АНАЛОГОВОЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЕ УСТРОЙСТВО ДЛЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ЕДИНИЧНОГО КРУГА НА ОДНОСВЯЗНУЮ ОБЛАСТЬ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

АНАЛОГОВОЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЕ УСТРОЙСТВО ДЛЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ЕДИНИЧНОГО КРУГА НА ОДНОСВЯЗНУЮ ОБЛАСТЬ

Большой круг задач математической физики (например, гармоническая и бигармоническая проблемы) может быть с успехом решен, если известна функция, осуществляющая конформное преобразование внутренности или внешности единичного круга на заданную односвязную конечную или бесконечную область.

Если исследуемая область ограничена простым замкнутым контуром L, то указанное конформное преобразование можно построить с помощью прибора, позволяющего получать граничные значения отображающей функции в виде двух электрических сигналов, моделирующих контурные значения ее действительной и коэффициента при мнимой части.

Устройство (рис. 1) состоит из электронно-лучевой трубки 1У фотоэлемента 3, суммирующих усилителей 4, 3, 7, блоков перемножения 5, 8, 9, 10, генератора 11, дающего два сдвинутых на 354

зх

-^-колебания sin ant (выход а) и cos aKt (выход 6), и гармонического фазовращателя 12, имеющего комплексный коэффициент передачи для частот гармонического спектра мсо„ (п = 1, 2,..., т):

Кя = -* = в~^,    (1)

причем коэффициент усиления при нулевой частоте /Со — некоторое конечное действительное число.

Задание контура L исследуемой области осуществляется наложением на экран трубки 1 непрозрачной маски 2, край

которой геометрически подобен контуру L. Маска может затемнять внутренность (как показано на рис. 1) или внешность L, что принципиально несущественно.

Предположим, что контур L является звездным относительно некоторой внутренней точки О, т. е. кривая L в системе полярных координат с полюсом в точке О может быть представлена уравнением г =г(ф) с помощью однозначной функции г. Поместим начало координат комплексной плоскости z = х + iy> на которой расположена исследуемая область, в точке О, т. е. совместим образ О на непрозрачной маске с нулевым положением флуоресцирующего пятна на экране. При этом ориентируем маску так, чтобы образ оси ОХ совпадал с направлением отклонения пятна горизонтально отклоняющими пластинами трубки.

Информация о заданном контуре будет восприниматься прибором с помощью фотоэлектронного функционального преобра-23*    355 зователя замкнутого типа (фотоформера), имеющего не линейную, а круговую развертку в отличие от получивших распространение устройств этого типа.

Предположим, что в процессе работы функционального преобразователя электронный луч (флуоресцирующее пятно), находясь одновременно под воздействием напряжений круговой развертки и фотоэлектронной следящей системы, будет непрерывно обходить край маски все время в одном направлении в соответствии с некоторым периодическим законом. При этом возможны построения нескольких вариантов соответствия между областями, границами которых являются единичная окружность и замкнутая кривая L.

Построим отображения единичного круга на конечную область. Для этого нормируем конформное преобразование круга |£| ^ 1 плоскости £ = g + щ (рис. 2) на область S с помощью функции

z = (*)£    (2)

следующим образом:

со (0) = 0;    (3)

arg и' (0) == а0,    (4)

где а0 — действительное число.

Тогда в соответствии с теоремой Римана (1) отображение, осуществляемое функцией (2), будет единственным.

Обозначим через Ux напряжение, снимаемое с выхода усилителя 4 (рис. 1), и через Vx— напряжение, снимаемое с гармонического фазовращателя 12. Распорядимся законами произведений таким образом, чтобы напряжения, подаваемые на горизонтально и вертикально отклоняющие пластины электронно-лучевой трубки 1 с блоков суммирования 6, 7, были пропорциональны следующим равенствам:

х = Ux cos cox t — Vx sin (V; у = Vx cos (ox/ + Ux sin (o^. (    ^

Равенства (5) устанавливают соотношения между неподвижными декартовыми координатами точки Мх(х, у) и координатами той же точки (C/iVi), вращающимися с угловой скоростью coi (рис. 2).

Периодическое напряжение Ux можно представить в виде тригонометрического ряда, который запишем в следующем виде:

ОО

= с[ + 2 СК cos [(к — 1) (0хг + ук],

/с=2

где ук — начальная фаза гармоники.

В соответствии с выражением (1) на выходе гармонического фазовращателя 12 получим напряжение (при допущении, что т -> сю)

оо

Vt = к0с[ + 2 ск sin [(к — 1) «#!< + Y*] •    (7)

к=2

Напряжения на пластинах х и у можно определить, подста-

Рис. 2. Соотношения между неподвижными декартовыми координатами точки Mi(x, у) и координатами UXVX той же точки, вращающимися со скоростью (Oi

вив выражения (6) и (7) в равенства (5). После преобразований получим

оо

х = ^ cos    + yJ;    (8)

к= 1

00

У = 2 sin (к©,* + Yk)>    (9)

АС = 1

где

Yi = arctg /с0;

£i = £i К1 “Ь •

Докажем, что напряжения х и г/ моделируют граничные значения искомой конформно отображающей функции.

Для этого представим равенства (8) как действительную

357

часть (х) и коэффициент при мнимой части (у) некоторой комплексной функции z действительного аргумента coit:

оо

2 = X + iy = 2 ск [cos (ксо^ + ук) + I sin (ш^ + ук)] =

ОО    оо

- V v«"*.'+v.) _ 2 D.C-,    (10)

к= 1    к= 1

(П)

где

a = ei(i>'t; DK = ак + фк; ак — ск cos ук;    = cKsinvK.

