ВЕЩИ, СВОЙСТВА И ОТНОШЕНИЯ 29

не найдется такой величины, изменение которой было бы связано с изменением всех остальных величин. На практике в физике устанавливаются производные единицы при помощи трех основных единиц, образующих различные системы измерения. Наиболее употребительна система, где в качестве основных выбраны единицы массы т, времени I и длины I. Некоторые считают, что невозможны системы, состоящие из другого количества единиц измерения. Например, известный революционер Н. А. Морозов писал: «Из заколдованного... круга трех основных факторов мы никогда не будем в состоянии выбраться» [73, стр. 22]. Однако это утверждение ничем не обосновывается.
М. Э. Омельяновский в своей докторской диссертации «Философские основы теории измерения», признавая, что «в механике, впрочем, допускают иногда существование четырех и более основных единиц или же сводят количество основных единиц к двум или даже одной» [83, стр. 158], считает такое ограничение числа основных единиц «метафизической односторонне количественной точкой зрения» [83, стр. 162] на том основании, что из выражения единицы массы через единицы длины и времени нельзя извлечь правила измерения этой единицы. Кроме того, против сведения единицы массы к единицам длины и времени приводится «ядовитое замечание» Поля, что в случае такого сведёния «физик должен, покупая, спрашивать не 1,5 кг латуни, а 10 4 см**сек~2 латуни» [83, стр. 167].
Однако «яд» замечания Поля направлен столько же против вообще определения единиц одной величины при помощи единиц других величин, качественно от них отличных, сколько и против установления единиц массы с помощью единиц и 10. Физик, определив единицу энергии с помощью т0, 101 10, т. е. т01% не смущается этим и не говорит, например, что тело обладает 2 г • см2 • сек”2
143
энергии. Далеко не во всех случаях можно извлечь правило непосредственного определения единицы производной величины путем указания на ее зависимость от основных единиц. Что же касается «односторонности», то она вполне оправдана там, где речь идет именно об одной, количественной стороне явлений.
Для нас важен тот факт, что практика, во всяком случае, допускает принципиальную возможность выбрать в качестве основной единицы измерения лишь одну физическую величину [104, стр. 15].
Однако и в противном случае, т. е. при отсутствии такой возможности, трудности возникали бы лишь при установлении единиц нескольких основных величин. Для установления остальных единиц это не имело бы существенного значения.
Другое возражение может быть основано на предположении, что приведенное определение равенства единиц различных величин не устраняет его произвольности, поскольку в качестве основных могут быть взяты различные величины и единицы, равные в отношении одной величины, могут, вообще говоря, не быть равными в отношении другой. В качестве опровержения такого предположения докажем, что произвольные едййицы х0, у0, равные в отношении к одной основной единице щ некоторой величины и, будут равны и в отношении к единице % любой другой величины тр
В самом деле, поскольку оказывается возможным связать величины ж и г/ с тр то г) и и должны также быть связаны вследствие транзитивности и симметричности отношения связи. Следовательно, имеем и = ф(т]), или для единиц можем определить гг0 = ф (Ло) • Но по условию х0 = ф (ц0) ;у0 = Ф (и0). Подставляя вместо и0 его значение, получим:
я0 = ф [ф (%)]; у о = ф [ф Ы] •
При замене обозначения функций получим:
Яо = %Ы; !/о = хМ-
Таким образом, обе единицы х0 и у0 будут представлять собой одинаковые функции от одной и той же единицы, т. е., по определению, будут равными.
144
Способы определения равенства единиц. Большое практическое значение имеет вопрос о способах определения равенства единиц соотносимых друг с другом величин.
Рассмотрим два случая. Пусть величины хъ , хп представляют собой различные свойства, характеризующие с разных сторон один и тот же объект. Между ними существует отношение, выражаемое уравнением:
• • ч%п) = 0.
В том случае, если соблюдается принцип равенства единиц, т. е. все величины х19 ... 9хп выражены в количественно одних и тех же единицах, превращение в единицу одной из этих величин хк влечет за собой превращение в единицы всех- остальных величин.
В самом деле, если хк=1 ,то это означает, что данному состоянию объекта, характеризуемому величинами ..9хп, соответствует значение основной величины, равное единице: Ко = 1. Но по условию единицы всех остальных величин одинаковы, т. е. они соответствуют одному и тому же значению и, а именно и0. Поэтому, когда и принимает значение и0 — 1, все они также должны принимать это значение. В противном случае одному и тому же значению и0 соответствовали бы различные значения х19 . .. ,хп, в то время как одно из значений хк равно единице, что противоречит исходному допущению о выполнении принципа равенства единиц.
