СТАТИЧЕСКИЙ ЭЛЕКТРОИНТЕГРАТОР (ПРОМЫШЛЕННЫЙ ОБРАЗЕЦ) И ОПЫТ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

СТАТИЧЕСКИЙ ЭЛЕКТРОИНТЕГРАТОР (ПРОМЫШЛЕННЫЙ ОБРАЗЕЦ) И ОПЫТ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ

Статический электроинтегратор СЭИ предназначен для решения нелинейных задач физики и техники, сводящихся к уравнениям теплопроводности [10]. Прибор может применяться при определении температурных полей в блоках массовых бетонных сооружений типа плотин [2], выборе оптимальной толщины теплозащитных покрытий [3, 4], нахождении теплофизических характеристик вещества по известному температурному полю («обратная задача»), решении следующих задач: теории пограничного слоя [6, 8, 9], переноса нейтронов в ядерных реакторах [7], фильтрации жидкости [5], промерзания грунтов и др., а также может быть полезным для различных учебных и методических целей.

Принцип действия интегратора основан на воспроизведении исходных дифференциальных уравнений с помощью электрической схемы конечно-разностной аппроксимации (пространственной и временной). Квантование времени позволяет сравнительно легко решать уравнения с коэффициентами, зависящими от функции или координат, учитывать переменные стоки или истоки, осуществлять различные граничные условия, активно контролировать ход вычислений и т. п.

Существенным отличием статического интегратора от других устройств подобного типа является:

1.    Применение предварительного преобразования области всех возможных значений функции U в другую область L* с учетом изменения коэффициентов. Переход L*->L осуществляется без участия оператора.

2.    Использование одного решающего элемента, составленного из ограниченного числа омических сопротивлений в соответствии с выбранным разностным оператором.

Решение ведется путем последовательного обхода счетным элементом всех узловых точек пространственной области задания функции, представленной в интеграторе потенциалами. Блок-схема статического электроинтегратора приведена на рис. 1. Питание интегратора осуществляется от трех гальванически не связанных регулируемых источников. Напряжения источников питания снимаются с отдельных обмоток силового трансформатора, выпрямители собраны по мостовым схемам на полупроводниковых диодах.

В блок дискретных потенциометров входят два функциональных и один линейный дискретные делители высокой разрешаю-

щей способности с отводами на общее коммутационное поле. Коммутационное поле собрано из 50 рамок типа РКГ, содержащих 1000 трехконтактных гнезд, посредством которых на лицевую панель выводятся все потенциалы делителей. Решающий элемент состоит из набора декадных сопротивлений, включаемых определенным образом в зависимости от используемой конечно-разностной схемы.

На свободные концы решающего элемента с помощью штек-керов с гибкими шнурами задаются с коммутационной панели

Рис. 1. Блок-схема статического электроинтегратора

потенциалы, представляющие собой значения функции в соответствующих узловых точках области. Потенциал в узле решающего элемента, пропорциональный (или равный) искомой величине, отыскивается с помощью нуль-прибора, расположенного на коммутационной панели. Результат решения можно получить также с помощью цифрового вольтметра, подключаемого отдельно, или блока автоматического поиска, встроенного в интегратор.

Блок автоматического поиска (рис. 2) состоит из реохорда с плавно перемещающимся движком, кинематически связанного с ним реверсивного электродвигателя, счетчика числа оборотов и электронного усилителя. Напряжения, снимаемые с подвижного контакта реохорда и узла решающего элемента, подаются на вход усилителя, куда включено поляризованное реле РП-4, питаемое от сети. С выхода реле снимаются прямоугольные импульсы и подаются на сетку первой лампы усилителя. После усиления и преобразования в синусоидальную форму сигнал поступает на вход электродвигателя. Изменение полярности напряжения разбалансировки переворачивает фазу усиливаемого сигнала. На вторую обмотку электродвигателя подается 386

Рис. 2. Блок питания и автоматического поиска:


Слева направо расположены: счетчик числа оборотов реохорда, реверсивный двигатель, реохорд, трансформатор питания


Рис. 3 Статический электроинтегратор (вид спереди). Вверху — рукоятки сопротивлений решающего элемента, в средней части панели — шкала автоматического поиска и тумблера, в нижней части — коммутационное поле, выдвижной нуль-гальванометр, штеккеры с гибкими шнурами, переключатели рода работы и схем решающего элемента


тгттгггпгт

Рис. 4. Статический электроинтегратор (вид сзади), крышка снята.

Рис. 5. Функциональный потенциометр с лицевой стороны

В центральной части расположены блок питания и автоматического поиска, слева и справа — функциональные потенциометры

напряжение от сети. В зависимости от фазы сигнала двигатель вращает вал реохорда так, чтобы подвижный контакт передвигался в сторону уменьшения напряжения разбалансировки. Вследствие линейности реохорда снимаемое с его движка напряжение будет пропорционально показаниям шкалы счетчика.

