода

/ = /*-J-.    (6>

где lKn I — ширина токовой трубки соответственно у катода и в некоторой точке х, у.

Так как при моделировании электронного пространственного заряда ток, моделирующий плотность заряда, должен вытекать из данного узла сетки, то в качестве источника для задания тока в данную точку может быть использована разность потенциалов между данной узловой точкой и катодом К, а необходимая величина тока—с помощью подбираемого сопротивления стока R(x, у) (рис. 1, б). При этом для задания тока i(x, у) в данную узловую точку с потенциалом <р необходимо установить величину сопротивления стока в соответствии с выражением

Kwf4_

Ю4 (Aj + h3) (h, + A.)/A


(7)


R(x, у) =


4,75


Применение сопротивлений стоков для задания пространственного заряда значительно упрощает модель, повышает точность получаемых решений и сокращает количество необходимых последовательных приближений.

Поясним последнее замечание. При определении величины плотности тока с катода в первом приближении по формуле (5) получается завышенный результат. После задания токов в соответствии с выражением (4) получается заниженное значение потенциала в узловых точках по сравнению с его истинным значением, причем зачастую после задания пространственного заряда в первом приближении оказывается отрицательный потенциал вблизи катода, что при наших предположениях нулевой начальной скорости электронов лишено смысла. При задании тока через сопротивления стоков уменьшение потенциала в узлах сетки вызывает уменьшение тока, моделирующего пространственный заряд, что сужает область скачков потенциала в процессе последовательных приближений и, следовательно, ускоряет процесс сходимости. Отрицательный потенциал перед катодом в этом случае вообще не возникает.

Процесс сходимости приближений при задании пространственного заряда через сопротивления стоков с использованием формулы (7) показан на рис. 2, где приведены результаты моделирования плоскопараллельного диода.

Четвертое приближение дает удовлетворительное совпадение

Рис. 2. Распределение потенциала в плоскопараллельном диоде;

с теоретическим значением потенциала.

Отметим, что для плоского диода сопротивления стоков не зависят от потенциала анода и могут быть точно определены. Выражение для плотности тока диода можно записать в виде

2,33 . 10*ф'У2

(8)

Подставляя выражение (8) в формулу (7), получаем искомое выражение

Ж*) =-М2-2..... • (9)

44,27 • 10“2/i2

кривые /, II, III относятся соответственно к I. II. III приближениям на модели; кривая Т рассчитана аналитически, точки на кривой соответствуют данным, полученным на модели в IV приближении

Функциональное устройство для расчета пространственного заряда.

Точность решений на сетке тем выше, чем большее количество узловых точек содержит модель. Однако при решении уравнения поля с пространственным зарядом на слишком «густой» сетке трудоемкость может быть слишком велика вследствие большого количества операций по вычислению и заданию токов, моделирующих пространственный заряд.

Для уменьшения трудоемкости вычисления и задания сопротивлений стоков разработано специальное вычислительное устройство, представляющее собой мост постоянного тока (рис. 3), одно из плеч которого является нелинейным сопротивлением, изменяющимся в зависимости от входного напряжения по закону

RH = BU3e>, в = const.    (10)

В качестве нелинейного сопротивления использован диодный функциональный преобразователь [4], составленный из диодов с индивидуальными делителями напряжений (рис. 4, а). Параллельно включенные диоды с различными крутизнами токовых характеристик и потенциалами отсечки позволяют воспроизвести ломаной линией токовую характеристику диодного преобразователя с необходимой функциональной зависимостью (рис. 4, б).

Для изменения внутреннего сопротивления диодного преобразователя в соответствии с формулами (10) необходимо, чтобы

Вн

Рис. 3. Функциональное устройство для вычисления сопротивлений стоков


ток через преобразователь изменялся в зависимости от входного напряжения по закону

L =    (11)

где Uon — постоянное опорное напряжение.

При равновесии моста (рис. 3) можно записать

Rx


R(x,


У) =


(12)


Из сравнения формул (12) и (7) следует, что если

Rt = h

(13)

D    /Л (hi + Л3) (h2 + Й4)

£\l    — -~- ,

9,32 • 1СГ6

В =-^-

44,27 • 10~2 ’

то на плече R(x, у) моста устанавливается искомое сопротивление, необходимое для задания тока в данный узел сетки с потенциалом ф = (Uex)• Для реализации выходной токовой характеристики диодного функционального преобразователя в соответствии с формулой (11) необходимо подавать на его вход отрицательный потенциал. Это достигается с помощью усилителя У ПТ ь стоящего на входе устройства (рис. 3). Очевидно, что ток через диодный преобразователь и, следовательно, его внутреннее сопротивление соответствует рассчитанному лишь при условии, что на нем падает напряжение, равное опорному0оп■ Однако при наличии в устройстве сопротивления R(x, у), включенного последовательно с    j

диодным преобразователем, падение на-пряжения на последнем меньше опорно-го, так как Uon одновременно является    /

