О МОДЕЛИРОВАНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ С ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ЗАРЯДОМ НА СЕТКЕ ОМИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ 2
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

На автоматизированных электроинтеграторах решены многие задачи по прочности. При решении этих задач использованы известные соотношения теории упругости. Методика и результаты решений некоторых задач приведены в настоящей книге. Однако математическое описание многих объектов не позволяет разработать удобную для практического применения методику электрического моделирования. В качестве примера можно привести тол-

стые плиты, расчет которых по методам Лява, Рейсснера [2, 10] и др. математически труден.

В результате развития теории Рейсснера нами получена система уравнений толстой плиты в виде [5]

Мх -f~ Му _ D(l+v)’

(1)

к2

5(1 — V)


W,


сдв


Щдв + WU3e = W,

где h — толщина плиты.

Полный прогиб пластинки w представлен в виде суммы прогибов, вызываемых изгибом и сдвигом.

Первые два уравнения этой системы совпадают с обычными уравнениями изгиба тонкой плиты. Два последних уравнения позволяют найти прогиб сдвига и полный прогиб по известному прогибу изгиба. Эти два уравнения могут быть решены после решения двух первых уравнений системы. Силовые факторы, возникающие в толстой плите, выражаются через прогиб изгиба по обычным соотношениям теории тонких плит (за исключением узкой зоны вблизи краев плиты).

Граничные условия на контуре плиты при решении системы (1) отличаются от граничных условий теории тонких плит.

В случае свободного края эти условия могут быть представлены через силовые факторы:

дМ


Qx = 0;


ху


(2)


ду


5    ду

или через прогиб изгиба:

-2тг-+(2-,)-^тт=о;    <3>

дх3    дхду2

д^изг I ^ d2Wu3e , V10 ^ 1 ,д д*1Я)и3г q

дх3    ду2    5    дхду2

Шарнирная опора может быть осуществлена различными способами. Если плита опирается таким образом, что поворот элемента боковой поверхности относительно осей, лежащих в плоскости плиты, не ограничен, то граничные условия имеют вид

MX-JLЖл^££_ = 0;

5    ду    '

(4)

Wuse + Щде = 0

или, выражая силовые факторы и прогиб сдвига через прогиб изгиба:

ft2

(5)

&и>изг , v d2Wu3a    /ГО    = о

^д:2    ^    %2    ^    5    ^    ' дд%2

Так как у2тизг на шарнирном крае при уменьшении толщины плиты стремится к нулю, то правой частью первого равенства с достаточной степенью точности можно пренебречь и принять граничные условия в виде

ют вид

Рис. 2. Расчетная схема бесконечно V2wuse =    (7) длинной плиты, загруженной крутящими

Л    моментами


Waae = 0.


Для пояснения физического смысла условий (2) рассмотрим кручение бесконечно длинной плиты (рис. 2). Напряжения, возникающие в средней части, можно определить по формулам [8]:

ох ву ог Тдд — 0;


дфр . дг '


(8)


Хху


дфр дх ’


'гу


где функция кручения

k—\    knx

_g Gxh2 yi (—1) 2 C h

ip    fab

ch-


knz

~


(9)


COS


(суммирование по нечетным k).

М

Крутящий момент М'ух выразим через касательные напряжения

ух ■

+-т 2

+ -т 2

+

h

2

+ — T 2

Г xxyzdz =

- J

2*S-zdz=

dz

— ф02+ J

^ h

h

h

h

2

2

2

2

Значения ф0 на контуре поперечного сечения плиты равны нулю, следовательно,

(И)

Мух = f <р0dz.

knx

Мух = Gt|

/l3

16/г3 ^

r_L

ch-

6

Jt4 ^

-> k*

ch

knb

2h

+ -

^ 2

Подставим в уравнение (11) значение функции ф0 и проинтегрируем:

(12)

Касательные напряжения хгу сведем к поперечной силе

(13)

Q»= J *v*z.