Следовательно, необходимым условием выполнения этого принципа является одновременность превращения в единицу всех величин, характеризующих один и тот же объект.
Это условие является также достаточным, поскольку одновременность превращения всех величин в единицы свидетельствует о том, что все единицы соответствуют одному и тому же значению и = щ. Это, согласно определению, означает количественное равенство единиц измерения соотносящихся величин.
Вышеприведенные соображения основывались на том допущении, что, поскольку все соотносимые свойства относятся к одному и тому же объекту, этот объект сам по себе не оказывает влияния на соотношение.
10 А. И. Уемов
145
Это допущение вызывает серьёзные сомнения. В самом деле, один объект может характеризоваться одним соотношением величин ср(х1, ...,яп), а другой объект — другим соотношением тех же самых единицф(#1, хп). Тогда в одном объекте значению и = 1 будет соответствовать одно значение какой-либо величины хк1 по определению жл0=1, а в другом объекте — другое значение, которое, также по определению, для другого объекта должно быть признано равным единице.
Таким образом, получается, что интенсивности одного и того же свойства в разных объектах измеряются различными по своей величине единицами. Например, в одном объекте — кубе имеет место одно соотношение между его объемом и площадью основания (V =  а в другом
объекте — тетраэдре — другое отношение между теми же величинами (V = 0,448 83Ь).
Основной величиной в обоих случаях служит длина. 1-8 = 1 означает, что (площадь) соответствует длине, равной единице 10. Но тогда и V будет равно 1, поскольку, по определению, единицей объема является объем куба с ребром длиною в /0. Таким образом, величины 8 я V превращаются в единицы одновременно, что свидетельствует о выполнении необходимого и достаточного условия принципа равенства единиц.
В этом можно убедиться, подставив значения, равные единице, непосредственно в формулу зависимости объема куба от площади основания: в случае 8 = 1
7 = ^ = 1;
в случае V = 1
5 =У% = 1.
Иные результаты получим для тетраэдра: при 8 = 1
V = 0,448                             = 0,448-1 = 0,448;
при V = 1
з __________________________
3==УГ (0,448)2 ~1>372-
Такие результаты обусловлены тем, что в качестве единицы объема и площади для тетраэдра используются
146
не самостоятельно определенные единицы, а единицы, применяемые при измерении объема куба. Одновременность превращения в единицы имела бы место, если бы единица объема определялась как объем тетраэдра, соответствующий ребру длиной в /0. Тогда при *Ь' = объем равнялся бы Т^о и наоборот, однако единицы Т^о и для тетраэдра и куба имели бы различную величину. Это различие можно установить, соотнеся их какой-нибудь третьей величине, принятой за основную, например, массе однородного вещества, заполняющего куб и тетраэдр. Единицы объема куба и тетраэдра в этом случае соответствовали бы различным массам вещества.
Аналогичную картину мы имеем и в других случаях. Например, одной и той же величине электродвижущей силы Е соответствуют различные величины силы тока I, в зависимости от свойства того или иного конкретного объекта — проводника. Одинаковым значениям силы будут соответствовать различные значения ускорения, в зависимости от специфических свойств тела, на которое действует сила.
Из сказанного, по-видимому, следует, что приведенный выше метод определения равенства единиц, будучи основан на ложной предпосылке, является неправильным, и, таким образом, вопрос о применении принципа равенства единиц и тем самым общего принципа размерности остается открытым.
Однако этот метод может быть сохранен, если на уравнения, выражающие соотношения между рассматриваемыми величинами, наложить дополнительное ограничение. Для того чтобы соотношение не зависело от специфических свойств объектов и сохраняло свою форму для всех объектов любой природы, которые характеризуются данными величинами, необходимо включить эти специфические свойства в качестве самостоятельно входящей величины в данное соотношение. Иными словами, необходимо, чтобы в уравнение входили все те величины, характеризующие объекты, от которых зависит рассматриваемое соотношение, т. е. чтобы уравнение было полным. Это требование в большинстве случаев выполняется. Например, соотношение между силой и ускорением записывается в виде Р = т-а, где т (масса) характеризует специфические свойства объекта, влияющие на соотношение Р и а. Аналогично Е = К •/, где К — все свойства,
10*
147
объединяемые в понятии «сопротивление». Р = т-а и Е = Я-1 имеют место для любых объектов, безотносительно к их специфическим свойствам.

Так же обстоит дело и в случае соотношения между объемом и площадью куба и тетраэдра. Специфические свойства куба и тетраэдра, влияющие на это соотношение, необходимо выразить самостоятельной величиной ^ и включить