АВТОМАТИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ УСТРОЙСТВА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОМИЧЕСКИХ СЕТКАХ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

АВТОМАТИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ УСТРОЙСТВА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОМИЧЕСКИХ СЕТКАХ

За последние годы в отечественной и зарубежной практике решения нестационарных тепловых задач широкое распространение получил метод, основанный на электрическом моделировании неявной конечно-разностной формы уравнения теплопроводности на R-сетках.

Описанные в литературе моделирующие устройства, реализующие этот метод [2, 3], требуют для своего функционирования большого количества ручных манипуляций и поэтому в ряде случаев применение метода становится неэффективным.

Авторами предлагается два типа электронных устройств, позволяющих решить проблему автоматизации процесса моделирования на R-сетках.

Суть автоматизации процесса моделирования внутренней задачи нестационарной теплопроводности в устройстве первого типа заключается в том, что для каждой узловой точки R-сетки используется система, состоящая из одного решающего усилителя постоянного тока УПТ и двух элементов памяти на конденсаторах. На рис. 1 показана упрощенная принципиальная схема такого устройства для решения одномерной задачи

Рис. 1. Принципиальная схема автоматического моделирующего устройства на базе УПТ и запоминающих конденсаторов

нестационарной теплопроводности с граничным условием III рода и с учетом излучения на внешней поверхности.

Рассмотрим автоматический процесс моделирования теплопроводности в узловой точке m с координатой х = т-Ах. Напряжение постоянного тока £/Ш)0, соответствующее начальной температуре, подается от делителя напряжения начального условия ДНУ через контакты реле Pi в узловую точку и запоминается на конденсаторе С{ (в начальный момент конденсатор С2 разряжен). Затем конденсатор С\ с помощью электромеха-362

нического или электронного реле Р2 (на рис. 1 для простоты всюду изо»бражены контакты электромеханических реле) отключается от узловой точки и подключается в обратную связь УПТ, обусловливая на его выходе напряжение t/m.о- Одновременно конденсатор С2 переключается из цепи обратной связи УПТ к узловой точке и запоминает возникшее на ней напряжение £/w> 1, соответствующее температуре в конце первого интервала времени Ат. Далее процесс переключения конденсаторов Сь С2 повторяется необходимое число раз, причем каждый из них поочередно запоминает напряжение в узловой точке £/m>nи переносит его при переключении в УПТ.

Переключение реле Р2 осуществляется от источника импульсов, находящегося в блоке управления БУ моделирующего устройства. Конденсатор, включенный в обратную связь УПТ и предотвращающий ее разрыв в момент переключения конденсаторов Сь С2, имеет пренебрежимо малую емкость по сравнению с емкостями Сь С2 и практически не влияет на точность решения. Коммутация переключающей схемы осуществлена так, что напряжение на выходе усилителя имеет всегда один и тот же знак. Из-за этого отпадает необходимость в дополнительном инвертирующем усилителе, что делает решающую схему исключительно простой20.

В такт с переключением конденсаторов Сь С2, но с некоторой задержкой автоматически подводятся граничные условия, соответствующие текущему моменту времени пАт. Ступенчатая выдача граничных условий управляется импульсами от БУ. Временная диаграмма поступления управляющих импульсов БУ представлена на рис. 2.

Задание граничных условий III рода с учетом излучения на внешней поверхности производится в соответствии с уравнением

q^ = a(x)[Te(x) — Tw] — EaT^,    (1)

где — удельный тепловой поток, проходящий через поверхность;

Те — температура внешней среды;

Tw —температура поверхности;

6 — степень черноты поверхности; а— постоянная Стефана-Больцмана.

При использовании R-сеток температура моделируется напряжением, а удельный тепловой поток—силой тока. Максимальной температуре стенки соответствует напряжение +100 в.у т. е. верхний предел диапазона линейности УПТ, входящего в состав решающего элемента R-сетки. Поскольку максимум

температуры Те обычно во много раз превышает максимум температуры в стенке, то ее моделирование в этом же масштабе становится технически неприемлемым. Поэтому в вычислительном устройстве граничное условие (1) задается аналоговой структурной схемой, элементы которой отрабатывают все математические операции в напряжениях, а результат qа через управляемый стабилизатор тока УСТ, выполняющий преобразование «напряжение — ток», подается в граничную узловую точку R-сетки. Практически выгоднее моделировать видоизмененную форму уравнения (1):

<7s = (аТе) (т) — a W Tw — гоТ*,,    (2)

так как при этом устраняются большие погрешности в блоке перемножения, когда перемножаемые функции а(т) и Те(т) — Tw значительно отличаются по абсолютным величинам.