Выражая напряжения через функцию ф0 и интегрируя, получим

Qy

sh ■

knx

16Gxh2 v

1

h

Л3

-j

& ,

knb

ch -

2h

поперечной

силы

— Gx

’ /г3

16/г3

-V 1 -

6

зт4

^ fc4

1

ch -

knb


(14)


(15)


2 h


Сравнивая выражения (15) и (12), получаем, что величина равнодействующей равна значению крутящего момента в центре плиты

Qo = — МуХ (при х = 0).    (16)

Расстояния точки приложения силы Q0 от края плиты найдем из условия (рис. 2)

h b

у Т

dz j тzyxdx.

h_ О 2

Подставляя значение касательных напряжений (8), функции кручения (9) и поперечной силы (15), найдем а:

96 у. 1 knb    48Ь у» _J__1_

л5 ^ ^ къ *    2h    л4 ^ /г4    knb

ch-

(17)

96 у 1    1

л4    /j4    fafr

ch-

График изменения величины а в зависимости от отношения

— к шагу приведен на рис. 3. При увеличении ширины плиты h

Рис. 4. Сопоставление поперечных сил и крутящих моментов, определенных по теории кручения и теории изгиба тонких плит

величина а стремится к пределу

Ш

а —

2Д-~0,314А.

(18)

Рис. 3. График изменения величины а в зависимости от относительной толщины плиты ЫН

Сопоставим решение, полученное для кручения бесконечно длинной плиты с основными формулами теории тонких плит.

Изгибающие моменты и поперечная сила Qx на основании условия (8) равны нулю:

(19)

347

Qx = Mx = Mg=0.

Подставляя выражения (12), (14) и (19) в уравнения равновесия элемента плиты, получаем тождества. Следовательно, напряженное состояние, возникающее при кручении плиты, совместимо со статическими условиями изгиба.

Рассмотрим соответствие геометрических условий. По теории кручения прогиб плиты определяется равенством [8]

W =— тху.

Этот прогиб соответствует появлению в плите крутящего момента


Gxhz

6


d2w

дхду


Myx = -D( 1-v)


(20)


Поперечная сила Qy = 0, следовательно, теория тонких плит не дает точных значений крутящего момента и поперечной силы, определяемых формулами (12) и (14), причем расхождение наблюдается только вблизи края плиты.

На рис. 4 приведены эпюры поперечных сил и крутящих моментов, определенных по теории кручения и теории изгиба тонких плит.

Эпюру крутящих моментов можно представить в виде суммы двух эпюр, одна из которых постоянна по ширине плиты и соответствует постоянному крутящему моменту, другая отображает влияние на крутящий момент свободного края плиты:

Мух = Мух -f" Мух.

Равнодействующая момента М" , приложенная вблизи края плиты,


При увеличении отношения —момент М0 стремится к пределу

(22)

М0 —--G%fl3 а — — Миха.

и    д    ух

Сведем поперечную силу Q0 и момент М0 к краю плиты. Напряженное состояние представим в виде суммы равномерно распределенного крутящего момента Мух и приложенных на краю сосредоточенной силы и момента (рис. 4). Приложенный на краю момент М\ слагается из момента М0 и момента, возникающего вследствие переноса силы Q0:

М1 = М0 + Q0a.    (23)

При возрастании отношения — момент М0 и сила Q0 стремят-

h

ся к пределам:


М0 = — МуХа; Qo —    Мух.


(24)


Предельное значение момента

Мх — — М у х2а = 2аМху.

С увеличением отношения—значения Q0 и М0 быстро приближаются к предельным. При отношении ~> 3 значение момента


Mi незначительно отличается от предельного.

Введем теорему, согласно которой влияние свободного края на напряженное состояние плиты при изменяющемся по длине свободного края крутящем моменте аналогично влиянию свободного края при чистом кручении, т. е. предположим, что в случае изменяющегося крутящего момента значения Q0 и Mi определяются формулами (24) и (25) (эта теорема может быть доказана на основании теории изгиба плит Рейсснера [5]). В соответствии с изменением крутящего момента Мух по длине свободного края величины Q0 и Afi получат приращения. В статическом отношении эти приращения эквивалентны приложению по длине свободного края поперечной силы и момента

(26)

dQ0 . ду ’

Мх =


dMi

ду


2а.


Подставляя в эти уравнения значения силы, момента и параметра а по формулам (24), (25) и (18), получим

Qx


дМху

ду


= 0;


(27)

Мх — 0,628/j    = о,

ду

что соответствует равенствам (2).

