НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ АНАЛОГОВЫХ СРЕДСТВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968

НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ АНАЛОГОВЫХ СРЕДСТВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

В настоящее время классификации методов и средств решения краевых задач нет, существующая классификация почти лишена логики и далеко не всегда отображает принцип и сущность работы той или иной модели.

В этом отношении дискретные машины в силу своей универсальности проще. На одной и той же машине можно использовать различные математические алгоритмы, например, решение уравнения методом сеток, или интегральным методом, или другим из существующих методов. Поэтому цифровые машины, не будучи «привязанными» к методам решения задач, отличаются между собой основными признаками: емкостью активной памяти, скоростью действия, разрядностью чисел, адресностью и т. д.

Такой подход к аналоговым машинам и к методам решения на них невозможен в силу их специфической особенности, связанной с процессом моделирования (например, на сетке нельзя применить интегральный метод). Единого подхода к пониманию аналогов нет, что не может способствовать созданию строгой классификации.

Несмотря на большое преимущество математического представления моделирования, многие специалисты придерживаются физического понимания моделирования. Такое представление вошло в практику и объяснить его можно лишь тем, что решаются в основном широко известные и сравнительно простые задачи, для которых эта теория дает тот же результат, что и математическое представление, но она нагляднее и проще. Именно такой подход к моделированию привел к путанице в наименовании различных моделей,

35

3*

Например, первые сеточные модели назывались электроинтеграторами ЭИ-11 и ЭИ-12, хотя по принципу своей работы они не интегрируют, а попользуют метод сеток; электрическая модель для решения бигармонического уравнения ЭМБУ-6 не решает этого уравнения, а использует метод сеток для приближенного решения двух уравнений Пуассона; электрическая модель для анализа работы глубокого плунжерного насоса ЭМ-4 в своем наименовании не отображает ни уравнения, ни метода решения его; универсальная сеточная модель УСМ-1 ничего универсального собой не представляет.

Насколько внедрилось понятие физического моделирования, свидетельствуют интересные работы Г. С. Пухова по созданию теории квазианалоговых сеточных моделей. В таких сетках используется «уравновешивание» модели с образцом и поэтому такое представление также относится к физическому толкованию моделей. Вместе с тем с точки зрения физического понимания сама сетка без уравновешивающих элементов является квазианалогом по отношению к решению дифференциального уравнения, т. е. к реальному процессу, протекающему в реальном образце.

Если же понятие квазианалогии отнести к решению системы алгебраических уравнений, т. е. к приближенному решению дифференциального уравнения методом сеток, раньше следует уточнить понятие аналога.

Если и в дальнейшем продолжать строго придерживаться физического толкования, то такое представление будет суживать дальнейшее развитие аналоговых методов.

В самом деле, даже для несложных сеток (многолучевых, в полярной и в цилиндрической системах координат) методом замещения либо нельзя определить параметры сетки, либо они находятся с дополнительными погрешностями [1].

Физическое представление моделирования может быть сохранено лишь для аналогов типа ЭГДА и то лишь для решения задачи Дирихле. Любая другая задача будет связана с приближенными методами решения, т. е. не будет являться физическим аналогом.

С другой стороны, для математической интерпретации аналогов никаких ограничений нет, т. е. для любого математического алгоритма можно найти соответствующий схемный алгоритм, который представляет собой аналог, и в этом случае параметры схемы всегда определяются.

Под схемным алгоритмом следует понимать совокупность действий элементов, объединенных схемой для решения данной задачи.

При таком представлении классификация не встречает принципиальных трудностей, она может иметь стройную и простую систему.

Однако существующая классификация уравнений математической физики (уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типов) не может служить основанием для классификации аналогов, решающих приближенно эти уравнения. Так, например, для решения уравнений эллиптического и параболического типов пригодна сетка из R и С. Однако практически в некоторых случаях, например, при решении задачи на обтекание тела жидкостью со свободной поверхностью, когда на этой

д2Ф 6q>

поверхности задается граничное условие в виде —■=- = —,    эта

дх2 ду

сетка не может быть использована для решения эллиптического уравнения. Совершенно разные по принципу действия сетка и ин-тегровычислитель служат для 'приближенного решения одного и того же уравнения эллиптического типа Дер = 0.

Поэтому наиболее логичной основой для классификации могут служить основные методы приближенных решений математической физики: интегральные и вариационные методы, методы конформных отображений и методы сеток и др.