Рис. 2. Временная диаграмма выдачи управляющих импульсов БУ:

1 — переключение запоминающих и задающих конденсаторов; 2 — подача граничных условий

Блок-схема задания граничного условия в форме уравнения (2) представлена на рис. 1.

Зависимости (аТе) (т) и а(т) являются известными функциями времени и задаются с помощью блоков переменных функций БПФ. Поскольку в граничном условии содержится величина, получающаяся в процессе самого решения задачи, то в блок-схеме предусмотрена обратная связь между граничной узловой точкой R-сетки и элементами структурной схемы, моделирующей уравнение (2), через развязывающий усилитель РУ.

Правильное соотношение величин (аТе)(х),    —a(x)TWy

—еоТуг , максимумы которых моделируются напряжениями, равными +100 в, устанавливается перед входом на сумматор введением масштабных коэффициентов Ки ^2, Кг-

В случае граничных условий II рода блок-схема упрощается: известный по времени тепловой поток задается посредством 364 одного БПФ в виде напряжения и через УСТ подается в граничную узловую точку Я-сетки.

В случае граничных условий I рода потребность в УСТ пропадает, известная по времени температура поверхности задается БПФ и подается в виде напряжения непосредственно в граничную узловую точку.

Малая инерционность элементов моделирующего устройства позволяет резко увеличить быстродействие решения4 задач нестационарной теплопроводности на ^-сетках.

В экспериментальном устройстве описанного типа в качестве элементов памяти Сь С2 были применены металлопленочные конденсаторы МПГТ емкостью 1 мкф, обладающие высоким сопротивлением утечки. В обратной связи УПТ использован конденсатор типа КСО емкостью 510 пф. Переключение конденсаторов Сь С2 осуществлялось посредством электромеханических реле типа РС-13. Такая система позволила получить частоту переключений 20 гц. Следовательно, продолжительность решения задачи с числом временных интервалов Ат, равным 50, составляет 2,5 сек. Применение бесконтактных электронных переключающих схем при соответствующем выборе величин емкостей Си С2 и С3 позволит еще в большей степени увеличить быстродействие описываемого моделирующего устройства.

При замедленном цикле моделирования результаты решения в фиксированных точках пространственной координаты при изменении временной координаты регистрируются на ленте электронного цифрового печатающего вольтметра ЭЦПВ.

Для опроса узловых точек по пространственной координате автоматический процесс моделирования может быть остановлен по запрограммированному импульсу от БУ на любом шаге решения.

Число интервалов Ат регистрируется счетчиком электрических импульсов. Опрос точек производится коммутатором К. При остановке возможна любая коррекция #-сетки с сохранением полученного на данном шаге результата решения. В этом случае по команде с КУ срабатывает реле Я3. Контакты 1Р3 отключают из обратной связи УПТ задающий конденсатор, который переходит в режим запоминания, и подключают сопро тивление г = 100 ком, предотвращающее интегрирование дрейфа нуля. Контакты 2Р3 отключают запоминающий конденсатор от узловой точки.

После коррекции решение может быть продолжено после возврата системы в прежнее состояние.

В тех случаях, когда изменение теплофизических свойств материала при изменении температуры обусловливается в основном зависимостью удельной теплоемкости от температуры или когда изменение коэффициента теплопроводности К от температуры относительно мало в течение интервала времени Ат [2]:

а также когда при расчетах приходится пользоваться эквивалентной температуропроводностью a9Ke = f(T), например, в случае экзотермических и эндотермических превращений внутри материала сложного химического состава учет указанных явлений при моделировании на ^-сетках производят обычно перерегулировкой одних лишь сопротивлений Rom [1]. В описываемом моделирующем устройстве эти явления могут быть учтены в процессе автоматического цикла решения без коррекции i^-сетки. Для этого в цепь между узловыми точками и запоминающими конденсаторами вводятся электронные нелинейные блокиНБК, которые учитывают изменения теплофизических свойств соответствующей коррекцией напряжения в точках Кт сопротивлений Rom на следующем интервале времени Ат.

Приборная погрешность устройства без схемы задания граничных условий III рода составляет около 1%. Погрешность моделирования контрольных задач по сравнению с решениями на цифровой машине М-20 (относительно максимальной температуры стенки) соответственно равна: при решении задач с граничными условиями I и II родов 2—3%, при решении с граничными условиями III рода 3—5%. Основными источниками погрешности являются дрейф нуля усилителей и качество настройки элементов схемы задания граничных условий.

Малая продолжительность цикла решения позволила впервые в практике моделирования на R-сетках получить решения с периодизацией, что дает возможность наблюдать на экране электронного осциллографа вариации решения задачи.