Первое равенство (27) соответствует условию Кирхгофа, физический смысл которого был разъяснен Томсоном и Тэтой [10]. Приложим по свободному краю самоуравновешенную систему сил, представленную на рис. 5. Силы, приложенные на заштрихованных участках, создают крутящие моменты. Суммируя силы по левой грани выделенного элемента, получим поперечную силу

ду

что соответствует первому из равенств (27).

На том же рисунке представлено аналогичное преобразование для изгибающих моментов. Прикладывая по длине свободного края самоуравновешенную бимоментную группу и преобразо-

349

вывая силы, приложенные к левому краю выделенного элемента, получим изгибающий момент

Iм** 2а

ду


М


х


Заменяя Мух на — Мху, получим второе из равенств (27).

Изгибающий момент дМху 2а слагается из двух равных чаду

стей, одна из которых уравновешивает момент касательных напряжений тzy, вызывающих большие деформации сдвига вблизи края (и по этой причине не полностью учитываемых элементарной теорией изгиба), а другая составляющая компенсирует кру-

Рис. 5. Схема преобразования сил вблизи края, обосновывающая физический смысл уточненных граничных условий


тящий момент Мух. Этот момент при уменьшении касательных напряжений %ху стремится к нулю по мере приближения к свободному краю, в то время как момент Мху по условиям Кирхгофа на свободном крае отличен от нуля. Таким образом, при условиях (27) интегрально (в смысле принципа Сен-Венана) выполняется условие взаимности крутящих моментов.

Как известно, условия Кирхгофа приводят к появлению сосредоточенных сил в углах плиты [10]. На основании аналогичных соображений можно показать, что условия (27) помимо сосредоточенных сил приводят к появлению в углах плиты сосредоточенных моментов. В зависимости от вида сопряженного края эти моменты следует опустить или ввести в расчет (аналогично сосредоточенным силам Кирхгофа) [5].

Использование системы уравнений (1) при граничных условиях (6) покажем на примере расчета квадратной шарнирно-опертой толстой плиты, загруженной силой в центре. Первое граничное условие (6) выполняется соединением с нулем делителя контурных точек сетки прогибов.

Учитывая, что вторая производная от прогиба по длине свободного края равна нулю, представим второе условие (6) в виде

5    дхду2

Рис. 6. Электрическая цепь, моделирующая напряженное состояние толстой плиты

изг

Интегрируя это выражение по у, получим

ди>иаг ____5_ х

дх ~    /Т0Л( 1—v)

X\dy\ y2wu3edy + Сгу + С„. (28)

Произвольные постоянные Ci и Сг равны нулю вследствие равенства нулю производных прогиба изгиба в углах плиты.

Интеграл, стоящий в правой части равенства (28), обозначим через Т. Функция Т- может быть получена в дополнительной цепи, представленной на рис. 6. Записывая уравнения первого закона Кирхгофа для цепи АВ, получим равенство [3]

_1_ д*рЧ = _J_

Н дуг R2 х (—v2mwu3e + pV), (29)

где р — масштаб потенциала функции 4я;

т — масштаб потенциала ФУНКЦИИ V2 тизг.

Если

г3 т #2 Р


5

(1 — v) КТо’


(30)


то равенства (28) и (29) эквивалентны равенству

(31)

дшизг =__

дх    h

Значение функции прогиба изгиба во внутренних узлах об-

351

ласти, отстоящих на шаг сетки формуле

азг) предконт = №изг)


от контура, можно найти


по


кснт


dwUJ!

дх


Ах,


где Ах — шаг сетки.

Заменяя значение производной по формуле (31) и учитывая, что (wU3S) К0НТ = 0, получим

(Wuae) предконт = ^ “у" •    (32)

Вводя функцию 'Fo = W —, получим

h

(^изз)предконт    ^*0 •    (^3)

Функция 'Fq строится в цепи, приведенной на рис. 6, при соответствующем выборе величины сопротивлений г3. Принимая где п — масштаб потенциалов функции ти3г, и учитывая соотношение

__п_ _ г2

т R1

где г2 — сопротивления сетки wU38\

Ri — сопротивления, соединяющие сетки у2 w изг И WU33i из формулы (30) получим

Г3 __ _^2__5__Ах    (34)

R2    Я! /10(1—V) h    К

Выражая Ах через отношение ширины плиты к числу шагов сетки и принимая г2 = 100 ом\ Ri = R2 = 100 000 ом, получим зависимости сопротивлений г3 от коэффициента Пуассона и величины отношения ширины плиты к ее высоте:

500 Ь

Го = —=--ом,

3    /10(1—v) А/Г

где К — число шагов сетки.

