ВОПРОСЫ ПРИМЕНЕНИЯ ABM С ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 4
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

Граничные значения для области Gx заданы только на части yi ее контура Гь На части у{ можно задать произвольно функцию ср (М), подчинив ее единственному условию, чтобы вместе со значениямиf(M) на у{ она давала бы кусочно-непрерывную функцию на всем контуре области Gj.

Далее производится решение задачи Дирихле для заданного эллиптического уравнения в области G\ с целью определения функций щ (х, у) у удовлетворяющей граничному условию:


Рис. 5. К применению метода Шварца для решения задачи на области сложной формы


f(M) на Yi>'

Ф (М) на уг

и принимаемой за первое приближение к и(х, у) в области Gj.

Найденная функция и{(х, у) используется при определении Vi(x, у) у являющейся решением задачи Дирихле для заданного эллиптического уравнения в области G2 при граничном условии


»i (х, У) =


f(M) на иг{х, у) на v2.


(12)


Функция v{(x, у) есть первое приближение к v(x, у) в области G2. С помощью функции Vi (х, у) строится второе приближение и2(х, у) к функции и(х, у) в области G2 как решение задачи Дирихле для данного уравнения при граничном условии


= иа T’i

1 иг{х, у) на 72.


(13)


Функции Uk(x, у) и Vk(x, у), которые представляются &-ми приближениями к искомому решению и(х,у) в областях G\ и G2, определяются через предыдущие приближения как решения задачи Дирихле для заданного уравнения при граничных условиях


uk(x,y)


f(M) на ух;

Vk-1 (х, у) на 7ь


(14)


(15)

jf(A4) на у2; i uk-1 (х, у) на 72.

Таким образом, в каждой из областей G и G2 построены последовательности приближений к искомому решению и (х, у).

Отыскание решения в каждой из областей G\ и G2 может осуществляться по методу прямых с использованием различных 30 способов построения -систем обыкновенных дифференциальных уравнений и приемов их решения на АВМ с операционными усилителями. Метод Шварца применяется, например, в случае, когда прямые, проведенные в области, пересекают ее границу более чем в двух точках, а также в случае многосвязных областей. Этот метод целесообразно также применять, если области могут рассматриваться как комбинации фигур простого вида (например, прямоугольников).

Рассмотрим решение задачи Дирихле для некоторого эллиптического уравнения, если область G такая, что некоторые прямые, параллельные оси ОХ, пересекают ее более чем в двух точках. Разобьем эту область на две области G{ и G2 и впишем их в прямоугольные области. Для каждой из этих областей задача Дирихле может быть решена по методу вписывания.

Процедура решения задачи по методу Шварца на АВМ с операционными усилителями общего назначения состоит в следующем. Строится схема моделирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений по методу прямых. Если предполагать, что при решении задачи применяется метод вписывания и что области G\ и G2 вписаны в одинаковые прямоугольники с одинаковым числом прямых, проведенных в области, то одна и та же схема моделирования может быть иопользована для отыскания решения на каждом прямоугольнике.

Порядок выполнения операций при решении эллиптических уравнений по методу Шварца показан на рис. 6. Каждый этап решения задачи по этому методу связан с решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений одного и того же вида. На первом этапе отыскиваются недостающие начальные условия при решении краевой задачи для прямоугольника fii с произвольными граничными условиями на участке yi (рис. 5) границы Г. На втором этапе запоминаются полученные решения щ (х, у) в точках участка у2. Эти значения используются на третьем этапе при решении краевой задачи для прямоугольника Q2• На четвертом этапе запоминаются значения решений v2(x, у) в точках дуги уь Указанные этапы циклически повторяются до получения совпадения последующего решения с предыдущим на всех прямых, проведенных в областях Qi и Q2-

Внимательное изучение особенностей применения АВМ с операционными усилителями для решения уравнений в частных производных на основе сопоставления описанных выше методов приводит к выводу о том, что применение любого из методов связано с определенной последовательностью выполнения операций. В случае применения фундаментального метода прямых такими последовательно выполняемыми операциями являются операции электрического моделирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений при различных, специальным образом

изменяемых напряжениях, -соответствующих начальным значениям некоторых переменных в системе дифференциальных уравнений. Эти операции на границе исследуемой области перемежаются с операциями запоминания мгновенных значений функций, полученных при моделировании. Применение итерационных методов приводит к последовательному поочередному выполнению операций моделирования системы дифференциальных уравнений

Изменение недостающих начальных условий

Рис. 6. Блок-схема порядка выполнения операций по методу Шварца. Сплошными линиями показаны логические связи, пунктирными — функциональные


и операций запоминания функций, полученных при моделировании. Использование модификаций метода прямых, а также использование более общего метода применения операторов с переменным шагом приводит к определенным усложнениям электрического моделирования и, особенно, схемы управления, которая дополняется устройствами программного управления, интегрирующими усилителями и устройствами переключения напряжений внутри одного цикла интегрирования. Наконец, реализация многих методов решения уравнений в частных производных предусматривает необходимость выполнения операций поиска ре-32

шений, удовлетворяющих некоторым, наперед заданным критериям (решение краевой задачи при реализации методов первого класса или подбор коэффициентов ряда при использовании методов второго класса).

