ВЕЩИ, СВОЙСТВА И ОТНОШЕНИЯ 34

Аналогичная закономерность была обнаружена в начале прошлого века французским математиком Понселе в области проективной геометрии. Точка и прямая — совершенно разные вещи. Но в теоремах проективной геометрии можно заменять точку прямой и прямую — точкой. Если в истинном положении произвести такую замену, то будет получено новое истинное положение. Например, пусть доказано, что «во всякой коллинеации, Имеющей неизменную прямую (ось), существует одна и только одна неизменная точка (центр), в которой пересекаются все собственно-двойные прямые». Заменяя слова «точка» и «прямая» друг другом, автоматически получаем, что «во всякой коллинеации, имеющей неизменную точку (центр), существует одна и только одна неизменная прямая (ось), на которой лежат все сообственно-двойные точки».
С взаимозаменой точки прямой связана возможность взаимозамены вершины угла многоугольника его стороной и точки, лежащей на кривой, касательной к этой кривой. Это дает возможность делать более сложные выводы. Например, с помощью такой замены из теоремы Паскаля —«во всяком шестиугольнике, вписанном в линию второго порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой»— получаем теорему Брианшона —«во всяком шестистороннике, описанном около линии второго порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке». Соответственно, наоборот, из теоремы Брианшона вытекает теорема Паскаля.
Изложенное положение, относящееся к соотношениям
168
на плоскости,, носит название малого принципа двойственности. В пространстве ему соответствует большой принцип двойственности, согласно которому двойственными, т. е. взаимозаменимыми понятиями, являются понятия точки и плоскости. При замене их друг другом понятие линии остается без изменения. Например, согласно большому принципу двойственности, из теоремы о том, что «если точка и прямая не инцидентны (т. е. точка не лежит на прямой), то существует одна и только одна плоскость, инцидентная с ними», следует теорема «если плоскость и прямая не инцидентны, то существует одна и только одна точка, инцидентная с ними», и обратно.
Следует отметить, что из большого принципа двойственности может быть получен в качестве следствия малый принцип двойственности.
Принцип двойственности существует и в другой области геометрии — в топологии.
Аналогичные соотношения имеют место в теории множеств. Здесь1 двойственными понятиями являются операции суммы и пересечения. При этом, если встретится понятие кпустого множества, его нужно заменить универсальным множеством, и наоборот. Такими же взаимозаменяемыми понятиями являются понятия дополнения суммы — пересечения дополнений и дополнения пересечения— суммы дополнений. При этом предполагается* что теорема, подвергаемая двойственному преобразованию, выражена в форме равенства, обе части которого представляют собой либо множества, либо результаты действий сложения, пересечения и дополнения. Например, если нам дано у В) Г) С = (А р| С) У р| С), где [] —знак суммы, а П —знак пересечения, то с помощью принципа двойственности получаем Р) В) У С =
= мис)П(Д1К).
С принципом двойственности теории множеств связан принцип двойственности математической логики. В исчислении высказываний он формулируется так: «...Из всег- да-истинной формулы 31—$5,. обе стороны которой образованы из основных высказываний и их отрицаний путем использования конъюнктивной и дизъюнктивной связей, получаем снова истинное уравнение, меняя местами зна- ки&иХ/» [28, стр. 35]. Например, из выражения X \/ (У & 2)(X \/ У) & (X \/ 2) с помощью принципа двойственности автоматически получаем выражение
169
X & (У \/ Ъ) — (X & У) \/ (X & X). Принцип двойственности существует также- и в исчислении предикатов. Вне математики можно указать на физику, где наблюдаются двойственные соотношения между пространственными и временными характеристиками объектов.
Из сказанного видно, что возможность двойственной замены понятий имеет место в самых различных областях науки. Очевидно, что здесь проявляется какая-то общая логическая закономерность. Однако она до сих пор не изучена.
Поэтому в каждом отдельном случае принцип двойственности обосновывается самостоятельно. При этом, конечно, можно пользоваться аналогией с теми двойственными соотношениями, которые лучше изучены. Каким же образом выясняется правомерность принципа двойственности в той или иной области? Очевидно, что для обоснования общего положения о двойственности тех или иных понятий теории недостаточно показать эту двойственность на одном или нескольких примерах. В этом случае, вообще говоря, может иметь место чисто случайное совпадение, хотя это и маловероятно.
Для обоснования принципа двойственности в данной, конкретной науке часто стремятся сослаться на другое положение той же науки. Так, например, поступают Гильберт и Аккерман в своих «Основах теоретической логики». У них принцип двойственности исчисления высказываний получается как случайное следствие правил де Моргана, согласно которым выражение Х&У можно заменить выражением Х\/У, а выражение Х\/ У — через Х&У [28].
В таком же плане принцип двойственности рассматривается польским логиком А. Мостовским, который обосновывает его формулами де Моргана наряду с правилом двойного отрицания [152, стр. 38].