Такая классификация возможна при одном допущении. Полная аналогия могла быть в случае, если при решении заданного дифференциального уравнения одним из приближенных математических методов путем применения соответствующих схем погрешность решения была бы равна погрешности метода. Однако погрешность решения включает в себя не только ошибку метода, но и собственно приборную ошибку, состоящую из схемных ошибок и ошибок изготовления. И поэтому, если подходить строго, любой прибор будет не прямым аналогом, а 'почти аналогом. Вместе с тем если по каждому допущению в аналоге делать оговорку, то таких оговорок может быть не одна. Например, граничное условие имеет ошибку, во-первых, от делителя и, во-вторых, от аппроксимации контура. Поэтому для упрощения понимания аналога надо считать его таким с точностью до собственно приборной ошибки. Отсюда следует, что электрическая сетка является аналогом приближенного решения дифференциального уравнения методом сеток; интегрирующие звезды являются аналогом приближенного решения дифференциального уравнения интегральным методом и т. д.

Если изложенные соображения положить в основу классификации, то аналоговые устройства следует именовать в соответствии с имеющимися приближенными методами, а именно:

1.    Аналоговые интегровычислители (И).

2.    Аналоговые сетки (или аналоговая среда) (С).

3.    Аналоговые конформные отображатели (КО).

4.    Аналоговые вариаторы (В).

Каждый из приведенных типов устройств характеризует только принцип математического метода, но не отражает типа решаемых уравнений.

Такой ряд может служить для дальнейшего развития теории и практики аналогов, хотя в настоящее время он не может быть заполнен, так как интегровычислителей имеется всего несколько, по конформным отображениям работы не выходят из рамок лабораторных исследований и практически распространены только сетки.

Такая классификация была бы исчерпывающей, если бы она отображала тип решаемого уравнения и особенности граничных и начальных условий. Однако это не так; например, аналоговая сетка, служащая для решения эллиптических уравнений, не пригодна даже для решения задачи по обтеканию тела несжимаемой жидкостью при свободной поверхности; аналоговый интегро-вычислитель не позволяет решить задачу, если функция источника неизвестна; поэтому приведенная классификация требует уточнения.

Для математики характерно введение новых элементов при решении новой задачи. Такой же особенностью, может быть в меньшей мере, обладает не только математика, но и всякая другая наука, в том числе и наука об аналогах.

Необходимость решения обыкновенных алгебраических уравнений первой степени привела к введению отрицательных чисел; необходимость решения квадратных уравнений и уравнений более высоких степеней — к введению иррациональных чисел, а затем комплексных; необходимость решения обыкновенных дифференциальных уравнений привела к введению специальных функций (экспонента, гиперболические функции, бесселевы функции и др.); необходимость решения дифференциальных уравнений с частными производными также привела к введению специальных функций: гармонических, Грина, Неймана и др.

В соответствии с набором математических элементов строится и математический алгоритм решения задачи. Когда под функцией понималось нечто, выраженное аналитической формулой, решение старались найти в аналитическом виде. Но в таком виде можно решить лишь сравнительно узкий круг задач.

Развитие приближенных методов вычислений привело к развитию итеративных методов (в том числе и метод сеток), суть которых состоит в том, что, задавшись каким-то образом значениями интересующей нас функции, по определенному закону находим новые, более точные значения и т. д. В ряде случаев итеративные методы позволяют значительно проще находить решение, чем по аналитическим формулам. Так, алгебраическое уравнение четвертой степени хотя и может быть выражено в квадратурах, однако на практике итеративный метод всегда быстрее приводит к цели. Даже извлечение квадратного корня значительно быстрее производится при помощи итерации, чем обычным «школьным» способом или разложением в ряд. Достоинством итеративных методов является не только быстрота ре-38

шения, но и их малая чувствительность к отдельным ошибкам вычислений и простота. К недостаткам этих методов относится огромный объем вычислений. Кроме того, итерации при большом числе точек могут сходиться к функции, отличающейся от искомой на значительную величину.

Появление электрических сеток облегчило решение краевых задач. Электрическая сетка является итеративным устройством, каждый элемент которого служит своеобразным арифметическим устройством. За счет параллельной работы большого числа арифметических устройств достигается быстродействие, превышающее быстродействие любых цифровых машин. Применение сеток для решений уравнений Лапласа, Пуассона, Фурье для задач Дирихле, Неймана и третьей краевой задачи позволило обойтись при решении этих задач без итераций (точнее, итерации производятся в скрытой форме самой сеткой).

Однако ряд задач потребовал итераций даже при использовании сеток. К таким задачам относится, например, решение бигар-монического уравнения, которое приходится разбивать на систему двух уравнений Пуассона. Одно из них решается с какими-то граничными условиями, результат решения подставляется во второе уравнение. Полученные результаты используются для нахождения новых граничных условий для первого уравнения и т. д.