Фотография статического электроинтегратора приведена на рис. 3 и 4. На лицевой панели размещено коммутационное поле, магазины сопротивлений решающего элемента, шкала автоматического поиска, гибкие шнуры со штеккерами, переключатели схем и рода работы. После съема боковых крышек открывается доступ к функциональным потенциометрам (рис. 5), которые собраны из последовательно соединенных переменных сопротивлений, выполненных на специальных гребенчатых каркасах с пазами, куда укладывается константановая проволока. При перемещении движков с пружинной перемычкой меняется рабочая длина константанового провода в пазах каркаса и таким образом плавно регулируются сопротивления каждой ячейки. На лицевой стороне функциональных блоков имеется гравировка, указывающая номер сопротивления, соответствующий нумерации на коммутационной панели. Требуемая функциональная зависимость устанавливается изменением сопротивлений отдельных секций потенциометров и регулировкой питающего тока. Рассмотрим решение нелинейного уравнения

d4J_ дх2


8U

dt


= a(U)


(1)


при начальных и граничных условиях:

17(0,0 = 0; U (/, 0 = 1; U(x,0) = U(x); a = a(U).

Запишем уравнение (1) в явном конечно-разностном виде

(2)

Vn,k+l-Vn,k _    1 у (V)\Un-l,k-2Un,k + Un+l,k~

At    т    1    Ах2

/= 1 L J

U n,k+i — Un,k N

где

т =

N = 0,001—наименьшее изменение функции, при котором учитывается изменение коэффициентов.

Если на функциональном потенциометре Я2 (рис. 6, а) заранее задана зависимость a = a(U), то в момент отсутствия тока через нуль-гальванометр при одинаковых сопротивлениях решающего элементаRn-i,k = Rn,k = Rn+\,k получим

3


= — Улю


'n,k+1


Y n,k


(3)


At


_ Vn,k-fi — Vn,k .

где

~    N

N = 0,001 —шаг деления напряжения, приложенного к концам дискретного потенциометра.

R    *п-1.н

Rn-i,k R

Ю

(4)

а)

Рис. 6. Принципиальная электрическая схема статического электроинтегратора:

а, б, в — включения сопротивлений решающего элемента для моделирования уравнений (2), (9) и (12) соответственно; Я1 — линейный потенциометр;

Я2 и Я3 — функциональные

Сравнивая уравнения (2) и (3), найдем

т

V а,- (£/) Д/

1=1_= J_

т    0 *

Д x^dt(V)

/=1

Так как условие щ(1!) ~ di(U) выполняется для любого значения функции, то уравнение (3) является аналогом уравнения (2).

При переходе к двухмерным задачам

d4J_ I

дуг J

ди

dt

число сопротивлений решающего элемента увеличивается до пяти. Если вид зависимости коэффициента а = a(U) не изменился, то производить новую регулировку функционального потенциометра нет необходимости.

Одним из недостатков классической явной схемы (2) является ограничение

aAt ^ 1 Ал:2 ^ 2 ’

(6)

налагаемое условием устойчивости, что значительно затрудняет исследование участков поля, где функция меняется медленно. Применив неявную конечно-разностную схему

^n,k Un,k—\ At


Un-1 ,k ~~    n,k + Ufl+l ,k


(7)


= а


Ax2


устойчивую при любых значениях

(8)

aAt _ 1

Ах2 “ ~М 9

можно добиться существенного ускорения процесса вычислений.

Однако реализация схемы (7) на аналоговых вычислительных устройствах связана с рядом серьезных трудностей [11]. Для каждой конкретной задачи требуется создание новой сетки из многих десятков (и даже сотен) сопротивлений. Это относится прежде всего к многомерным задачам с переменными коэффициентами (особенно с зависящими от функции) при наличии источников и стоков, сложных контуров области и т. д.

Если в уравнении (2) член Un,k заменить полусуммой [1]

Un,k+l + Un,k-1 -2-’

то получим

Un-l.k-W-')Un.k + Un+l,k

М-f 1


(9)


Un,k+1


Разностное уравнение (9), явное по структуре, обладает свойством неявной схемы и устойчиво для всех М > 0. Это обстоятельство позволяет варьировать временным интервалом в широких пределах при фиксированном шаге по координате. Для моделирования разностного уравнения (9) в схеме решающего элемента делаются переключения согласно рис. 6, б. В этом случае справедливо равенство

*п+г ($k-i + Rk+i) Vn-i ,k + Rn-i (Rk-i + ^ft+i) vn,k ~~

_~~%H (*„-! +    Vn,k-1__

Rn-i (Rn+i + *n-i)


Vn.


. (10)


*-Н


Условия моделирования получаются из сравнения уравнений (9) и (10):

Rn+i(Rk-\ + Rk+\) = 1; Rk+1 = 1;    (П)

Rn-\ (Rk-1 + Rk+i) = 1; Ял-i (Rn.—i + Rn+i) = (1 + Щ-

Для вычислений по схеме (9) необходимо иметь распределение функции по координате для нескольких интервалов времени At, полученные каким-либо другим способом (например, по классической явной схеме). Переход к цилиндрической и сферической симметриям связан только с изменением отношения сопротивлений решающего элемента при перемещении по области.

