ВЕЩИ, СВОЙСТВА И ОТНОШЕНИЯ, ПРОБЛЕМА УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ

отношение явно неоднородных величин. Все они должны быть измерены одинаковыми единицами, однако они не могут иметь одинаковой размерности. Это противоречило бы принципу размерной однородности.
В самом деле, этот принцип требует равенства размерностей обеих частей уравнения, а это равенство в большинстве случаев было бы невозможно, если бы каждая из входящих в него величин имела бы одинаковую размерность.
Таким образом, требование сохранения единиц различных величин связано в большинстве случаев с требованием, чтобы эти величины имели каждая в отдельности различную размерность. Причиной этого является тот факт, что эти величины неоднородны, представляют собой различные функции от основной величины; поэтому для того, чтобы сохранилось равенство единиц, они должны изменяться различным образом, на что и указывает различие размерностей.
В частности, при увеличении размеров одной из единиц другие не обязательно должны увеличиваться. Напротив, в случае обратной пропорциональности величин увеличение единицы одной из них при сохранении равенства единиц влечет за собой соответствующее уменьшение единицы другой величины. Это кажущееся парадоксальным положение является необходимым следствием из определения равенства единиц.
Глава IV
ПРОБЛЕМА УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ
1. К ВОПРОСУ О ВЫВОДАХ ИЗ РЕЛЯТИВНЫХ СУЖДЕНИЙ
Можно ли делать выводы из релятивных суждений на основании тех свойств, которыми обладают выражаемые ими отношения? Этот вопрос явился предметом дискуссии, ведущейся еще с прошлого века. Сторонникам традиционной, аристотелевской логики кажется, что логическим характером обладает только связь свойства с вещью. Более же общий случай отношений лишен каких-либо логических свойств. Противники такого взгляда приводят в качестве примера простейший вывод типа: Коля старше Миши, Миша старше Пети, следовательно, Коля старше Пети. Если анализировать это умозаключение как силлогизм, то обнаружим учетверение терминов. Однако в необходимом характере полученного вывода усомниться невозможно.
Анализ выводов из релятивных суждений сложился в особое направление в логике, получившее название логики отношений. Логика отношений часто рассматривается как идеалистическое направление [22; 114].
Выше уже говорилось о том, что отношение столь же объективно, как и свойство. Поэтому связывать идеализм с логическим анализом выводов из релятивных суждений по меньшей мере неправомерно. Мы не говорим о философских взглядах сторонников логики отношений. Они могут быть идеалистическими, так же как взгляды многих сторонников традиционной логики. Но это совершенно другой вопрос. Считать на этом основании логику отношений идеалистическим направлением в логике все равно, что считать теорию относительности, идеалистическим направлением в физике.
454
Развитие современной символической логики, особенно после работ Шредера и Рассела, идет в направлении логики отношений [159]. Функциональное исчисление, или исчисление предикатов, являющееся наряду с исчислением высказываний основой современной символической логики, есть не что иное, как исчисление отношений.
Попытки отделить это исчисление от логики отношений и сблизить его с классической традицией членения суждения, на наш взгляд, неубедительны. Правда, в исчислении предикатов отношения записываются в форме Р(аь..., ап) и называются предикатами. Может показаться, что этот факт выражает обычное деление суждения на субъект и предикат. Действительно, отношение можно рассматривать как свойство, но столь же правомерно свойство рассматривать как отношение. Это не обычные, а особые, вырожденные частные случаи (см. часть первую настоящей работы). Поэтому нельзя говорить, что форма выражения отношений в символической логике совпадает с традиционной формой суждения. Напротив, понятие предиката символической логики противопоставляется предикату классической логики, именно как отношение противопоставляется свойству.
Так, П. С. Новиков пишет: «Понятие предикатов в классической логике Аристотеля соответствует в нашей терминологии предикату с одним переменным. Понятие предиката, введенное нами, имеет более широкий объем. Предикатами мы называем также и логические функции нескольких переменных. Такими предикатами можно выразить отношения между предметами..., Мы увидим дальше, что введение в рассмотрение предикатов от нескольких переменных привносит существенно новое по сравнению с логикой предикатов от одного переменного» [76, стр. 128—129].
Для выражения отношения между двумя объектами чаще используется форма аЯЪ. Но отношения между многими предметами нельзя изобразить таким образом. Поэтому символ отношения помещается перед символами, обозначающими предметы. Можно было бы и не делать этого и записывать отношение, например, так: а17?а2...1?ап. В таком случае не было бы смешения с формой выражения суждений традиционной логики, но это была бы слишком громоздкая форма записи, приводящая к тому же к ряду других недоразумений.
155
Несмотря на успехи логики отношений, против нее приводятся аргументы не только общефилософского г но также и специального, логического характера.
Наиболее интересна в этом отношении статья Е. К. Войшвилло [21]. Автор прежде всего стремится показать, что традиционное суждение «8 есть Р» нельзя рассматривать как частный случай аВЬ.