На примере устройства первого типа видно, что использование типичных аналоговых средств (УПТ, БН, БП и т. п.) для целей автоматизации метода хотя и дает возможность во много раз увеличить скорость решения на R-сетках, однако не позволяет практически преодолеть барьер «инженерной» точности расчетов методами моделирования и получить погрешности решения менее 2%.

В тепловых задачах с большим диапазоном максимальных температур, с которыми в настоящее время приходится сталкиваться инженерам, указанная погрешность составляет десятки и сотни градусов. Этот класс задач можно решать с достаточной степенью точности на цифровых быстродействующих машинах, однако по сравнению с моделирующими устройствами последние обладают существенным недостатком — большой трудоемкостью программирования.

Предлагаемое ниже автоматическое быстродействующее аналого-цифровое устройство21 позволяет получать точность моделирования, приближающуюся к точности решений тепловых задач на цифровых быстродействующих машинах дискретного типа.

На рис. 3 представлена блок-схема такого устройства. В качестве задающих и запоминающих элементов для каждой узловой точки ^?-сетки применены два преобразователя «код — аналог» (К—А), поочередно работающие в режиме запоминания и задания напряжений. Остальные блоки являются общими для всех узловых точек. Принцип действия устройства заключается в следующем. Преобразователь «аналог — код» (А—К) с помощью коммутатора узловых точек К\, управляемого генератором Г, опрашивает последовательно все узловые точки и выдает через ключ Клх на коммутатор К2 коды, пропорциональные напряжениям Um>n. Эти коды с выхода коммутатора синхронно подаются на преобразователи К— Ах соответствующих узловых точек. После прихода кода на выходах преобразователей К— Ах устанавливаются напряжения £/m>n. Как только все узловые точки будут опрошены, с делителя частоты ЦЧ поступает импульс, перебрасывающий триггер управления ТУ в другое состояние. В свою очередь, этот триггер через двухпозиционные ключи Клъ подключает преобразователи К— Ах с напряжениями иШ}П на выходах к точкам Кт сопротивлений Rom. К выходу преобразователя А — К через ключКл2 и коммутатор Кз подключаются преобразователи К— А2 для запоминания напряжений Um, п+\ в узловых точках /?-сетки. В такт с работой триггера ТгУ с блока граничных условий БГУ, управляемого делителем частоты ДЧ, к граничной узловой точке подается соответствующее значение граничной функции.

Ключевые элементы в преобразователях К — А\ и К — А2 должны иметь блокировку, необходимую для того, чтобы преобразователи могли работать как элементы памяти, т. е. могли запоминать и поддерживать напряжение в точках Km на время опроса всех узловых точек коммутатором К\.

Использование преобразователей К — А позволяет получить высокую точность запоминания и поддержания напряжения (порядка 0,03%) [6].

Изменения теплофизических свойств материала стенки при изменении температуры могут учитываться в процессе автоматического цикла решения, как и в моделирующем устройстве первого типа, с помощью нелинейного блока коррекции НБК. Если стенка однослойная, то в отличие от устройства первого типа потребуется лишь один блок НБК, стоящий между комму-

татором К\ и преобразователем А — К, как показано на рис. 3. В случае многослойной стенки необходимое количество блоков НБК может быть поставлено на соответствующих входах коммутатора К\.

Описанный принцип автоматизации был экспериментально проверен, причем в качестве аналого-кодового преобразователя

Рис. 3. Принципиальная схема автоматического аналого-цифрового устройства

использовался электронный цифровой регистратор ЭЦР-1. Погрешность регистратора составляет 0,1%. В приборе имеется встроенный релейный коммутатор на 20 точек, позволяющий осуществлять до 20 переключений в секунду. Запись результатов осуществлялась на цифропечатающей машинке ЦПМ-2. Преобразователи К—4 были изготовлены с точностью 0,1%. При соответствующей точности подачи граничных условий I рода погрешность моделирования составила менее 0,5% по сравнению с аналитическим решением.

Значительное увеличение быстродействия моделирующего устройства данного типа можно получить, применяя бесконтактные переключающие элементы.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Дроздов Е. А., Пятибратов А. П. Автоматическое преобразование и кодирование информации. М., «Сов. радио», 1964.

2.    Коз д оба Л. А. Применение сеток сопротивлений для решения задач нестационарной теплопроводности. ИФЖ, № 7, 1960.

3.    L i е b m а п п. G. Solution of transiest heat-transfer problems by the resistance — netnork analog method. Trans. ASME, 78, № 6, 1956.

В. E. Бухман