источником питания моста. Чтобы под-    //

вг

-« I_|_ill    I

-Убх Ц    Uz V3 V"    о

О)    б)

Рис. 4. Индивидуальный делитель напряжений:

а — принципиальная схема; б— аппроксимация заданной кривой с помощью параллельно включенных диодных элементов

держать постоянным падение напряжения на диодном преобразователе, последовательно с источником опорного напряжения включен усилитель постоянного тока УПТ2 (рис. 3). Если между нулем источника опорного напряжения и выходом диодного преобразователя (т. е. на входе усилителя УПТ2) существует разность потенциалов, то на его выходе появляется напряжение UK> компенсирующее падение части опорного напряжения на сопротивлении R{x, у).

Таким образом, подавая на вход усилителя УПТХ потенциал, равный потенциалу данной узловой точки, и устанавливая Ru R2 в соответствии с равенствами (13), получаем при равновесии моста искомую величину сопротивления R (х, у), необходимую для задания пространственного заряда, которое затем подключается в данную узловую точку сетки, как показано на рис. 1, б.

Применение устройства для определения R(x, у) исключает большое количество вычислений.

1.    Волынский Б. А., Бухман В. Е. Модели для решения краевых задач. М., Физматгиз, 1960, стр. 215—*251.

2.    Гутенмахер Л. И. Электрические модели. М.— Л., Изд. АН СССР, 1949, стр. 258.

3.    Л у кош ков В. С., Ш ере ль Л. А., Шубин Л. В. Задачи о самосогласованном электрическом поле в электронных приборах и практика их решения с помощью электролитической ванны с токовводящими элементами. В сб. «Аналоговые методы и средства решения краевых задач», Труды Всесоюзного совещания, октябрь, 1962 г. Киев, «Наукова думка», 1964, стр. 191.

4.    Т а л а н ц е в А. А. Автоматика и телемеханика. 1956,    №    2,

стр. 129—139.

V V V

Г л а в а V. Разработка новых устройств для решения краевых задач

А. И. Медовиков

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ ЭЛЕКТРОИНТЕГРАТОР

ДЛЯ РЕШЕНИЯ БИГАРМОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

И ОПЫТ ЕГО ЭКСПЛУАТАЦИИ

Бигармоническое уравнение можно аппроксимировать различными конечно-разностными операторами. Одни из этих операторов приводят к необходимости проведения уравновешивания модели по внутренним узлам области [9], другие — к необходимости проведения процесса подбора граничных условий на контуре [7].

При увеличении числа шагов сетки растет количество точек, в которых необходимо производить уравновешивание или подбор: при первом методе пропорционально числу внутренних узловых точек; при втором пропорционально числу контурных точек. Поэтому увеличение числа шагов сетки приводит к значительному увеличению трудоемкости решения при проведении уравновешивания во внутренних узловых точках.

Конечно-разностный оператор, требующий проведения процесса уравновешивания на контуре области, используется в электроинтеграторе ЭМБУ-6, установленном в научно-исследовательском секторе Гидропроекта [7]. Процесс уравновешивания производится на этом электроинтеграторе вручную, и одна задача решается высококвалифицированным оператором несколько дней.

Аналогичными возможностями при решении бигармониче-ского уравнения обладает выпускаемая серийно универсальная сеточная модель УСМ-1 [6].

Методика определения значений бигармонической функции внутри области по известным на контуре значениям функций и ее нормальной производной изложена в работе [7]. На контуре одной из сеток, замещающих данную область, задаются значения бигармонической функции в виде напряжений или значения ее нормальной производной в виде разности потенциалов. В первом случае контурные значения суммы нормальных напряжений подбираются в процессе решения задачи из условия совпадения замеренных значений нормальных производных с заданными. Во втором случае подбор производится из условия совпадения замеренных и заданных контурных значений бигармонической функции.

При моделировании напряженного состояния изгибаемых плит также необходимо производить операции подбора. В случае жесткой заделки края прогиб контурных точек плиты равен нулю, что соответствует заданию нулевых значений потенциала на контуре одной из сеток, моделирующей неоднородное бигар-моническое уравнение изгиба плиты. Потенциалы в контурных точках другой сетки, пропорциональные значением изгибающего момента на контуре, не известны по условию задачи. Эти потенциалы могут быть подобраны в процессе решения из условия равенства нулю углов поворота на контуре.

Аналогичные операции подбора проводятся и при решении других задач теории упругости. Например, если плита опирается в какой-либо точке на колонну, то величина реакции колонны подбирается из условия равенства нулю прогиба в этой точке. Необходимость в проведении подбора возникает и при решении плоских смешанных задач теории упругости [3].

