ВЕЩИ, СВОЙСТВА И ОТНОШЕНИЯ 30

последнюю в соотношение. Получим V = ^8.
Куб и тетраэдр отличаются друг от друга различными значениями подобно тому как два тела различаются по массе, но соотношение между V, 8 в обоих случаях одно и то же. Поэтому исходное допущение о независимости соотношения величин от конкретных свойств предметов в случае полных уравнений оправдывается.
Однако многие уравнения, содержащие безразмерные коэффициенты, исключают возможность одновременного равенства всех величин, входящих в их состав, единицам. Это означает, что не выполняется общий принцип размерности, и поэтому отношение, выражаемое таким уравнением, не является отношением между «сущностями» величин, не является их внутренним отношением, а представляет собой внешнее отношение, обусловленное случайными системами референции.
В физике, начиная с XIX в. (Гаусс), существует тенденция к нахождению «абсолютных» систем единиц измерения, при помощи которых можно было бы уничтожить численные коэффициенты в уравнениях. Эта тенденция выражает проникновение в сущность изучаемых явлений, переход от внешних отношений к более глубоким, внутренним отношениям. Она заключается в стремлении измерять величины одинаковыми единицами.
В более общем виде допущение, на котором основывалось определение необходимых и достаточных условий выполнения принципа равенства единиц, заключается в том, что все величины х1у ... ,хп считаются функцией только одной, основной величины и. Однако на самом деле каждая из величин хк является функцией не только гг, но и других величин, входящих в уравнение. В зависимости от различных значений этих величин хк будет также иметь различные значения при одной и той же гг. Поэтому необходимо каким-либо способом получить возможность абстрагироваться ,от этих зависимостей, выделив лишь зависимость от гг, т. е. определив хк
148
как ф(гг). В математике для изучения зависимости х, являющейся функцией многих переменных, от одной из этих переменных пользуются методом, заключающимся в приравнивании всех остальных аргументов константам, т. е. полагают их постоянными. С геометрической точки зрения это будет означать сечения плоскостями, параллельными координатным. Зависимость х от и будет иметь, конечно, различный вид при разных значениях всех остальных величин. Следовательно, эти значения нельзя выбирать произвольно. Каждая из величин сама по себе представляет функцию от и и, если не учитывать влияние других величин, при щ принимает значение, равное единице. Поэтому естественно придать всем остальным величинам, кроме хк, значение, равное единице. Тогда, при таких фиксированных значениях остальных величин, хк будет выступать лишь как функция и и должна будет принять значение, равное единице. Это проверяется по уравнению. Таким образом, несмотря на то, что в принципе достаточно превращения в единицу одной величины для того, чтобы все остальные величины стали равными единицам, на практике в результате того, что величины влияют? друг на друга и каждая из величин, следовательно, является функцией многих переменных, можно лишь проверять, превращается или нет в единицу каждая из соотносящихся величин при одновременном превращении в единицу всех остальных величин.
Нетрудно видеть, что этому условию удовлетворяют все уравнения, правая и левая части которых представляют собой степенные функции. При обращении в единицу всех величин, кроме одной, превращается в единицу не только оставшаяся величина, но и любые комбинации величин, в том числе те, которые образуют правую и левую части уравнения. Теоретически это вполне понятно, поскольку эти комбинации также образуют величины и они соответствуют одному и тому же значению щ, т. е. при условии соблюдения общего принципа размерности также должны быть равны единице.
Вместе с тем ясно, что этому принципу не удовлетворяет ни одно из уравнений, состоящих из многих членов, соединенных друг с другом знаками плюс или минус. Эти уравнения выражают, по-видимому, отношения между величинами, характеризующими не один и тот же объект,
149
а разные объекты или, по крайней мере, различные части одного и того же объекта.
К этому случаю метод определения выполнения принципа равенства единиц при помощи одновременности превращения в единицы всех величин неприменим. Однако это не вызывает затруднений. Различные величины можно соотносить друг с другом только в том случае, если они характеризуют лишь один предмет, и обратно, разные предметы можно сопоставлять одновременно лишь в одном отношении, т. е. по одному свойствуодной величине. Поэтому в многочленных уравнениях соединяются знаками плюс и минус не разнородные, а однородные величины, т. е. различные интенсивности одного и того же физического свойства. Определить же равенство единиц в этом случае можно непосредственно, не прибегая к сложным окольным приемам.
б) Условия соблюдения требования о независимости
соотношения единиц от их абсолютной величины
Перейдем к рассмотрению другой части общего принципа размерности, связанной с вопросом о независимости соотношения между величинами от выбора основной единицы и тем самым от абсолютного значения единиц соотносящихся величин (принцип абсолютного значения относительного количества). Это, положение говорит о том, что отношение между единицами не должно меняться при изменениях абсолютной величины этих единиц. В частности, равные друг другу единицы должны остаться равными и после таких преобразований.
