ВЕЩИ, СВОЙСТВА И ОТНОШЕНИЯ 26

Нетрудно заметить, что такое понимание отношения между многими предметами аналогично пониманию предикации многих элементов Р1, как она была определена выше.
При понимании отношения в смысле В1 порядок записи объектов, между которыми установлены отношения, не играет никакой роли. Также можно менять местами и объекты в тех парах, отношения в которых являются элементами матрицы.
В смысле В1 можно понимать сравнительно небольшой круг отношений. Например, отношение господства большинства над каждым в отдельности человеком, которое существует в демократическом обществе, нельзя понимать как сумму отношений пар, так как при этом ни один человек в отдельности не господствует над другим. Но его можно понять как отношение всех, кроме одного, объектов данного множества к каждому объекту в отдельности.
Такое понимание обозначим как Лп. Оно соответствует пониманию предикации в собирательном смысле Ри.
Матрица отношений в этом случае составляется так же просто, как и при В1, поскольку каждый из элементов матрицы будет равен исходному отношению В. Но в качестве элементов матрицы будут выступать не отношения каждого из соотносящихся объектов последовательно к каждому другому, а отношения всех, кроме одного, к каждому. В результате этого матрица не будет квадратной и приобретет следующий вид:
аг
В11 (%> • • •, Яп) = .
(Р(2,3,...,п)1 — '


[ Р (2,3, . ) :

 

) !

(

1 Р (1,2, .

. . ,71—1) 71 )

Р (1,2,...,71-

-1)71).

Отношение, понимаемое в смысле В11, не будет зави сеть от порядка вещей, которые оно объединяет. Но каждый из элементов матрицы не является симметричным отношением. Нельзя менять местами каждый отдельный элемент и совокупность всех остальных элементов без изменения смысла отношения. Поэтому параллельно пониманию Л11 необходимо ввести понимание Л111 как отношения каждого объекта в отдельности ко всем остальным объектам, взятым вместе. Например, такое отношение существует между членами коллектива, когда каждый из его членов должен подчиняться воле всего остального коллектива.
В таком же смысле может пониматься отношение, выраженное уравнением типа
к хг-хг.. .хк^хк+1. ..хп'
Здесь имеется в виду то, что каждый из объектов — величин хк— находится в таком же отношении к совокупности (единица, деленная на их произведение) остальных, как и любой другой.
9 А. И. Уемов
129
Понимание отношений в смысле Яш соответствует пониманию предикации в смысле Рш.
Отношение 7?111 в общем случае нельзя разложить на сумму отношений между элементами, но зато его можно разложить на сумму отношений между отдельными элементами и суммами всех остальных элементов.
Матрица отношения, понимаемого в смысле В111, выглядит так же, как и матрица отношения В11. Отличаются друг от друга они лишь порядком индексов при элементах матрицы:
дш к.

Р1(2,3       п)
Рп(1,2,...,П—1)
1
Г
При этом порядок записи объектов, как и при Л1,/?11, не играет никакой роли. Большое значение при понимании отношения в смысле В11 и Вт имеет способ объединения объектов. Здесь может быть и простое их суммирование, например, при рассмотрении отношения веса всей системы к весу каждой ее части, и другие, более сложные формы объединения, как это было в приведенных примерах. Если способ объединения не вытекает из самой формулировки отношения, он должен быть уточнен. В зависимости от способа объединения объектов мы получим различные подразделения понимания отношений в смысле В11 и В111.
Необходимо отметить, что все эти объединения не образуют какой-то самостоятельной подсистемы в системе первоначально заданных объектов. Ими пользуются лишь для того, чтобы выразить смысл отношения, которое образует данную систему объектов.
В рассмотренных типах понимания отношений между многими элементами последние фактически представляют собой одно и то же многократно повторенное отношение между отдельными частями данной системы. Поэтому построение матрицы отношений не требует специального анализа и выполняется легко и быстро. Такое понимание отношений можно назвать итеративным.
Подобным образом можно понимать далеко не все отношения между многими объектами. Например, отно
шение между величинами у, хъ . . хпу выраженное обобщенной математической формулой у = / (хг, . . хп), уже нельзя понимать таким способом. Эта формула не дает нам возможности определить, в каком отношении находятся друг к другу величины, взятые по-отдельно- сти.. Также непосредственно не ясно, в каком отношении находится каждая из. величин к совокупности всех остальных. Эти отношения — между частями системы — не выражаются в явной форме тем отношением, которое эту систему образует, в отличие от случаев Я1, Я11, Я111. Мало того, отношения между отдельными объектами или отдельными объектами и совокупностями остальных могут быть различными. Например, в отношении, выраженном уравнением х2гу = 0, у выражается как х2ъ, а 2
равен
Понимание отношения в таком общем смысле, когда отношение, образующее систему из объектов %, ...,Оп, не рассматривается как отношение между отдельными частями этой системы, мы будем обозначать как /?1У. Имеется довольно точная аналогия между пониманием отношения в смысле Я1У и пониманием предикации многих объектов в смысле Р1У.
При понимании отношения в смысле К14 порядок объектов, между которыми установлено отношение, играет большую роль, и потому эти объекты нельзя менять местами.
Несмотря на то, что К14 непосредственно не выражает в явном виде отношений между отдельными элементами, в ряде случаев удается на основе Я1У получить зависимости, относящиеся к отдельным элементам. Иногда удается даже разложить Л1У на совокупность отдельных отношений. Такая возможность определяется конкретными свойствами данного отношения. В некоторых случаях неразложимо. С неразложимостью Я1У связаны, по-видимому, например, трудности в решении так называемой «проблемы многих тел» в механике.
В’ тех случаях, когда Я1У разложимо, его можно, как правило, путем сложного конкретного анализа представить как эквивалент некоторой суммы, вообще говоря, совершенно различных отношений между парами элементов. Поскольку эти отношения являются в общем случае несимметричными, необходимо рассматривать
9*
131
отношения всех предыдущих элементов ко всем последующим и в то же время всех последующих ко всем предыдущим (здесь, как и везде выше, уже самой формой записи элементов системы ах,. . ., ап предполагается, что множество этих элементов является упорядоченным).
В этом случае матрица отношений имеет общую форму
( % ) [ Ри
IV,                        ,     )   :  И :
I ап ) I рП1
Рт
Рпп
В отличие от матрицы отношения, понимаемого в смысле Л1, здесь все элементы матрицы, исключая диагональные, различны. Например, геометрическое отношение между числами 2, 3, 6, 9 можно представить в виде следующей матрицы:


(2)

1

2/
/3

) з (

\ 72

1

72

!*!

1 3

2

1

2/

(72

3

7.

1

Иногда объекты комбинируются в группы и отношение Л1У представляется как сумма отношений между отдельными объектами и совокупностями остальных:


Р1(2
п)

I *   * * *
( Рп(1,...,п —1)

При Р1(2,...,п) = ... = Рп             —1)^ разложение Л1У по
внешнему виду совпадает с разложением Л111. Может показаться, что понимание смысла отношения многих элементов Л1У совпадает в этом случае с пониманием Лш> т. е. что Л111 является частным случаем Л1У. Однако это не так. Л111 разлагается на сумму отношений пар довольно просто. Это разложение дано уже тем фактом, что отношение многих элементов рассматривается как Лш»
432
В случае же В1У такое разложение получено путем конкретного анализа. Необходимо специальное доказательство того, что такое разложение действительно существует.