В миси им. В. В. Куйбышева в 1963 г. изготовлен и успешно эксплуатируется электроинтегратор для моделирования бигар-монического уравнения, процесс уравновешивания на котором производится многоканальной следящей системой автоматически. Принцип действия схемы изложим применительно к подбору граничных значений бигармонической функции. Нормальная производная, замеренная на сетке, сравнивается со значением, известным из условия задачи. В случае неравенства этих значений появляется сигнал рассогласования, который поступает на вход усилителя. На выходе включается реверсивный двигатель, который через редуктор перемещает движок реохорда. Потенциал с движка реохорда подается на соответствующую контурную точку сетки высокого потенциала. Таким образом, при соответствующей полярности включения усилителя отклонение измеренных значений нормальной производной от заданных вызывает смещение движка реохорда. Потенциал в контурной точке сетки будет изменяться до совпадения замеренных значений нормальной производной бигармонической функции с заданными. Аналогичным образом работает следящая система при подборе значений изгибающего момента на контуре защемленной по краям плиты, подборе величины реакции опорной колонны и т. п.

В 1960 г. в МИСИ проведены исследования условий работы двухканальной следящей системы, подбирающей значения изгибающего момента и прогиба в электричеокой цепи, моделирующей напряженное состояние консольной балки, лежащей на упругом основании. Однако попытка применения многоканальной следящей системы для одовременного подбора граничных условий во многих контурных точках не имела успеха. Аналогичные результаты были получены в результате исследований, изложенных в работе [1], авторы которой вынуждены были отказаться от использования многоканальной системы и перейти на последовательный подбор потенциала в контурных точках, что значительно увеличивает время решения.

Проведенные в МИСИ детальные исследования работы многоканальной следящей системы показали, что питание сеток электроинтегратора и измерительных цепей следящих систем переменным током приводит к появлению квадратурного напряжения и большим составляющим наводки в сигналах рассогласования следящей системы.

Практический подбор граничных условий многоканальной следящей системой стал возможным после перевода питания на постоянный ток. В этом случае фиксированная фаза питающего напряжения не вызывает появления квадратурной составляющей в выходном напряжении усилителей следящей системы, а вибраторы, стоящие на входах усилителей, являются надежными фильтрами наводок промышленной частоты.

Существующие модели электроинтеграторов, на которых можно решать бигармоническое уравнение, не позволяют применить многоканальную следящую систему вследствие отсутствия соответствующих источников питания и необходимых узлов.

Блок-схема изготовленного в МИСИ интегратора представлена на рис. 1. Две сетки переменных сопротивлений 1 и 2 через кабельные сборки 3 и 5 связаны между собой переменными сопротивлениями 4.На сетке 1 моделируется функция высокого йотенциала, на сетке 2 — функция низкого потенциала. Если бигармоническое уравнение неоднородно, то его правая часть задается током от высоковольтного источника питания 15 через панель сопротивлений истоков 6 на панель задания истоков 7. Граничные условия на сетке 1 задаются с реохордов многока нальной следящей системы 21 через панель выходов следящих систем 10 и панель граничных условий 9. Реохорды следящих систем питаются постоянным током от источника 20. На входы усилителей системы 21 подаются сигналы рассогласования между регулируемыми величинами сетки 2 и заданными по условию задачи величинами, которые поступают от источника независимых напряжений 19. Выявление сигнала рассогласования осуществляется на панели 14.

Граничные условия сетки 2 задаются по методике, изложенной в работе (3]. По этой методике в случае плоской задачи теории упругости на участках контура, где заданы напряжения, собираются дополнительные линейные цепи. В узловые точки этой цепи поступают токи, пропорциональные заданным значениям 342 нормальных напряжений. Распределение потенциалов дополнительной цепи соответствует контурным значениям бигармоничес-кой функции на этом участке. Для получения упомянутых токов служит делитель 17, панель 11 и панель 12. Делитель 17 и панель 11 могут быть использованы также при задании известных по условию задачи контурных значений функции на сетке 1. Однако при малом значении сопротивлений сетки 1 возможна перегрузка и изменение распределения потенциалов делителя 11. В этом случае целесообразно снимать известные контурные значения потенциалов сет-

Рис.

1. Блок-схема автоматизированного электроинтегратора МИСИ

ки / с реохордов следящих систем, подавая на входы усилителей сигналы рассогласования между заданными значениями, снимаемыми с делителя 17, и фактическими значениями, получаемыми на сетке 1. При таком методе задания контурных значений делитель 17 не будет нагружен. Потенциалы и частные производные потенциалов сеток 1 и 2 могут быть измерены на измерительных панелях 8 и 13 при помощи компенсационных измерительных устройств 16 и 18.

Под руководством автора в 1967 г. закончена модернизация электроинтегратора ЭМБУ-6, установленного в НИСе Гидропроекта. Блок-схема модернизированного электроинтегратора аналогична блок-схеме, приведенной на рис. 1.

Испытания показали высокую эффективность автоматизации процесса уравновешивания. Следящая система устойчиво отрабатывает решение задачи. Время установления не превышает одной минуты. Точность подбора потенциалов соответствует приборному нулю усилителей.