ВОПРОСЫ ПРИМЕНЕНИЯ ABM С ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

ВОПРОСЫ ПРИМЕНЕНИЯ ABM С ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

До последнего времени аналоговые вычислительные машины (АВМ) с операционными усилителями чаще всего представлялись как устройства для исследования динамических систем. Обладая целым рядом достоинств, отличающих их от других, применяемых в настоящее время вычислительных средств (возможность параллельной обработки информации и вытекающее отсюда высокое информационное быстродействие, простота процедуры решения задачи, наглядность получаемого решения и возможность решения сложных многовариантных и обратных задач), АВМ с операционными усилителями имеют все основания найти широкое применение при решении целого ряда новых, отличных от систем обыкновенных дифференциальных уравнений, классов задач.

Внимание исследователей в области средств аналоговой вычислительной техники (АВТ) с операционными усилителями уже давно привлекают вопросы, связанные с решением на тацих машинах уравнений в частных производных различных типов. Первые работы в этой области применительно к АВМ с операционными усилителями были сделаны Хоу и Ханеманом.

В дальнейшем работы в этом направлении проводились Фишером, Маккеем, Карплюсом, Амелингом, Томовичем, Миурой и Иватой и др. Исследования в основном касались применения АВМ с операционными усилителями для решения одномерных уравнений теплопроводности с использованием метода прямых и метода разделения переменных. Метод прямых 16 и некоторые особенности его применения для решения на АВМ эллиптических, гиперболических и некоторых других уравнений с быстрой периодизацией решения исследовали Фишер и Маккей. Особо следует отметить работу Миура и Ивата, в которой была сделана попытка использования новых аналоговых технических средств, имевшая своей целью существенно сократить требуемое количество аналогового оборудования при решении одномерного уравнения теплопроводности. Оценке точности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемой по методу прямых, посвящена работа Хенинга и Хаэвда-ла. В иностранной литературе большое внимание уделяется анализу конкретных задач, решение которых проводится на структурных АВМ.

Авторами в коллективе НИИсчетмаша была предпринята попытка рассмотреть общие вопросы, связанные с решением уравнений в частных производных на АВМ, оценить возможности средств АВТ при решении сложных функциональных задач, проанализировать известные методы решения таких задач с целью выделения из них наиболее эффективных для данного случая методов, разработать некоторые новые приемы и методы и предложить наиболее пригодную для решения краевых задач структуру машин, построенных на базе АВМ с операционными усилителями. Ниже приводятся некоторые предварительные результаты этой работы. Дальнейшее успешное развитие перечисленных выше направлений работы возможно лишь при широком участии большого круга организаций, в число которых должны входить как организации, занимающиеся разработкой средств АВТ, так и организации, использующие в настоящее время сеточные или цифровые вычислительные машины для решения уравнений с частными производными.

Вычислительной математике известно большое число методов решения дифференциальных уравнений в частных производных: конечно-разностные и вариационные методы, метод сведения задач к интегральным уравнениям, метод конформных преобразований и статистические методы.

Задачу оценки, отбора и развития методов, известных в вычислительной математике, для их реализации с помощью аналоговых вычислительных машин следует решать с позиций возможностей аналоговой вычислительной техники, т. е. следует иметь в виду, что аналоговые вычислительные машины с операционными усилителями наиболее успешно применялись и применяются для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и для выполнения ряда непрерывных операций над функциями.

С этой точки зрения ниже используется следующая классификация методов решения уравнений в частных производных на АВМ с операционными усилителями:

17

2 Заказ 1148

1)    методы, в которых приближенное решение краевой задачи находится решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений, причем моделирование этой системы, как правило, производится с выполнением целого ряда специфических для АВМ операций;

2)    методы, заключающиеся в построении специальных функций, из которых составляется решение данной краевой задачи (методы рядов); при этом назначение средств АВТ состоит в генерировании некоторых функций;

3)    методы, в которых решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных при конечно-разностной аппроксимации заданного уравнения, производится «по частям» (итерационные методы);

4)    методы, целесообразность и возможность применения которых обусловливается спецификой постановки конкретных краевых задач. К числу этих методов относятся статистические методы, методы приведения к интегральным уравнениям, вариационные методы, методы конформных преобразований и методы, использующие операционный анализ. Эти 'методы, будучи значительно менее универсальными, чем указанные выше, вместе с тем в ряде случаев могут оказаться весьма полезными. Применение АВМ при использовании любого из перечисленных выше методов приводит либо к необходимости усложнения алгоритма, либо к сужению задачи, подлежащей решению. Так, например, использование статистических методов обеспечивает отыскание значения искомой функции лишь в одной точке области при большом количестве проведенных решений. Операционные методы пригодны, по-видимому, лишь для решения задач, отображающих переходные процессы в одномерных линейных системах.

В дальнейшем изложении методы четвертого класса не рассматриваются, так как приемы и аппаратура, необходимые для реализации этих методов, аналогичны рассматриваемым ниже для реализации методов, принадлежащих к трем первым классам.

Подобная классификация в значительной степени условна и используется главным образом из методических соображений и для выявления специфики рассматриваемых вычислительных средств.

К первому классу методов можно отнести разнообразные конечно-разностные методы, получившие широкое распространение при решении уравнений в частных производных на различных вычислительных машинах. Среди этих методов наибольший интерес представляет метод прямых, применение которого приводит к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Суть этого метода состоит в том, что решение краевой задачи ищется вдоль некоторого семейства прямых, проведенных в заданной области. При этом образуется система обыкновенных дифференциальных уравнений, на которую накладывается крае-18

(1)

+ F (и) = Н (х, у)

в некоторой области G. При использовании метода прямых в этой области строится некоторое семейство прямых {г/к}, где Ук = Уо + kh, k = 1,2, ..., п, и для каждой точки, принадлежащей этому семейству, составляются дифференциально-разностные уравнения. При этом для образования разностных выражений, заменяющих производные в направлении у, используются значения неизвестной функции в точках, принадлежащих этому семейству Применение разностных операторов, обозначенных ниже А и ДА, образующих при действии на непрерывную функцию приближенные выражения для производных по у и использующих значения в точках, принадлежащих {ук}, приводит к следующей приближенной записи уравнения (1):

A l + 2ВЛ ^ + СААик + D-^- + ЕАик + FuK =

dx2    dx    к    dx ^ к к

= Н(х, ук) k= 1,2,..., п.    (2)

Если учесть, что разностные операторы образуют функции от ик, ик~и ик+1, то, составляя уравнения, аналогичные уравнению (2), можно получить системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Схема моделирования для одного из уравнений системы показана на рис. 1.

Приведенное выше уравнение в частных производных может быть эллиптическим, параболическим или гиперболическим в зависимости от соотношения величин и знаков коэффициентов Л, В и С. Таким образом, блок-схема моделирования, показанная на рис. 1, носит универсальный характер. В случае необходимости решения систем нелинейных уравнений изменения в схеме сводятся лишь к добавлению блоков, реализующих нелинейные зависимости.

Что касается самой процедуры моделирования, то здесь следует отметить, что характерной особенностью метода прямых является сведение краевой задачи для уравнения в частных производных к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Избежать необходимости решения краевой задачи для системы, получающейся по методу прямых, удается в редких случаях, например при решении одномерного уравнения теплопроводности при дискретизации по координате, когда приходится решать задачу Коши.

вая задача. В случае области произвольного вида эта система на некоторых участках прямых оказывается недоопределенной.

Пусть требуется найти решение уравнения в частных производных


C^L + D-^- + E-^L +

ду2    дх    ду


L (и) = А — Н-w дх2


2В&и_

дхду


19