Для уменьшения погрешности аппроксимации можно воспользоваться, например, двухслойной разностной схемой [12]

Un.k+i - un,k =    - -Lj ({/„_, ik - 2Un,k + Un+Uk) -

- ~ 1?) - 2Un’k~l + Un^ <12>

с ошибкой аппроксимации 0(Д/2, Да:4) и устойчивой при

м = — = v3-

аМ

Если соединить решающий элемент по схеме рис. 6, в, то получим

(Vn-


) ^k—\ (2^3 + ^1^2 + ЙЛ)


l,k-\ ~r Vn-\-1, fc+1


(13)


Rn (2R2R3 4- ^1^2 “b R1R3)


Сравнивая уравнения (12) и (13), получим:

R2R3 (2Rk-\-i + Rn) — 18 — M;

R,R2 (2Rk+\ + Rn) = 12M - 2 (18 - Af);

R1R2(2Rk+l + Rn) = 2(6-M);

Rk+i (2R2R3 -f- R1R2 + R1R3) — (6 — M).

Переход к другим конечно-разностным уравнениям связан только с переключениями в схеме решающего элемента. Выбор разностного оператора в каждом случае определяется требованиями, предъявляемыми условиями задачи.

Статический электроинтегратор в выполненном варианте позволяет находить решения с достаточной для многих практических случаев точностью (0,5—1,0%). Точность решения можно увеличить рациональным выбором конечно-разностной аппроксимации, переходом к более мелкому шагу сетки или применением (в случае линейных задач) различных приемов дробления разностного оператора.

392

К числу достоинств статических электроинтеграторов следует отнести возможность контролирования хода вычислений и возникающей ошибки аппроксимации (по величине четвертой производной), легкого перехода к решениям в пространство нескольких измерений, использования различных разбиений области на сетки (в общем случае неравномерные), объединения нескольких интеграторов, когда исследуемая область содержит большое число узлов. Что касается полной автоматизации процесса решения, то она не связана с принципиальными трудностями. Однако следует заметить, что в этом случае прибор может потерять основное свое преимущество — большую универсальность.

Как показал опыт, работа на интеграторе даже без применения автоматического поиска дает выигрыш в скорости счета (по сравнению со счетом на клавишных машинах) в десятки раз, особенно при решении нелинейных двухмерных и трехмерных задач.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М., Изд-во иностр. лит., 1963, стр. 487.

2.    В у л и с Л. А., Е р а х т и н Б. М., И н ю ш и н М. В., Лукьянов А. Т. Расчет теплового состояния бетонной плотины в связи с выбором рациональных методов производства работ, т. VI, № 10, 1963.

3.    Ж е р е б я т ь е в И. Ф., Лукьянов А. Т. Применение статических моделей к решению задач теории теплопроводности. В сб. «Вопросы теории и применения математического моделирования». М., «Сов. Радио», 1965.

4.    Ж е р е б я т ь е в И. Ф., Лукьянов А. Т. Решение нестационарных задач теплопроводности с фазовыми переходами при температурной зависимости коэффициентов. ИФЖ, № 6, 1964.

5.    Ж е р е б я т ь е в И. Ф., Рыкова Н. П., Лукьянов А. Т. Математическое моделирование нелинейных уравнений параболического типа. Труды II Всесоюзного совещания по тепло- и массопереносу. Минск, 1963.

6.    Ибрагимов И. И., Кашкаров В. П., ЛукьяновА. Т. О пограничном слое на движущейся непрерывной плоской поверхности. «Известия вузов. Авиационная техника». № 2, 1965.

7.    Исаев Н. У., Лукьянов А. Т. Опыт моделирования критического состояния ядерных реакторов на статических электроинтеграторах. «Изв. АН Каз.ССР. серия энергетическая», вып. 2, 16, 1959.

8.    Кашкаров В. П., Лукьянов А. Т. К расчету обтекания пластины капельной жидкостью с переменной вязкостью. «Журнал прикладной механики и технической физики», Новосибирск, № 5, 1964.

9.    ЛукьяновА. Т., ШараяС. Н. Решение задач теории пограничного слоя на статических моделях. «Вестник АН Каз.СС», № 2, 239, 1965.

10.    ЛукьяновА. Т. Специализированная статическая модель для решения нелинейных уравнений математической физики. В сб. «Вопросы теории и применения математического моделирования», М., «Сов. Радио», 1965.

11.    L i е b m a n n G. A new electrical analog method for the solution of transient heat conduction problems. Transactions of the ASME, 78, N 3, 655—665, 1956.

12.    Mann W. R., T i m 1 a k e W. P. An optimum explicit recurrence formula for the diffusion eguation Journal Elicha Metchell Scient. Soc. 1957, N 2, pp. 254—257.

Г л а в а VI. Разработка элементов

моделирующих устройств

И. Г. Винтизенко