Контурные значения на сетке моментов подбираются следящей системой на основании условия (33). Сигнал рассогласования равен разности потенциалов между предконтурными точками сетки прогибов и соответствующими точками цепи Выходы реохордов соединяются с контурными точками сетки моментов. После задания токов нагрузки следящая система автоматически уравновешивает модель.

Прогибы сдвига находим по прогибам изгиба на основании третьего уравнения системы (1).

Непосредственная реализация более точных условий (5) возможна при использовании двух каналов автоматического управления на каждый контурный узел, причем один из каналов используется для отработки отрицательного сопротивления в дополнительной граничной цепи при реализации условия

Рис. 7. Кривые, показывающие влияние краевых условий и деформаций сдвига на прогибы центра шарнирно опертой плиты

X

w _ = ■

h2

5D (1 — v2)

Х(Мх + Му).

На рис. 7 приведены кривые, показывающие влияние краевых условий и деформаций сдвига на прогибы центра шарнирно опертой плиты. При решнии задачи методом электроаналогии ток, пропорциональный нагрузке, задавался в центральный узел сетки

моментов. Каждая сетка имела размеры 14 X 14 шагов. Прогиб центра плиты при задании контурных условий по обычной

pb2

теории изгиба оказался равным 0,0119    , что незначительно отличается от теоретического значения wTeop = 0,0116

Полный прогиб толстой плиты выражается формулой

ш = (1 +K1 + Kjwmt0p,

где коэффициент К\ характеризует влияние краевых условий и Ki — влияние деформации сдвига. С увеличением толщины плиты дополнительный прогиб, вызываемый краевыми условиями, возрастает почти линейно, в то время как закон возрастания прогиба сдвига близок к параболическому. При отношении -g-коэффициент Ki превышает /Сг- Суммарный дополнительный прогиб при — <4 вдвое превышает прогиб, полученный по обычной h

теории изгиба. Расчетные изгибающие моменты за счет влияния краевых условий при этом увеличиваются на 30%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Глинка Е., Ландау Н., Пашкис В. Автоматическое сеточное моделирующее устройство для решения бигармонического уравнения (русский перевод). М., Изд. иностр. лит. Труды американского общества инже-неров-механиков «Прикладная механика», т. 30, серия Е, № 1, март 1963, стр. 130—138.

35з

23 Заказ 1148

2.    Л я в А. Математическая теория упругости. ОНТИ, 1935, стр. 674

3.    Медовиков А. И. Решение плоской смешанной задачи теории упругости методом электромеделирования функции напряжений. Труды первой межвузовской научно-технической конференции по электрическому моделированию, изд-во Новочеркасского политехнического института, 1960, стр. 63—70.

4.    Медовиков А. И. К вопросу об учете деформаций сдвига при изгибе плит. Труды VI Всесоюзной конференции по пластинам и оболочкам. М., «Наука», 1966, стр. 627.

5.    Медовиков А. И. Некоторые вопросы уточненной теории изгиба плит. Прикладная механика, т. 3; вып. 5, Киев, 1967, стр. 82—86.

6.    Николаев Н. С. Сеточные электромодели типа ЭИС-1 и УСМ-1. Труды Всесоюзного совещания «Аналоговые методы и средства решения краевых задач. Киев, «Наукова думка», 1964, стр. 27—45.

7.    Предтеченский Н. Д. Решение плоской задачи теории упругости на электрических моделях. В сб. «Поляризационно-оптический метод исследо-дования напряжений» Институт машиноведения АН СССР. М., изд. АН СССР, 1956, стр. 59—84.

8.    ПапковичП. Ф. Теория упругости. М.— Л., Оборонгиз, 1939, стр. 639.

9.    С т е п а н о в А. Е. Моделирование плоской задачи теории упругости на квазианалоговой сетке. Труды Всесоюзного совещания «Аналоговые методы и средства решения краевых задач». Киев, «Наукова думка», 1964, стр. 122—127.

10.    Т и м о ш е н к о С. П., В о й и о в с к и й - К р и г е р С. Пластинки и оболочки. М., Физматгиз, 1963, стр. 635.