ВЕЩИ, СВОЙСТВА И ОТНОШЕНИЯ 21

что
772 = 72).
Этим отнюдь не утверждается, что линейные свойства являются неразложимыми. Напротив, их также можно разложить на совокупность иных свойств.
Однако такое свойство нельзя разложить на совокупность линейных или, тем более, тг-мерных свойств. Это разложение противоречило бы определению одномерного свойства, так же как разложение линии на совокупность плоскостей противоречило бы самому понятию линии. Линию можно разложить лишь на последовательность безразмерных образований — точек. Своеобразными аналогами точек являются свойства, которые также не имеют измерений.
Такие свойства можно разложить на совокупность других свойств — компонент.
Среди этих компонент могут быть другие точечные свойства, а также линейные, трехмерные и т. д. Но, в отличие от многомерных свойств, усиление или ослабление интенсивности одной из компонент влечет за собой не соответствующее изменение интенсивности свойства в определенном направлении, а полное его исчезновение или
103
же вообще не вызывает никаких изменений. Примерами таких свойств могут служить определенная музыкальная гармония, красота данного предмета и т. д. Эти свойства определяются некоторыми комбинациями других свойств, но при изменении одного из них они исчезают: например, красота лица может исчезнуть как от уменьшения, так и от увеличения, допустим, расстояния между глазами или длины носа. Назовем такие свойства, по аналогии с точкой, точечными, т. е. свойствами нулевого измерения. Множество свойств можно считать лишь приблизительно точечными, так как их существование допускает некоторый диапазон изменения интенсивностей компонент.
Точечное свойство, исчезнув при некотором изменении компонент, может вновь появиться при определенных других комбинациях их интенсивностей. В отношении точечных свойств предметы не имеют количественной характеристики. Например, человек может быть русским, сыном, отцом и т. д., но он не может быть больше или меньше русским, сыном и т. д., если только понимать эти слова в прямом смысле. Аналогично объект может быть материальным, но он не может быть более или менее материальным.
Тем не менее, часто бывает возможным .расположить отдельные точечные свойства разных предметов в порядке изменения интенсивностей так, чтобы их множество напоминало градации интенсивностей одного линейного свойства. В том случае, если множество точечных свойств окажется дискретным, т. е. различия между соседними интенсивностями не будут бесконечно малыми, получим псевдолинейное свойство; в противном случае — настоящее одномерное свойство.
Всякая количественно или качественно определенная интенсивность того или иного линейного свойства, т. е. всякое его состояние, также является свойством, причем свойством точечным. В самом деле, оно у каждого предмета обусловлено определенными комбинациями других свойств,1 компонент, причем изменение какой-либо компоненты ведет не к количественному изменению данного свойства, а к полной его ликвидации, поскольку другое состояние будет уже не тем состоянием, которое было прежде, т. е. не первоначальным свойством. Таким образом, всякое линейное свойство, поскольку оно разлагается на свои состояния, разлагается на некоторое мно
104
жество точечных свойств. Обратно, многие точечные свойства можно рассматривать как состояния линейных.
Деление свойств по числу измерений можно использовать при решении ряда логических проблем, например, при определении условий правомерности выводов через ограничение [125].
2.                КЛАССИФИКАЦИЯ ОТНОШЕНИЙ
Способы обозначения отношений. Для достижения большей ясности при исследовании проблемы классификации и других проблем, касающихся отношений, необходимо остановиться на способах их выражения.
Не рассматривая этого вопроса во всей его полноте, разберем несколько наиболее важных для нас случаев. Прежде всего необходимо отметить, что в математике существуют специальные символы для обозначения важнейших отношений. Например, символ «=» обозначает тождество, символ «=» — равенство, «=^=» — неравенство, «<5> — меньше, «>» — больше и т. д.
Не всегда отношения выражаются знаками. Но всегда мысль об отношении, как и вообще всякая мысль, может быть выражена языковыми средствами. Например, те же отношения, которые только что были выражены на языке символов, допускают и выражения словами — «тождество», «равенство» и т. д. Разумеется, как в случае специальных знаков, так и в случае слов нужно следить за тем, чтобы имело место взаимнооднозначное соответствие между обозначаемым и обозначающим.
Необходимо следить также, чтобы анализируемое выражение относилось именно к отношению, а не к тем конкретным объектам, между которыми это отношение существует. В тех случаях, когда последние невозможно исключить, их нужно выражать настолько в общем виде, чтобы он относился к объектам обеих сравниваемых систем. Тогда одинаковость отношения будет выступать наиболее ярко.’ Например, вместо «Карпаты западнее Киева» и «Горький западнее Казани» можно говорить «пункт А западнее пункта В». Конечно, в таких простых случаях это не так важно, но в болеа сложных случаях такое выражение значительно упрощает определение одинаковости отношений.
