ВЕЩИ, СВОЙСТВА И ОТНОШЕНИЯ 22

матрицы.
Но матрицу отношений не следует смешивать с другими, похожими на нее с внешней стороны схемами. Например, следует отличать ее от таблицы умножения (таблица Кэли) [67, стр. И]. Элементами таблицы Кэли являются не отношения, а результаты действий, произведенных над элементами множеств. С помощью таблиц, подобных таблице Кэли, определяется не само отношение, а его объем. Выше уже говорилось о неправомерности отождествления этих понятий.
Традиционная классификация отношений и пути ее обобщения. Со времени выхода в свет фундаментального труда Рассела и Уайтхеда «Рппс1р1а таЬЬешаЫса» стало традиционным деление отношений по признакам рефлексивности, симметричности и транзитивности. Если отношение таково, что любой предмет находится в этом отношении к самому себе, то такое отношение называется рефлексивным. В случае невыполнения условия рефлексивности, хотя бы для


Рп Р12 • • • Рш Р21 Р22 • . • Р2П
108
одного предмета, отношение не рефлексивно. Если же ни один предмет не может находиться в данном отношении к самому себе, то это отношение антирефлексивно.
Отношение будет симметричным, если оно существует как между а и 6, так и между Ъ и а. При несоблюдении этого условия отношение несимметрично. Если отношение между а и 6 не может существовать между Ъ и,а, оно ан- тис имметр ично.
Отношение такого типа, что из существования его между парами а, 6, с одной стороны, и &, с, с другой, следует существование его между а и с, называется транзитивным. Невыполнение этого условия дает нетранзитивное, невозможность выполнения — антитранзитивное отношение. Нетрудно заметить, что, например, отношение равенства будет одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Отношение «больше» антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношение «любит» нерефлексивно, несимметрично и нетранзитивно.
Для деления отношений используются также признаки функциональности, связности и однородности [31].
Из них мы рассмотрим признак функциональности. Функциональными будут называться такие отношения, которые дают возможность однозначно определить один из членов отношения через другой. Например, отношения «отец» и «мать» будут функциональными. Если известно, что х мать Ь, то, поскольку у каждого человека только одна мать, можно с помощью этого отношения однозначно определить х. Если отношение функционально в обе стороны, оно будет называться взаимно функциональным; например: «а в два раза больше Ь».
Если обозначить символом Е отношение, полученное в результате изменения порядка предметов, между которыми установлено отношение, то свойство симметричности можно выразить с помощью формулы Е->Ё , где « —> » символ импликации.
Если отношение Е существует между предметами а и Ьу а отношение — между Ъ и с, иными словами, если последний элемент первого отношения совпадает с первым элементом второго отношения, то можно определить относительное произведение у или композицию, отношений Еж 8 как отношение Ту существующее между а ж с. Это соотношение запишем в виде равенства Е-8 = Т. С помощью
109
понятия относительного произведения Свойство транзитивности можно выразить как ВВ-^В.
В современной математике большую роль играют понятия полугруппы и группы. «Полугруппой называется непустое множество 21, в котором для любой пары взятых в определенном порядке элементов х, у (Допределен новый элемент, называемый их произведением и = = ху 6 21, причем для любых ж, у, % ^ 2( всегда выполнено (х у)% = х(у %)» [67, стр. 28]. Здесь б — символ, обозначающий включение в множество. Равенство {х у) ъ = = х (у г) является хорошо знакомым из элементарной алгебры свойством ассоциативности умножения.
Группа отличается от полугруппы выполнимостью в ней обратной операции. Например, для умножения чисел такой обратной операцией является деление. В общем случае можно сказать, что обратная операция существует, если каждое из уравнений Ах = В и у А = В, где А и В — произвольные элементы множества, имеет единственное решение [56, стр. 17].
С помощью понятия обратной операции можно доказать существование в группе единичного элемента, единицы, которая обладает тем свойством, что для всякого А из множества 21 верно АЛ = 1 -А — А.
Применение обратной операции к единице и данному элементу А дает обратный элемент А~г. Произведение прямого и обратного элементов равно единице: А* А 1 =1.
Рассмотрим совокупность всех бинарных отношений на каком-либо множестве 21. Будет ли любая пара этих отношений В у однозначно определять свое произведение? Вообще говоря, может случиться так, что отношения будут существовать между совершенно различными элементами множества 21. Но тогда можно считать, что их произведением является пустое отношение, т. е. отношение, не имеющее места в рассматриваемом множестве. Введя понятие пустого отношения, мы можем рассматривать множество всех отношений в данном множестве 21 как полугруппу, поскольку нетрудно доказать, что определенное нами произведение отношений обладает свойством ассоциативности [67, стр. 53].
Можно сделать попытку ввести понятие единичного отношения и обратной операции. В таком случае множество отношений составило бы груцпу. В качестве такого единичного отношения, по-видимому, можно рассматри
110
вать отношение тождества Ве. В самом деле, пусть это отношение существует между а и Ъ. Между бис пусть будет отношение 8. Тогда можно сказать, что отношение /51 будет иметь место между а и с, поскольку а тождественно Ъ. Иными словами, Яе-8 = 8. То же самое будет иметь место, если Яе окажется справа от 8*Яе'=8. Это означает, что Яе удовлетворяет определению ^единицы.
Соответственно этому, по крайней мере для взаимно функциональных отношений, можно ввести понятие обратного отношения. Например, пусть 5 — отношение «быть больше в два раза». Тогда обратным отношением будет «быть меньше в два раза». Если а больше в два раза, чем 6, а Ь меньше в два раза, чем с, то это значит, что а такое же, как с.
Для отношения «муж» обратным будет отношение «жена». Очевидно, что быть мужем своей жены означает быть самим собой, т. е. и здесь налицо единичное отношение.
Для каждых двух отношений А и В рассматриваемых типов можно отыскать такие х и у, что уравнения Ах = В и у А = В будут удовлетворяться, причем единственным образом. Например, пусть А — «больше в 10 раз», В — «больше в 5 раз». Тогда х = у будет «меньше в два раза».
Таким образом, мы видим, что определенные типы отношений на некоторых множествах составляют группы. Этот факт можно использовать для дополнения традиционной классификации отношений.
Прежде всего необходимо отметить, что выведенное выше обратное отношение Я~г не совпадает по своему содержанию с обратным отношением традиционной классификации Я. Я получается в результате простого изменения направления отношения. Я~х может быть введено не во всех случаях. Например, если Я — «южнее», то В — «севернее», но «севернее» нельзя считать в качестве В*1 до тех пор, пока точно не определено, насколько именно южнее и насколько севернее.
Поэтому соотношение ЯВ*1 представляет собой более специальный тип симметрии, чем тот, который выражен соотношением В-+В. Формула В-^В 1 определяет единичное отношение, которое, таким образом, выделяется как особый тип отношений. В связи с групповой операцией — умножением отношений можно составить целый
111
ряд формул, каждая из которых будет определять то или иное свойство отношения. Вот некоторые из них:


я

 

Я;

я-я~г-

 

я

Я-+

я-,

я~г-я-

^Я;

я

я~*

я-,

я-я

■Я'1;

я

Я->

Я;

я-'-я-^я-,

я

Я->

я-,

Я'1-Я-

 

Д.Д-1-*#;     В-В-+В;
В-В-^В-1;        В-В-+В;
В-'-В-^В]        В~г-В-*В\
В-В-'-^В;        В-В->1;
В-В-'-^В]        В*В-> 1.
Большинство этих формул кажутся парадоксальными. Некоторые из них определяют пустые или единичные отношения. Их следует отбросить, поскольку они малоинтересны. Но часть формул выражает свойства различного типа отношений. Например, импликации В-В^ В~} удовлетворяет отношение «быть на 120° восточнее», имеющее место на поверхности земного шара: а на 120° восточнее Ъ\ Ъ на 120° восточнее с; следовательно, а на 120° западнее с.
Формула В*В-+В описывает такие свойства, которые имеют, например, отношения знаменитого любовного треугольника: а любит Ъ\ Ь любит с; отсюда следует, что а не любит с. Также В*В = 1 значит, например: а противоположно Ъ\ Ъ противоположно с; следовательно, а и с тождественны.
Частичные и полные отношения. Разобранная выше классификация отношений рассматривает отношения сами по себе, как самостоятельные предметы, независимо от тех вещей, между которыми они существуют. Такой способ рассмотрения имеет свои преимущества.
Однако в ряде случаев в качестве основания деления необходимо брать разные формы связи отношений с вещами и их свойствами. Ниже будет рассмотрено деление отношений именно по такому основанию.
Подобно тому как указание предмета, которому присуще то или иное свойство, не определяет однозначно, какое это будет свойство, указание вещей, между которыми существует отношение, в общем случае не определяет однозначно это отношение. Одна и та же вещь, например, луна, может быть и круглой, и светить отраженным светом, и твердой, и т. д. Число 5 является и простым, и не
112

четным, и т. д. Точно так же между двумя вещами могут существовать одновременно самые различные отношения. Луна и меньше Земли, и легче Земли, и не имеет атмосферы в отличие от Земли, и имеет такой же возраст (или не такой же), как Земля, и т. д. Ваня и брат Коли, и старше Коли, и умнее