ВЕЩИ, СВОЙСТВА И ОТНОШЕНИЯ, РЕЛЯТИВНЫЕ СУЖДЕНИЯ

истинности или соответственно ложности. Оно выступает в качестве предиката в суждениях «данное суждение есть то, что обладает качеством истиннорти» или «данное суждение есть то, что обладает качеством ложности». В сокращенной форме: «данное суждение истинно» и «данное суждение ложно».
Для разграничения образующего качества и характеризующего свойства будем записывать последнее за квадратными скобками, заключающими исходное суждение, например: «[Суждение, выраженное написанным здесь предложением, является ложным] ложно». Парадокс получается тогда, когда характеризующее свойство «обладает качеством ложности» считают фактически качеством, входящим в состав образующих суждения. В.этом случае, поскольку ложность оказывается в числе образующих суждения, мысль, которая им утверждается, является истинной. Из характеристики ложности мы, таким образом, вывели характеристику истинности.
Аналогично из характеристики истинности выводится характеристика ложности.
Но на самом деле свойство «обладать качеством ложности» не является частью суждения, так же как ею не является и свойство «обладать свойством обладания качеством ложности» и т. д. Поэтому мы не можем сказать, что истинно то утверждение, которое выражается нашим
123
суждением. Оно может быть истинным лишь при наличии ложности в числе образующих его качеств; соответственно, из утверждения, что данное суждение истинно, не вытекает утверждения о его ложности. Свойство «обладать качеством истинности» не является образующим, и поэтому мы не должны принимать как истинное то, что утверждается в исходном суждении, т. е. не должны считать его ложным.
Таким образом, утверждение: «Суждение, выраженное написанным здесь предложением, является ложным» будет либо ложным, либо истинным, ноне тем и другим вместе. Аналогичным образом можно разобрать и некоторые другие парадоксы. Положение о том, что предикаты должны обозначать только характеризующие свойства, может послужить основой для осмысления того рационального, что есть в теории типов Б. Рассела.
Различные понимания одновременной предикации многих вещей. Выше был разобран вопрос о том, каким образом свойство характеризует ту или иную единичную вещь. Но чаще всего приходится иметь дело не с единичными вещами, а с множествами вещей. Множеству вещей /8,1,...,*5П приписывается то или иное свойство — предикат Р. Это будем выражать с помощью формулы (6,1,...,*$'П)Р. Предикат Р ставится не слева, а справа от скобки для того, чтобы избежать смешения с принятым в символической логике выражением отношения.
В каком же смысле предикат Р может быть приписан (предицирован) множеству вещей? Возможны различные понимания этой связи.
При одном понимании присущность предиката множеству означает присущность его каждому элементу этого множества. Предикат, приписываемый таким образом, обозначим Р1. В этом случае понятие, охватывающее элементы системы, употребляется в разделительном смысле. Например, «все большие планеты солнечной системы движутся приблизительно в плоскости эклиптики».
При другом понимании предикат обозначает свойство, присущее совокупностям большинства элементов системы, в частном случае — всем элементам, вместе взятым (употребление понятий в собдрателъном смысле). Например, «лес сгорел», «армия сложила оружие». Обозначим его Р11. В известном отношении обратным, Р11 будет такое по
124
нимание предикации, когда предикат Р (обозначим его в этом случае как Р111) присущ по крайней мере некоторым из элементов системы, например, в предложении «древние греки были выдающимися философами». В логике этот случай также называется употреблением понятий в собирательном смысле. Рп и Р111 не дифференцируются, хотя различие между ними существенно.
Наконец, возможно такое понимание предикации, при котором предикат характеризует все множество само по себе (как одно целое). Приписав в этом смысле предикат системе, мы еще ничего не можем сказать ни о предикатах всех отдельных элементов, ни о предикатах, по крайней мере, некоторых, ни о предикатах совокупностей большинства из них, в том числе и тогда, когда это большинство представляет собой все элементы системы. В данном случае предикат системы не является предикатом простой совокупности всех ее элементов, в общем случае совершенно разнородных.
Такого рода предикация имеет место, например, в суждении «моя авторучка хорошо пишет». Утверждая это, мы приписываем предикат целому, а не отдельным элементам.
В некоторых случаях такой предикат (назовем его Р1У) нельзя разложить на совокупность предикатов, относящихся к отдельным элементам системы, хотя бы потому, что один и тот же предикат системы в целом может обусловливаться различными свойствами ее элементов. Например, утверждая: «моя авторучка представляет большую ценность», мы ничего не говорим об элементах авторучки, так как ее ценность может быть обусловлена самыми различными причинами. Такими причинами могут быть не только разные свойства элементов, но и чисто внешние отношения, например, принадлежность в прошлом определенному лицу и т. д.
В других случаях предикат системы Р1У можно разложить на совокупность предикатов отдельных элементов. Такое разложение будет иметь вид