Известно, что наиболее «трудоемкой» операцией для вычислительных машин является реализация оператора решения дифференциальных уравнений для функций одной переменной. Эта операция, как было указано выше, является основной и в случае применения практически любого из описанных методов решения уравнений в частных производных. В то же время эта операция успешно выполняется с помощью различных АВМ общего назначения в силу параллельного характера выполнения всех вычислительных операций и сравнительно высокого быстродействия. Это означает, что для реализации рассматриваемых методов может быть использована практически любая, подходящая по объему вычислительного оборудования, аналоговая вычислительная машина. При этом обязанности запоминания функций или их мгновенных значений, управления работой усилителей и схем внутри одного цикла интегрирования, отыскания недостающих значений переменных или коэффициентов в системе уравнений, ввода значений переменных в машину и, наконец, управления последовательностью выполнения определенных групповых операций берет на себя оператор.

Необходимо дальнейшее совершенствование аналоговых машин с целью автоматизации перечисленных выше операций и соответствующего уменьшения времени, затрачиваемого на решение задач, сложных в своей общей постановке. Основными направлениями этого совершенствования является переход к режиму быстрой периодизации решения и ввод дополнительных устройств запоминания и автоматизации выполнения как операций управления, так и операций отыскания недостающих значений переменных. Дополнение аналоговой машины указанными средствами означает переход к аналоговой машине нового типа, наделенной возможностью последовательного выполнения непрерывных операций в классе функций одной переменной.

АВМ с последовательным выполнением операций можно определить как машину, содержащую группу аналоговых устройств, снабженную органом управления, связанным с запоминающим устройством, и способную автономно выполнять все операции, входящие в состав вычислительного процесса, соответствующего некоторому предварительно составленному плану. Выполнение вычислительных операций в такой машине производится с помощью операционного устройства, построенного с использованием операционных усилителей. Информация, перерабатываемая операционным устройством ОУ, подается в него из запоминающего устройства ЗУ, куда отсылаются и результаты выполнения операций. Подбор недостающих значений переменных производится с помощью устройства автоматической оптимизации УАО. Передача содержимого ЗУ в ОУ, управление работой ОУ и УАО, передача результата операций в ЗУ производится с помощью устройства управления групповыми операциями.

Структура такой машины, показанная на рис. 7, представляет собой структуру автоматизированной вычислительной машины, реализирующей некоторый вычислительный процесс, отличие которой от ЦВМ заключается в том, что элементарной операцией является не арифметическая операция, а непрерывная, выполняемая в классе функций одной переменной. С помощью такого одного непрерывного оператора в АВМ с последовательным выполнением операций производится обработка значительно

Рис. 7. Структурная схема АВМ с последовательным выполнением операций

большего объема информации, чем в ЦВМ с помощью арифметического оператора. Операционное устройство такой машины можно определить как некоторую совокупность технических средств для реализации некоторого заданного подмножества из множества непрерывных операторов, определенных в классе функций. К числу таких операторов относятся операторы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрирования функций, их суммирования и т. д.

Использование непрерывных операторов одного типа, связь между которыми задается с помощью логических выражений, позволяет построить программы решения большого числа разнообразных функциональных уравнений, и в том числе уравнений в частных производных, решение которых на АВМ с последовательным выполнением операций в ряде случаев может оказаться более эффективным, чем при решении таких задач на ЦВМ и сеточных АВМ.

1.    Витенберг И. М., Л амин Е. И., Танкелевич Р. Л. О применении новых технических средств для решения дифференциальных уравнений в частных производных на ABM. IV Всесоюзная конференция — семинар по теории и методам математического моделирования. Киев «Наукова думка», 1964, стр. 151—172.

2.    Танкелевич Р. Л. О применении разностных операторов с переменным шагом для решения уравнений в частных производных на АВМ с операционными усилителями. XXI Всесоюзная научная сессия, посвященная 70-летию изобретения радио А. С. Поповым. Секция аналоговой вычислительной техники. М., «Сов. радио», 1965, стр. 8—16.

Б. А. Волынский