Для того чтобы противопоставлять логическое отношение понятий, выражаемое связкой «есть», остальным отношениям, которые автор называет «отношениями типа Д», он должен был бы показать, что к суждению типа «5 есть Р» неприменима схема аВЪ. Однако связка «есть» выражает отношение между 5 и Р. Й в схеме аВЪ выражает любое отношение, в том числе и отношение понятий по объему. В свою очередь, а и Ъ это все, что угодно,— не только материальные вещи, но и понятия. Поэтому, обозначая 8 ж Р как а и 6, получим, что схема «5 есть Р» является частным случаем схемы аВЪ.
Это означает, что нельзя противопоставлять схему «5 есть Р» схеме аВЪ, как схемы одинакового уровня абстракции. Схеме «5 есть Р» можно противопоставлять лишь другой частный случай аВЪ, например, «а больше Ы. Связка «есть» аналогична не общему выражению отношения (В), а другим частным случаям отношений. Смешение различных уровней абстракции особенно явно проявляется при рассмотрении конкретного примера. Е. К. Войшвилло сравнивает два умозаключения: 1) «Все металлы хорошие проводники электричества; медь есть металл; медь — хороший проводник электричества» и 2) «Величина а больше Ъ; величина Ъ больше с; величина а больше с».
Обобщая первое умозаключение, он получает его формулу в следующем виде: «Если все М суть Р ж 8 есть М, то 8 есть Р». Этд формула представляет собой тождественно истинное выражение, истинность которого не зависит от конкретного значения 8, М я Р.
Заметим, что в этом примере при переходе к абстрактному выражению вместо меди, металлов и хороших проводников появляются 5, М и Р, а связка «есть» остается в прежнем виде. Совсем иначе построен второй пример. Здесь нет конкретных предметов, а сразу даны абстрактные выражения а, Ъ я с. При переходе к абстрактному выражению исчезает га самая связка «больше», логиче
156
ское значение которой должно быть исследовано. Естественно, что получаемая таким образом формула: «Если хЯу и уЯъ, то хЯг» отнюдь не является тождественно истинной.
Если сравнение проводить на одном уровне абстракции, то вместо абстрактного второго примера нужно было бы взять конкретный пример («Кинешма больше Шуи, Шуя больше Тейкова, Кинешма больше Тейкова»). Представляя связь суждений этого умозаключения в абстрактном виде, получим формулу: «Если а больше &, а Ъ больше с, то а больше с». Эта формула является тождественно истинным выражением, поскольку его истинность не зависит от конкретного значения а, Ъ и с.
Правда, Е. К. Войшвилло говорит, что при отвлечении от конкретных свойств предметов мы должны отвлекаться и от конкретности отношения, поскольку отношения тесно связаны с объектами (предполагают определенную область объектов). Но такую область («поле отношений») предполагают любые отношения, не только такие, как «больше» или «южнее», но и те, которые выражаются связкой «есть». Еще Гегель говорил о том, что бессмысленно спрашивать о том, кислый или не кислый дух. Значит между кислотой и духом не может существовать отношение «есть» или «не есть», так же как и отношение «больше» или «южнее». Но это обстоятельство не является препятствием для написания общих формул типа: «а есть Ъ», так же как и «а больше Ь» или «а южнее Ь», где под а и Ъ понимается все, могущее быть в отношении «есть» или соответственно в отношений «больше» или «южнее».
Е. К. Войшвилло делает примечание, где говорит о том, что связку «суть» нельзя относить к конкретному содержанию, так как отвлечение от нее означало бы отвлечение от самого суждения. Но это справедливо и для других связок, например, для «больше». Отвлекаясь от «больше», мы переходим к общей схеме суждений аЯЪ.
Но к общей схеме мы переходим и отвлекаясь от «суть» в выражении — Р, которое употребляется в тех случаях, когда характер связки безразличен. Вместо /5 — Р можно было бы использовать более общее выражение аЯЪ.
Доказывая принципиальное различие «логических» отношений и «реальных», или «отношений типа Я», как
157
Ой их называет, Е. К. Войшвилло пишет о том, что если между реальными отношениями возможны логические, например, «если а больше &, то Ъ меньше а», то обратное, по-видимому, невозможно. Одна дизъюнкция, например, не может быть меньше или больше другой, не может быть причиной другой и т. д. [21, стр. 113]. Однако пример Войшвилло доказывает только то, что не всякие реальные отношения могут быть установлены между данными логическими. Но точно так же нельзя устанавливать любые логические отношения между данными реальными. Например, отношения «а больше Ь» и «а умнее Ь» не могут быть связаны отношением формальной импликации, так как одно не является логическим основанием для другого. Но здесь могут быть другие логические отношения — дизъюнкция, конъюнкция и т. д. Аналогично логические отношения могут не связываться одними реальными отношениями и связываться другими. Например, одно логическое отношение может быть сложнее другого, быть формой выражения другого и т. д.

Аргументацию Е. К. Войшвилло можно было бы усилить следующим образом. Существует множество различных конкретных отношений: «больше», «левее», «южнее», «брат» и т. д. Логическая неравноценность всех этих отношений и отношений, обычно называемых логическими, состоит в следующем. В то время как выражения реальных отношений можно свести к выражениям через «суть» и другие логические связки, где конкретное значение отношения будет входить в состав предиката, обратное, вообще говоря,