ВОПРОСЫ ПРИМЕНЕНИЯ ABM С ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 3
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

Рис. 3. Блок-схема выполнения операций по методу гармонических функций

производиться путем последовательного выполнения некоторых операций, состоящих из производимых параллельно подопераций. Так, образование членов ряда, в который раскладывается граничная функцияfr, производится путем одновременного образования различных степеней уравнений граничного контура, записанного в полярных координатах рг (ср) и произведений р}. (<р) sin (/ф 4- фг-). При этом уравнение граничного контура рг (ф) и его степени можно задавать с помощью блоков нелинейностей, функции sin (/ф + фг)—как решения определяющего уравнения соответствующих блоков, а произведения pj, (ф) sin (/ф + фг)— с помощью блоков перемножения.

Определение коэффициентов щ ряда (4) можно осуществить различными способами. Так, например, в подобных случаях широко используется метод ортогонализации ряда по линейно-независимым функциям, после чего коэффициенты получаемого ряда отыскиваются с помощью известных формул для коэффициентов ряда Фурье. Связанная с этим методом процедура вычислений оказывается весьма громоздкой и поэтому ее применение нежелательно.

В качестве метода отыскания коэффициентов предложен поисковый метод, состоящий в поочередном изменении значений параметров, моделирующих коэффициенты ряда, до получения требуемого результата. Оценка близости ряда к заданной граничной функции осуществляется путем просчета значений некоторого функционала, который можно задавать, например, как

(6)

После отыскания значений а г, минимизирующих ц, для получения решения задачи на некоторой кривой рк(ф) достаточно вместо образования рг(ф) и его степеней установить генераторы функций рк(ф) и его степеней соответственно. Если коэффициенты а г представляются в виде параметров схем моделирования определяющих уравнений, то после отыскания значений этих коэффициентов схемы моделирования остаются неизменными.

По методу Трефтца решение эллиптических уравнений ищется как результат суперпозиции одного из решений неоднородного уравнения и(х, у) и системы линейно-независимых решений соответствующего однородного уравнения их(х, у), и2{х, у), ..., ип(х, у)...:

00


(7)


и (х, у) = и (х, у) + £ Спип (х, у).


Уравнение эллиптического типа может быть самого общего вида (1) с произвольным граничным условием

Pu(V)=f(s)t    (8)

где Р — граничный оператор.

Построение базисных решений в этом случае представляет собой сложную задачу, поскольку в отличие от метода гармонических функций система щ{х, у) (i = 1, 2,    /г...) заранее неиз

вестна. Если же эта система построена, то так же, как и в случае гармонических функций, определение коэффициентов производится из условия (6).

Образование членов ряда в случае метода Трефтца можно производить следующим образом. Область G, на которой ищется решение краевой задачи, помещается внутрь прямоугольника Q. Базисные решения этого уравнения строятся по следующему правилу:

1.    С помощью метода прямых отыскивается решение заданного уравнения при некотором произвольном граничном условии, например, в форме задачи Дирихле с граничной функцией Q(s), заданной на сторонах прямоугольника Q. Решение этой краевой задачи принимается за и(х, у).

2.    Для образования системы решений однородного уравнения {ип(ху у)} строится произвольная система линейно-независимых граничных функций {?n(s)} на сторонах прямоугольника Q. Решение производится по методу прямых.

Составляется ряд из значений полученных таким образом функций и(ху у) и {ип{х, у)} на границе Г области G:

оо

Ф («) + £ С„ф„ (s).    (9)

П=\

Если граничное условие для исходной краевой задачи дается с помощью линейного оператора Р, то можно записать

оо

f (s) =    (s) + £ СпРУп (s),    (Ю)

Л=1

где s — параметр дуги граничного контура Г области G, на котором требуется провести разложение функций [f(s)— /^(s)] в ряд по функциям {Apn(s)}. Порядок выполнения операций при построении членов ряда по методу Трефтца показан на рис. 4. На каждом этапе производится решение однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений по методу прямых. На первом этапе задаются начальные условия Q(s) и функция неоднородности Н (х, у) и одновременно запоминаются значения функций <p(s). Затем производится образование P(p(s) и переход к заданию начальных условий {?n(s)}. При этом поочередно уста-28

навливаются q{ (s), 92(5), qm(s) и одновременно запоминаются значения решения, образующие функции cpi(s), 92(5),    cpm(s).

После этого производится образование {Рфп(5)}.

К числу методов, предполагающих решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений «по частям», относятся разнообразные итеративные методы и альтернирующий метод Шварца. Применение этих методов, во-первых, позволяет существенно уменьшить объем аналогового оборудования и, во-вторых, обеспечивает возможность решения краевых задач на областях сложной конфигурации.

Рис. 4. Блок-схема выполнения операций при образовании членов ряда по методу Трефтца

Применение итеративных методов предполагает возможность разбиения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на несколько однотипных подсистем, содержащих одинаковое, но меньшее число уравнений. При решении задачи составляется схема моделирования одной подсистемы, в которую поочередно вводятся запомненные в предыдущей итерации значения функций решения предшествующей и последующей подсистем.

Суть альтернирующего метода Шварца состоит в следующем. Пусть некоторая область G ограничена контуром Г, и f(M) есть кусочно-непрерывная функция, заданная в точках М контура Г. Требуется найти функцию и(ху у), удовлетворяющую данному эллиптическому уравнению и заданному краевому условию. Пусть теперь G представлена как сумма двух областей Gx и G2, которые имеют некоторую общую часть (рис. 5). Граница области G\ обозначается через Гь а области G2 — через Г2;_часть границы Г1 области Gb лежащая внутри G2, обозначается уь а ее оставшаяся часть — через уь Аналогично у2— часть границы

области G2y лежащая внутри Gb и у2 — оставшаяся часть границы Г2.