125
В общем случае Рк =/= Рг =/= Р1У, где к ж I — любые числа, при условии  и 1 <Ж Например,
утверждение «моя авторучка хорошо пишет» предполагает определенные свойства каждого из элементов. Иначе говоря, из предиката системы в данном случае можно вывести предикаты отдельных элементов. Разумеется, такой вывод нельзя сделать чисто формально. Необходимо известное знание об элементах системы.
В некоторых же случаях все Рк (либо большинство из них) равны Р1У, т. е. предикату всей системы. В этих случаях возможны чисто формальные выводы, не предполагающие конкретного анализа элементов системы. Например, из суждения «моя авторучка находится в комнате» я могу вывести, что и каждая ее часть находится в комнате (разложение на предикацию Р1), Из суждения «моя авторучка сгорела» можно вывести, что большинство (если не все) ее элементов сгорело (разложение на Рп), и из суждения «моя авторучка позолочена» — «по крайней мере некоторые ее части позолочены» (разложение на Рш).
Разумеется, все это не означает, что Р1, Рп, Рш являются частным случаем Р1У, поскольку для того, чтобы получить в некоторых случаях из Р1У сведения об элементах, необходимо специальное исследование. Р1, Рп, Рш, напротив, сами представляют собой такие сведения. Этот факт соответствует тому, что Р1, Ри, Рт не являются частными случаями Р1У.
Когда система состоит только из одного элемента, различие типов предикации теряет смысл. Все они становятся тождественными:           есть Р.
2. РЕЛЯТИВНЫЕ СУЖДЕНИЯ
Как уже отмечалось, некоторые логики полагают, что всякое суждение является атрибутивным, с субъектом и предикатом. Но таких логиков становится все меньше. Все более очевидной становится законность иных выражений логической формы суждения: аР6иР(а1,..., ап). Здесь К означает отношение, существующее между двумя или, вообще говоря, многими предметами. Суждения, имею
126
щие такую структуру, будем называть релятивными, поскольку обычный в нашей литературе термин «суждения с отношениями» является слишком громоздким. Законность релятивных суждений, на наш взгляд, является простым следствием существования отношений в окружающем нас мире и усиления роли изучения этих отношений в современной науке. Иначе мы должны были бы противопоставить структуру мышления структуре бытия.
Рассмотрим ряд логических проблем, связанных с релятивными суждениями.
А. Различные понимания смысла релятивных суждений о многих предметах
Релятивные суждения, относящиеся к двум объектам, изучены сравнительно хорошо. Этого нельзя сказать о релятивных суждениях о множестве предметов.
Выше уже говорилось о возможности выразить многоместное отношение через бинарные с помощью матрицы отношений. Однако сама по себе форма выражения отношений между многими предметами через матрицу отношений еще ничего не решает. Чтобы воспользоваться этой формой, необходимо прежде всего установить, разлагается ли вообще отношение на элементы матрицы, как найти эти элементы и какой вид имеет матрица для данного отношения.
Для этого необходимо выяснить, в каком смысле может пониматься отношение между многими объектами. В зависимости от этого смысла мы будем иметь разные способы выражения отношения через матрицу.
При одном понимании отношение В будет означать отношение каждого элемента в отдельности к каждому в отдельности. Например, формула == (%, ... ,ап) выражает то, что каждый из рассматриваемых объектов находится в отношении равенства к любому объекту: ак = = аи где 1                              пж                   п- Формула: Братья (%, .. . ,ап)
будет означать, что каждый из а относится как брат к любому другому а, например, ак брат а* и т. д. Так же понимает К. Маркс отношение обмена между товарами. Каждый товар может обмениваться на каждый. Формула полной, или развернутой, формы стоимости: «2 товара Л = и товара В, или = V товара С, или = га товара /), или = х
127
товара Еу или и т. д.» [1, стр. 69]. В этом же смысле понимается и отношение, выраженное формулами всеобщей и денежной форм стоимости [1, стр. 71, 76].
В случае такого понимания отношения оно легко может быть выражено с помощью матрицы. Каждый элемент матрицы ргк при 1=1= к равен исходному отношению В. Но элементы матрицы, стоящие на главной диагонали р1к при I = к и являющиеся отношениями каждого элемента к самому себе, могут быть и иными, чем К. Например, а = а, но а не может быть братом а, т. е. братом самого себя. Также каждый товар не обменивается сам на себя.
Во всяком случае, каждый элемент находится к самому себе в отношении тождества, которое мы будем обозначать единицей. Таким образом, матрица отношений в случае такого понимания отношения В имеет следующий вид:
{ а1 ) ( 1 л . . - . )
В (й\у .. . Щп) ==

Индекс I при В1 означает, что отношение В понимается в указанном смысле.