Однако Л. Кутюра в свое время решительно возражал против того, чтобы формулы де Моргана считались основанием принципа двойственности. По его мнению, они — лишь средство отыскания двойственных выражений. Подлинное же основание принципа двойственности Л. Кутюра видит в самих определениях конъюнкции и дизъюнкции, формулы которых двойственно коррелятивны [57, стр. 21]. С этим нельзя не согласиться, так как, во-первых, двойственность существует независимо от введения
170
понятия отрицания и, во-вторых, формулы де Моргана сами основаны на определениях конъюнкции и дизъюнкции.
Таким образом, двойственность теории обосновывается здесь двойственным характером определения соответствующих понятий. Конечно, это не может нам объяснить явление двойственности, так как остается неясным, почему возможно дать двойственно-коррелятивные определения понятий, различных по своему содержанию. Однако такое обоснование выясняет общий, в рамках данной теории, характер принципа двойственности и дает возможность применять его ко всем тем положениям, которые выводятся из двойственных определений.
Так же обосновывается принцип двойственности и в проективной геометрии. Здесь определения основных понятий «точки» и «плоскости», «точки» и «линии» выражаются в виде совокупности аксиом. Эти аксиомы являются двойственными относительно понятий «точка» и «плоскость» в пространстве и относительно понятий «точка» и «линия» на плоскости. Отсюда делается вывод о двойственности всей теории, опирающейся на эти аксиомы. «Таким образом,— пишет, например, Н. Ф. Четверухин, — основные предложения (аксиомы) принадлежности проективного пространства носят двойственный характер. Естественно ожидать, что тем же двойственным характером или той же симметричностью относительно понятий «точка» и «плоскость» будут обладать и все теоремы, выведенные из основных предложений путем логических умозаключений» [133, стр. 87].
Далее показывается, что двойственность понятий «точка» и «прямая» на плоскости, т. е. так называемый «малый принцип двойственности» является следствием двойственности понятия «точка» и «плоскость» в пространстве, т. е. «большого принципа двойственности».
Аналогичным образом можно обосновать и наш принцип двойственности. Обратимся к определениям основных понятий, с которыми мы оперируем, т. е. понятий вещи, свойства и отношения.
Вещь была определена как система качеств или, иными словами, система свойств. Но что такое система? Это совокупность отношений или, для простоты, одно сложное отношение. Таким образом, мы приходим к тому, что вещь можно определить как отношение свойств.
171
С другой стороны, свойство можно понять как соотношение, т. е. как отношение вещей. Отношение же представляет собой свойство, характеризующее две или более вещи, т. е. это — свойство вещей. В обоих случаях множественное число слов «вещи» означает, что имеется в виду совокупность двух или более вещей, но не каждая из них в отдельности.
Сопоставим друг с другом все три определения:
1. Вещь — отношение свойств.
2. Свойство — отношение вещей.
3. Отношение — свойство вещей.
В этих определениях нетрудно заметить две пары двойственных понятий. Одна пара — это «свойство»— «отношение». Совершая двойственное преобразование относительно этой пары, мы из второго определения получаем третье, и наоборот. Понятие вещи при этом остается без изменения. Другую пару образуют «свойство»—«вещь». Заменяя понятие «вещь» понятием «свойство» и наоборот, мы преобразуем первое определение во второе и второе в первое. Понятие отношения при этом не подвергается изменению.
Однако первое и третье определения не двойственны. Замена понятия «вещь» понятием «отношение» и наоборот не приводит к преобразованию одного определения в другое. Такая ситуация аналогична положению в проективной геометрии. Там три основных понятия: «точка», «линия» и «плоскость» образуют также две двойственные пары: «точка»—«плоскость», «точка»—«линия». Пара же «линия»—«плоскость» не является двойственной.
Таким образом, мы выяснили двойственность основных определений, используемых нами. Поэтому «естественно ожидать», что эта двойственность сохранится и во всех положениях, опирающихся на эти определения.
Правда, обосновывая эти положения, мы применяем не только понятия вещи, свойства и отношения. Мы употребляем также такие термины, как «внутренний», «совокупность», «зависит» и т. д.
Однако содержание понятий, связанных с этими терминами, раскрывается через исходные категории вещи, свойства и отношения. В проективной геометрии также говорится не только о точках, линиях и плоскостях, но и о .вершинах, ребрах, гранях и т. д. Но эти понятия
172
раскрываются с помощью основных понятий точки, линии и плоскости.

Для правильного применения принципа двойственности необходимо четко формулировать то отношение, которое сохраняется при двойственной замене. В связи с этим возникает вопрос о том, сколько объектов участвует в этом отношении. На первый взгляд, в каждом из приведенных выше определений вещи, свойства и отношения имеется в виду отношение между тремя объектами. Однако на самом деле при двойственном преобразовании