Примем, что od\t— полярный угол точки т окружности = 1. Так как ряд (10) сходится для всех точек окружности = 1, то его можно представить как граничное значение ряда

еилора:

(12)

К= 1

где

/0)^


1 = ре

сходящегося согласно теоремы Абеля в любой точке круга ’ £ < 1. Отсюда следует аналитичность функции (12) в круге £ < 1, так как она представима суммой степенного ряда в круге его сходимости [1].

Из принятого допущения о непрерывности движения флуоресцирующего пятна вдоль края маски (точки М по контуру L) следует, что функцией (12) установлено взаимно однозначное соответствие между окружностью |£| = 1 и контуром L. Следовательно, в соответствии с принципом соответствия границ [1] функция (12) осуществляет конформное отображение круга |£| <1 на заданную конечную односвязную область 5, а выражения (8) представляют собой граничные значения действительной и коэффициента при мнимой части конформно отображающей функции (12), что и требовалось доказать.

При этом выполняются условия (3) и (4) нормирования конформного отображения, причем

(13)

а0 — arc tg к0.

В частности, при к0 = 0 направление вещественной оси Og плоскости £ перейдет в начале координат О плоскости z в направление оси ОХ.

Аналогично можно построить отображение единичного круга на внешнюю область, ограниченную кривой. Для этого с помощью функции (2) нормируем конформное преобразование 358

круга |£| < 1 (рис. 2) на область S', содержащую бесконечно удаленную точку, следующим образом:

limco(Q = oo;    (14)

lim arc со' (£) £2 = а0,    (15)

Ъг+О

где а0 — действительное число.

Распорядимся знаками произведений в блоках перемножения 5, <3, 9, 10 (рис. 1) таким образом, чтобы напряжения на горизонтально и вертикально отклоняющих пластинах удовлетворяли равенствам;

х = U2 cos (o±t + V2 sin со^; |    ^g^

y = V2 COSCO^—t/gSmCD^. J

Периодическое напряжение (/2 представим в виде тригонометрического ряда, который для удобства запишем в следующем виде:

00

(17)

(18)

(19)

(20)

b\ = cLi + 2 СКcos [(/с + 1) (Ojt + yJ.

к=0

Тогда

СО

V2 = к0с-1 + ^ скsin [(/с + 1) (Ojt + YkJ •

к=0

Подставляя (17) и (18) в равенства (16), получим

00

х = с_, cos (<»!* — Yi) + 2 с« cos (к®1* +

К=0 ОО

У = —с_! sin (<V — Y_i) + 2 sin (K“i* + V*)»

к=0

где    _

c-i = с-1    1 + Ко;|

Y-i — arctg/c0. 1

Представим равенства (19) как действительную часть (х) и коэффициент при мнимой части (у) комплексной функции действительного аргумента coi (0:

z — х + iy = c_i [cos (о)^ — y-i) —г sin (®i^ — Y—О! +

+ 2 lcos (K<V + VJ + i sin (/c<V + yk)1 =

k=0

= D^cr-i + ]£    (21)

AC=0

o = ei(0»*; ак = ск cosyK;

где


DK = ал + фк; рл = с* sin ук.

Как и в случае конечной области, примем, что coit — полярный угол точки т окружности |£| = 1.

Тогда выражение (21) можно представить как граничное значение некоторой функции, представимой рядом Лорана:

оо

z = D_1r1+2Z)^,    (22>

«=о

определенной и однозначной для всех |£| < 1, кроме £ = 0, где она имеет простой полюс, и, очевидно, аналитический для тех же I.

В рассматриваемом случае справедлив принцип соответствия границ [1], следовательно, функция (22) осуществляет конформное отображение круга |£| = 1 на заданную бесконечную область S' с отверстием, а напряжения (19) на горизонтально и вертикально отклоняющих пластинах моделируют соответствующие граничные значения отображающей функции (22). При этом выполняются условия (14), (15) нормирования конформного преобразования, причем для а0 остается справедливым выражение (13).

Заметим, что при обходе точки т по окружности |£| = 1 против часовой стрелки аффикс соответствующего значения z (точка Мi) будет перемещаться по L в обратном направлении (рис. 2).

Если нам удалось отобразить единичный круг |£| <1 на односвязную область 5, то мы всегда сможем отобразить на эту же область и бесконечную плоскость с круговым отверстием |£| > 1. Для этого необходимо произвести подстановку

&=~.    (23)

Ъ1

т. е. когда £ описывает круг |£| < 1, то £i — круг |£| > 1. Следовательно, функция z = со будет осуществлять требуемое отображение.

х = Uz cos сo2t — Vs sin со2/; у = — Vz cos co2t — U3 sin со2t,

Можно показать, что для моделирования с помощью описываемого прибора граничных значений функции, конформно отображающей бесконечную плоскость с круговым отверстием единичного радиуса на конечную область 5, необходимо, чтобы на отклоняющих пластинах формировались напряжения, удовлетворяющие

а при отображении на область S', содержащую бесконечна удаленную точку,— равенствам

X = £/4 COS (£>2t -f V4 sin C022f; j    ^

у = — V4 COS C02t + i/4 sin (d2t. j

Следует отметить, что с помощью прибора возможно построение для всех рассмотренных случаев конформного отображения второго рода. Для этого необходимо осуществить преобразование w = 2, производящееся инвертированием напряжения у.

Произведенные эксперименты на аналоговых вычислительных машинах МН-7 и ЭМУ-10 показали, что точность конформного преобразования, осуществляемого описываемым устройством, лежит в пределах точности используемых устройств.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаврентьев М. А., и Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., Физматгиз, 1958, стр. 678.

Г. И. Васильев, В. В. Ильин, И. Б. Новиков, Е. Г. Сно, Р. П. Тевелева