ВОПРОСЫ ПРИМЕНЕНИЯ ABM С ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

Решение краевой задачи на АВМ состоит в отыскании недостающих начальных условий, при которых выполняются граничные условия на концах интервала интегрирования. Так, в случае задачи Дирихле заданы начальные значения напряжения лишь на интеграторе j2 (рис. 1). При решении краевой задачи необходимо подобрать такое начальное напряжение на выходе интегратора ji, чтобы напряжение на выходе интегратора J2 в конце интервала интегрирования соответствовало заданному граничному условию в точке, для которой составлено данное уравнение. Подбор недостающих начальных условий может производиться различными методами и в том числе поисковыми, использование

Рис. 1. Схема электрического моделирования одного из уравнений системы:

В схеме индексами А, 2В, С, D, Е и F обозначены устройства образования коэффициентов, индексами А и ДА — устройства образования разностных операторов первого и второго порядков соответственно

которых предполагает наличие некоторого функционала, минимум которого достигается при удовлетворении получаемого решения заданным граничным условиям.

Описанный выше метод прямых удается сравнительно легко реализовать с-помощью АВМ с операционными усилителями лишь в случае прямоугольных ограниченных или неограниченных областей. Если же требуется найти решение задачи на области, ограниченной криволинейным контуром, то среди отрезков прямых ук могут найтись такие, для которых проекции некоторых их участков на ось ОХимеют нулевые пересечения с соответствующими проекциями соседних отрезков. На таких участках моделируемая система оказывается недоопределенной. Значительные трудности возникают и при решении задач для многосвязных областей.

Расширение круга областей в рамках первого класса методов, предполагающих использование аналоговой машины для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, образуемых при замене частных производных конечными разностями, может быть достигнуто с помощью рассматриваемых ниже различных приемов и методов, касающихся самой процедуры моде-20

лирования. К их числу относятся способ сопряжения прямоугольников, метод вписывания и метод конечно-разностных операторов с переменным шагом.

Способ сопряжения многоугольников предполагает возможность разбиения заданной области на прямоугольные подобласти. Для каждой из них по вышеизложенной методике может быть проведено моделирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью средств АВТ с операционными усилителями. Условия на границах этих подобластей задаются в соответствии с их взаимным расположением. Аналогичным образом определяются моменты включения и выключения интеграторов.

Метод вписывания предполагает возможность аналитического продолжения искомого решения через границу области. Метод удобен при решении краевых задач на односвязных областях, граничный контур которых пересекается не более чем в двух точках прямыми, параллельными одной из координатных осей. Решение ищется на прямоугольнике, в который «вписывается» заданная область, так чтобы значения искомой функции, полученной при моделировании, удовлетворяли заданным на границе области. При реализации метода с помощью средств АВТ производится мгновенная выработка и запоминание значений функции решения в моменты времени, соответствующие точкам пересечения прямых, проведенных в заданной области, с граничным контуром.

Интересные возможности среди методов первого класса открывает метод разностных операторов с переменным шагом, основная идея которого состоит в том, что решение уравнения в частных производных ищется в виде некоторого семейства функций, определенных на заданной в области системе кривых. Связь между функциями этого семейства осуществляется с помощью разностных операторов с переменным шагом, поскольку расстояние между кривыми в общем случае не остается постоянным. Использование этого метода приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Возможность отыскания решения вдоль произвольного семейства криволинейных направлений существенно расширяет класс областей, на которых методами моделирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений может быть получено решение уравнений в частных производных. Применение метода конечно-разностных операторов с переменным шагом обеспечивает общий подход и единообразие при создании схем моделирования.

Действительно, пусть решение ищется в форме функций и(х, у). Если для некоторой кривой у{х), заданной в области определения этой функции, построить разностный оператор «вперед» Ai (л:) с переменным шагом [в качестве переменного шага используется функция hi(x)], то по аналогии с обычными разностными операторами оператор Ai(*) можно определить как

Дх (х) и [у (х), х] =    +

hi (а:)

Аналогично вводится разностный оператор «назад» А2(х) с переменным шагом /i2(x):

Д2 (х) и [у (х), х] =    и ty - h*(х)?х]..

А2 {х)

Разности второго порядка А, 2 {х) с переменным шагом «вперед» h\{x) и переменным шагом «назад» h2(x) выразятся следующим образом:

д2 /х\ _ 2 [ u[y(x) — h1(x),x]___и(х,у)    ,

1,2    I Hl(x)[h1(x)+h%(x))    h1(x)h2(x)

. u[y(x) — h2(x),x]    )

h2{x)[hi(x) + h2(x))}'

Нетрудно убедиться, что при постоянстве и равенстве значений h\(x) и h2(x) выражения для конечно-разностных операторов сводятся к выражениям, используемым в методе прямых.

В качестве примера, показывающего особенности применения метода конечно-разностных операторов с переменным шагом, рассмотрим вырожденный случай этого метода, относящийся к отысканию решения методов прямых на произвольной области. Пусть требуется найти решение уравнения Лапласа на некоторой односвязной области, граница которой пересекается прямыми, параллельными оси ОХ, не более чем в двух точках. Для определенности положим, что краевая задача представлена в форме задачи Дирихле, так что на границе области задана функция решения мг (х, у). Проведем в области, на которой ищется решение, прямые через одинаковые промежутки б и будем искать решение уравнения Лапласа на этих прямых. Разностные операторы с переменным шагом будут в этом случае использованы для устранения неопределенности, возникающей на участке прямых, пересечение проекций которых на ось ОХ с проекциями соседних прямых равно нулю.