Встает вопрос о необходимых и достаточных условиях соблюдения этого принципа. В теории размерностей показывается, что «каждое вторичное количество, удовлетворяющее условию абсолютного значения относительной величины, должно выражаться как некоторая переменная, умноженная на первичные величины в некоторых степенях» [20, стр. 28]. Эти степенные показатели и представляют собой размерности вторичных величин в отношении к первичным.
Принцип абсолютного значения относительной величины будет соблюдаться в том случае, если на эти размерности наложить некоторое ограничение, а именно размерности величин в обеих частях уравнения должны совпадать
150
друг с другом. Иногда это положение формулируется так:         «Размерности правой и левой частей всякого
уравнения, имеющего физический смысл, должны быть одинаковы» [88, стр. 16]. Однако здесь говорится слишком сильно. В случае нарушения теоремы о равенстве размерностей уравнение перестанет выражать внутренние отношения некоторых величин, но может сохранить физический смысл, выражая либо их внешнее отношение, либо внутреннее отношение других величин. Иными словами, как справедливо отмечает М. Э. Омельяновский [83, стр. 155], уравнение может иметь физический смысл и будучи «неполным».
Теорема равенства размерностей (иначе ее часто называют «принципом размерной однородности») в конечном счете говорит о том, каким образом должны изменяться единицы вторичных величин при изменении первичных, чтобы их равенство осталось неизменным. Ее выполнение является, таким образом, достаточным и вместе с тем необходимым условием соблюдения принципа абсолютного значения относительного количества.
Необходимо отметить, что последний является не единственным обоснованием этой теоремы. Так, например, Эренфест-Афанасьева, приводя указанное выше обоснование, вместе с тем показала, что «обоснованием уравнения размерности можно считать требование, чтобы подстановки, которые соответствуют масштабным преобразованиям, образовывали группу» [147, стр. 262]. Теорема равенства размерностей имеет одно важное следствие, относящееся к размерностям величин, входящих в состав суммы,— теорему Фурье. Эта теорема говорит о том, что в случае многочленных уравнений все члены, соединенные друг с другом знаком плюс или минус, должны иметь одинаковую размерность. Размерность суммы должна быть равна размерности каждого из ее слагаемых, т. е. при и = х + у + % [гг] = [у] = [х] = [г] (квадратные скобки означают размерность).
Теорема Фурье вытекает из следующих соображений. Согласно теореме о равенстве размерностей размерности правой и левой частей уравнения должны быть одинаковыми. Но каждая из переменных х, у, г может иметь любые значения, в том числе у = г = 0. Тогда и = х и [гг] = [х]. При х = у = 0 [гг] = [г]. Соответственно х = ъ = 0 дает и ~ у и [гг] = [у].
151
Но очевидно, что то или иное численное значение других величин не влияет на размерность данной величины. Поэтому значения размерностей [х] = [у] = Ы = [гг] можно принять за вообще присущие этим величинам в данном уравнении размерности.
Физический смысл теоремы Фурье вполне очевиден. Эта теорема говорит о том, что суммы и разности выражают отношения величин, характеризующих различные объекты. Разные же объекты могут соотноситься лишь по одному свойству. Поэтому с учетом приведенных выше соображений можно усилить теорему Фурье. .
В состав сумм и разностей должны входить не только одноименные, т. е. имеющие одинаковые размерности, величины, как это следует из формальных соображений, но больше того — разные значения одной и той же величины. Например, складывать друг с другом электростатическую емкость одного предмета с длиной другого не менее бессмысленно, чем заниматься сложением скорости с температурой, несмотря на то, что размерности емкости и длины одинаковы.
Иная картина имеет место, когда величины, входящие в уравнение, характеризуют один и тот же объект. Тогда они соединяются друг с другом не плюсом или минусом, а знаками других математических действий. Все они должны быть измерены количественно одной и той же единицей, но при этом они могут быть качественно совершенно различны. Каковы же должны быть в таком случае размерности отдельных физических величин, входящих в уравнение? Означает ли требование равенства единиц величин также требование равенства их размерностей? О. Д. Хвольсон пишет: «Все члены равенства, т. е. все величины, которые связаны знаками сложения, вычитания и равенства, должны быть одного размера. Действительно, только однородные величины могут быть сравниваемы между собою, а таковые, понятно, должны быть одинакового размера» [129, стр. 221].
Первая часть этого утверждения заключает в себе теорему равенства размерностей вместе с теоремой Фурье, а вторая — их обоснование. С последним согласиться никак нельзя. Сравниваться друг с другом могут не только однородные величины. Наоборот, в тех случаях, когда эти величины характеризуют один и тот же предмет, они, как правило, являются неоднородными. Это видно на
152

примере многих физических уравнений. Например, уравнение Р = та выражает