105
Выше уже говорилось о том, что существует множество способов качественного выражения интенсивностей свойств при помощи обыкновенного разговорного языка. Аналогичным образом можно выражать и отношения. Например, «А рядом с В», «А почти рядом с В», «А очень близко к В», «А близко к В» и т. д. Язык имеет в своем распоряжении массу слов (по преимуществу наречий), которые дают качественную характеристику отношений.
Качественно могут быть охарактеризованы отношения между интенсивностями линейных свойств, определенных как качественно, так и количественно. Примером первого может служить выражение «ураган значительно сильнее шторма». Здесь качественно определено как отношение — «значительно сильнее», так и интенсивности соотнесенных друг с другом сил ветра — «шторм» и «ураган». Второй случай получается из первого при замене качественных характеристик силы ветра количественными: «Ветер со скоростью свыше 29 м/сек значительно сильнее ветра, дующего со скоростью 18,3—21,5 м/сек».
Однако отношения количеств в естественных науках обычно стремятся выражать при помощи количеств. В этом случае функции слов разговорного языка, таких, как наречия «немного», «больше», «незначительно больше», выполняют числа, с той только разницей, что эти функции выполняются ими с большей точностью. Так, вместо выражения «ветер свыше 29 м/сек значительно сильнее ветра в 18,3—21,5 м/сек» получим выражение «ветер свыше 29 м/сек более чем на 7,5 м/сек сильнее ветра в 18,3—21,5 м/сек». Число 7,5 заменило слово «значительно». Заметим, что число в этом выражении не полностью вытеснило качественное определение отношения. Последнее осталось в слове «сильнее». Можно видоизменить выражение и так: «Разность между ветром в 29 м/сек и ветром в 18,3—21,5 м/сек будет составлять свыше 7,5 м/сек». В этом выражении качественное определение оттеснено еще дальше, но оно все же осталось в слове «разность», поскольку полное его исключение невозможно.
Однако число выступает как существенная характеристика отношения. Поэтому об одинаковости отношений в разных системах можно судить по одинаковости как их качественного, так и числового выражения. Одних чисел все же, как было показано, недостаточно. Кроме количественной, всегда имеется и качественная характеристика
106
отношения, выраженная в словах «больше», «меньше», «разность» и т. д. Комбинация количественных и качественных символов для выражения отношения представляет собой формулу. Формула полностью выражает, таким образом, отношение. Одинаковость формул свидетельствует об одинаковости соответствующих отношений.
Но каждое отдельное действие, входящее в эту формулу, например, сложение, вычитание, деление, умножение, извлечение корня и т. д., непосредственно еще не выражает отношения. Зная только то, что две величины складываются, умножаются, делятся друг на друга и т. д., мы еще ничего не знаем об их взаимоотношении. Каждое отдельное действие указывает лишь на то, какие изменения происходят с исходными количествами. Но как только будет известен результат и этих изменений, например, то, что а + Ъ = с, так действие будет выражать отношение, несмотря на то, что отдельно взятое выражение а + Ъ отношения не выражает.
Приведенный пример можно рассматривать как отношение между тремя объектами: а, Ъ и с. Отношения между тремя объектами и больше, т. е. трехместные и, вообще говоря, многоместные отношения, встречаются очень часто. Однако в современной логике подробно разработана лишь теория двухместных (бинарных) отношений. Когда говорится о многоместных отношениях, то чаще всего имеются в виду отношения особого, функционального типа, изучение которых имеет большое значение в математике. Общий же случай многоместных отношений остается' малоизученным.
На наш взгляд, одной из причин этого является обычная для исчисления предикатов слитная, нерасчлененная форма выражения отношений. Логика отношений позволяет глубже проникнуть в сущность суждения в значительной мере потому, что она расчленяет предикат, представляя суждение в форме аЯЪ, где К — отношение, а а, 6 — предметы, между которыми оно существует. Исчисление предикатов развертывает высказывание А, которое рассматривается как целостное, неделимое образование в исчислении высказываний, в сложный комплекс Р (а 1, «2,..., ап), где Р — предикат, являющийся при п 2 отношением, а <21, <22,..., ап — члены отношения, т. е. вещи, между которыми оно имеет место.
107
В общих случаях отношение (как 7?, так и Р) рассматривается слитно, нерасчлененно. В выражении аВЪ вообще не предусматривается возможность отношений между многими объектами, а в выражении Р (а 1, Я2,...,ап), хотя и предполагается, что объектов может быть много, но не установлено никакой связи между отношением, существующим между всеми вещами, и отношениями отдельных пар вещей.
Для того чтобы установить эту связь и расчленить с ее помощью отношение между многими вещами, будем выражать его с помощью матрицы отношений:
Здесь К — отношение, существущее между всеми вещами а\, а2,...,ап, а р^- — отношения отдельных вещей (элементов матрицы).

Так как числа являются частным случаем отношений, то понятие матрицы отношений можно рассматривать как обобщение понятия обычной, числовой