Новым итеративным устройством, позволяющим значительно уменьшить число итераций, явилась «двухэтажная» сетка типа ЭМ-6.

Однако наука и техника выдвигают новые задачи, для решения которых на сетках приходится вновь прибегать к итерациям.

Эти итерации можно условно разбить на два класса: граничные итерации и внутренние итерации. Граничные условия на сетке могут быть заданы одним из трех родов. Если в поставленной задаче граничные условия отличны от этих трех родов, то решение приходится вести, задавшись какими-то граничными условиями. С этими условиями на сетке решается заданное уравнение, по решению исправляются граничные условия и т. д. до тех пор, пока решение не сойдется с заданной степенью точности. Такой итеративный процесс назовем граничной итерацией.

В ряде задач значения правой части или значения коэффиен-тов уравнения зависят от решения. В первом случае задаются какими-то значениями правой части, решают заданное уравнение, уточняют значение правой части, снова решают уравнение и т. д. Во втором случае необходимо задаться значениями коэффициентов, решить заданное уравнение, уточнить там, где это надо, значения коэффициентов и т. д. Такой итеративный процесс назовем внутренней итерацией.

Могут также встретиться задачи, где потребуется применение и внутренней и граничной итераций.

В соответствии с введенными понятиями можно предложить классификацию краевых задач по методу их решения и аналоговых средств для их решения. В основу классификации аналоговых средств положен следующий принцип:    аналоговый

элемент считается элементом класса М, если он в совокупности с элементами класса ниже М позволяет решать без итераций (точнее, без итераций, требующих вмешательства оператора) краевую задачу класса М. Если же в нашем распоряжении имеются лишь элементы класса ниже М, то для решения этой задачи требуются итерации.

1.    Нулевой класс

К задачам нулевого класса относятся краевые задачи, допускающие представление в аналитическом виде с помощью функций источника (задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа для круга, полупространства и т. д.). Элементом нулевого класса является обычное арифметическое устройство (с той или иной степенью автоматизации).

2.    Первый класс

К задачам первого класса относятся краевые задачи, не имеющие аналитического решения и требующие для своего решения итеративный процесс с помощью элемента нулевого класса. На границе заданы значения либо функции, либо нормальной производной, либо их линейная комбинация. Элементом первого класса является обычная электрическая сетка, ЭГДА, «двухэтажная сетка».

3.    Второй класс

К задачам второго класса относятся краевые задачи, уравнение которых может быть решено на электрической сетке, но граничные условия не принадлежат к перечисленным выше типам и требуют при решении на сетке применения граничной итерации. Такова задача об обтекании тела при наличии свободной поверхности. Элементом второго класса является «граничный итератор», автоматически исправляющий граничные условия до выполнения заданного граничного условия.

4.    Третий класс

К задачам третьего класса относятся краевые задачи, уравнения которых решаются на сетке, а граничные условия могут быть заданы на ней, но правая часть уравнения или его коэффициенты зависят от решения (таковы, например, нелинейные нефтяные задачи в газированном режиме). Элементом третьего класса является «внутренний итератор», автоматически изменяющий значения правой части или коэффициентов уравнения.

5. Четвертый класс

К этому классу относятся задачи, для решения которых потребуются элементы указанных трех классов.

Все сказанное выше относится не только к сеткам, но и к электролитическим ваннам, интегровычислителям и др. Так, например, решение задачи электроразведки при наличии неоднородных вкраплений требует решения вспомогательного интегрального уравнения, поправки граничных условий и т. д.

В результате изложенных соображений в зависимости от метода решения заданного уравнения при заданных граничных и начальных условиях аналоговые машины могут относиться к одному из перечисленных классов.

Если, например, аналоговая сетка относится к 4-му классу, то это значит, что на такой сетке (без вмешательства оператора) может решаться заданное уравнение при граничных условиях I, II и III рода и при более сложных граничных условиях с учетом нелинейности заданного уравнения. На сетке I класса заданное уравнение решается только при граничных условиях I, II и III рода без учета нелинейности задачи.

Практически основное устройство машины относится к нулевому или 1-му классу, а если это устройство снабжено итерирующими устройствами, то оно будет относиться ко 2-му, 3-му или 4-му классу.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Волынский Б. А., Бухман В. Е. Модели для решения краевых задач. М., Физматгиз, 1960, стр. 446.

2.    Волынский Б. А. О теории замещения в сеточных электромоделях для решения краевых задач. В сб. «Вопросы вычислительной математики и вычислительной техники». М., Машгиз, 1963, стр. 251—258.

В. С. Лукьянов