Обозначим абсциссы точек пересечения прямой г/j с границей заданной области через х\ и х"{ . Уравнения, входящие в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, составляются следующим образом:

1) Уравнения имеют вид

_ d% _ g < ui+i___щ_ .    “»-1    1

dx~ I, h\ {hi ~j~ h2) h\h2 h2 {hi -f- h2) J i = 1,2,..., n

где {xj} — множество всех точек отрезка (х'. , х".).

Для интегрирования системы (3) необходимо в правые части уравнений добавить члены, дополняющие подынтегральные выражения до полного дифференциала.

2) В правую часть уравнения (3) входят функции щ+\ и Ui-ь Эти функции на некотором подмножестве {*г}, пересечения которого {xi} П {xi~i} = 0 и {**} П {*i+i} = 0, определяются как иГ (х), а в остальных точках множества {хк} —как u(yi+ь х)

и u(tji-u х). Коэффициенты hu(x) и h2i(x) на подмножестве {х^ задаются как \ут (х)—г/*|, а в остальных точках множества {Xi} — как б.

На такую систему накладываются краевые условия, заданные в точках пересечения прямых с границей области.

Порядок выполнения операций при решении эллиптических уравнений по методу разностных операторов с переменным шагом показан на ри-с. 2. Схема моделирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, дающей решение поставленной задачи, состоит из нескольких частей, каждая из которых предназначена для моделирования различных групп уравнений, определенных на отрезках различной длительности. Включение и выключение этих частей схемы моделирования производится в моменты времени, соответствующие абсциссам точек пересечения прямых с границей области (эти моменты времени указаны в кружках). Коммутация -связей между этими частями производится в -соответствии с описанным выше порядком блоками «Подпрограмма переключения». При этом в процессе интегрирования в зависимости от соотношения длительности соседних отрезков прямых в схемы моделирования тех или иных уравнений подаются либо выходы соседних схем, либо заданные граничные значения искомой функции. В связи с необходимостью решения краевой задачи процесс решения повторяется многократно при различных значениях недостающих начальных условий для выполнения заданных условий на «противоположной» границе области.

Ко второму классу методов, при использовании которых решение исходной задачи получается в результате некоторых операций, выполняемых над образуемыми в машине функциями, следует отнести методы представления решения в виде бесконечных функциональных рядов: метод разделения переменных, метод гармонических функций и метод Трефтца. Указанные методы позволяют решать разнообразные линейные уравнения в частных производных на областях произвольного вида. Будучи использованы при постановке задачи на АВМ с операционными усилителями, эти методы требуют выполнения следующих основных этапов:

to

4ь>



Установка

недостающих

начальных

условий

Рис. 2. Блок-схема выполнения операций по методу конечно-разностных операторов с переменным шагом


1)    образование членов ряда, который составляет искомое решение;

2)    определение коэффициентов в разложении граничной (начальной) функции по значениям образованных в первом этапе членов ряда на граничном контуре (в начальный момент времени) ;

3)    построение искомого решения на произвольных контурах внутри области (в произвольные моменты времени).

Главное различие между перечисленными выше методами состоит в способе образования членов ряда. Так, в случае метода разделения переменных в качестве частных решений (членов ряда) используются произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной и которые получаются в результате отыскания собственных чисел и собственных функций некоторых дифференциальных операторов. В методе гармонических функций членами ряда являются известные сферические функции. Метод Трефтца предполагает использование в виде членов ряда линейно-независимой системы частных решений заданного уравнения в частных производных. Получение такой системы производится с помощью метода прямых, причем для простоты реализации этого метода задача может быть поставлена для прямоугольника.

Сущность метода разделения переменных известна и описывается в многочисленных статьях и монографиях в качестве классического примера применения аналоговой техники для решения одномерных уравнений в частных производных.

Для иллюстрации метода гармонических функций рассмотрим последовательность решения однородного эллиптического уравнения для произвольной краевой задачи на области, ограниченной произвольным контуром. Пусть для определенности требуется решить двумерное уравнение Лапласа:

д3и , д3и _ q

а краевое условие задано в форме задачи Дирихле:

u(x,y)\r = f(x,y).

Выберем в качестве бесконечной системы функций, удовлетворяющей уравнению Лапласа, систему сферических функций {р3 sin(up + %)}, записанных в полярных координатах (р — радиус-вектор, ф — полярный угол). Если окажется возможным разложить /(ф), записанную в функции полярного угла ф, в ряд по функциям системы {р3 эт(/ф + фг)}, а именно:

оо

/ (ф) = 2 а‘'р<<) sin ^ и    (4)

/=0

то решение краевой задачи можно записать в виде

оо

и (р, ф) = 2а®1 sin +

1=0

Таким образом, как выше было указано для второго класса методов, получение решения по методу гармонических функции сводится к выполнению следующих операций.

1) образование членов ряда, в который раскладывается граничная функция f(ср); 3 5 4