МОДЕЛИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА НА ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ БУМАГЕ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968
МОДЕЛИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА НА ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ БУМАГЕ
Наибольшее распространение при решении задач с источниками поля получил метод электролитической ванны [4], но наряду с этим могут использоваться модели из электропроводной бумаги, применение которых приводит к более простым аппаратурным решениям и к простым способам изготовления моделей. Один путь их развития связан с созданием конденсаторного слоя (R — С-мо* дели [6]). Однако более эффективным является второй путь — создание /^-модели в виде комбинации из электропроводной бумаги и сосредоточенных сопротивлений [1].
В работе рассматривается решение задач стационарной теплопроводности с внутренними источниками тепла на электропроводной бумаге, описываемых уравнением Пуассона:

Плоской задаче соответствует k = 0 и объемной в цилиндрической системе координат k = 1 (в этом случае х = р-радиусу). К электрической модели из электропроводной бумаги дискретно отводятся токи, моделирующие тепловыделение (в общем случае правую часть уравнения Пуассона), через высокоомные сопротивления — тоководящие элементы — т. в. э. Электрическое поле в модели описывается уравнением Пуассона:
__д_ fk да \ ,__д_ / ди \ __ I
хк дх \ х дх ) ду \ ду ) Д F3
где о = 1 /г — удельная поверхностная проводимость бумаги;
I — ток в т. в. э.;
ДF9 — площадь элементарного участка модели.
Параметры модели следующие:
а) сопротивление, моделирующее правую часть:
Rm.e.a — k%
kt&u
f>^qv&F 9
б) сопротивление, моделирующее краевые условия II рода:
(2)
в) удельное поверхностное сопротивление каждой зоны плоской или осесимметричной задачи

![]() |
Рис. 1. Токовводящая игла |
где kt = tju и kR — коэффициенты моделирования;
As — ширина участка теплообмена;
А и — падение напряжения на сопротивлении.
В случае моделирования краевых условий III рода формула (2) переходит в выражение
Rа
kR а As
Из формулы (1) следует, что ток в т. в. э.
(3)
j _ А и __ pkqvAF
Кщ.в.э kRkt
Каждый из двухсот т. в. э. состоит из двух сопротивлений: R' — постоянное прецизионное сопротивление типа УЛИ класса 0,5 или 1 и R" — переменное сопротивление типа СНВК-500/22. СопротивленияR' — сменные, монтируются в специальных гнездах, обеспечивающих надежность контакта и легкость замены сопротивлений [2].
Подвод тока через т. в. э. к модели осуществляется с помощью специальных подпружиненных игл, швейных игл или булавок, снабженных латунной втулкой диаметром 2 мм, закрепляемых в деревянной панели (рис. 1). Конструкция игл обеспечивает постоянный и надежный контакт с поверхностью электропроводной бумаги.
Решение задач осуществлялось на специализированном моделирующем устройстве (рис. 2), являющемся модернизированным вариантом интегратора ЭТА-2 [3].
В качестве измерительного устройства используется интегратор типа ЭТНА, построенный на базе автоматического самопишущего прибора ЭПП-09 или «ЭМП-209 [2]. Измерительное устройство используется для следующих операций:
а) набора граничных условий;
б) измерения сопротивления электропроводной бумаги;
в) задания токов в т. в. э.;
г) съема электрического поля.
![]() |
Рис. 2. Общий вид моделирующего устройства |
Питание модели (рис. 3) производится от сети через понижающий трансформатор. От вторичных обмоток трансформатора питаются низкоомные потенциометрические делители Р и RT.d.e., напряжение на которых регулируется ic помощью реостата R. С остальной обмотки подается питание на реохорд ЭПП-09 (ирх равно иМОд или 2иМОд)-
Настройка т. в. э. производится путем поочередного подключения гнезд т. в. э. на вход усилителя ЭПП-09. При этом для того, чтобы можно было измерить падение напряжения на сопротивлении R' с помощью измерительной схемы ЭТНА, напряжение и0 выбирается больше, чем ирх.
Из формулы (3) следует, что падение напряжения на постоянном сопротивлении т. в. э. равно
W = РУ R'.
ИЗ
8 Заказ 1148
Этому значению соответствует в безразмерных единицах шкалы ЭПП-09 величина
Д0% = —^— 100.

Моделирование поля осуществляется путем поочередного автоматического подключения к иглам с помощью переключателя
ЭПП-09 модели измеритель-
Ак_
ЪЛ1
2А
0,6
0,?
в=- 0А |
|
0 — |
||||||||||||||||||||
0,2 0А 0,6 0,8 Температура 6 пластине л=4 Рис. 4. График распределения температур в пласте |
ного устройства ЭТНА, осу-| ществляющего регистрацию безразмерных потенциалов 0, на диаграммной ленте ЭПП-09
т-т „
Аи
А и
рх
где Т > Гтах.
С помощью интегратора был решен ряд задач, описываемых уравнением Пуассона. В качестве примера приведем решение задачи по определению температуры в пластине.
Безразмерная температура задается в виде
е = ~к .
2Х
Запишем условия на границе. 1-й вариант: 0ц = 0,5; 012 = 0. Теоретическое решение описывается уравнением 0 = —X2 + + 0,5Х + 0,5 (5]; 2-й вариант: 0i2 = 0,75, 022 = 0; В,-, = 1. Теоретическое решение: 0 = —X2 + 0,25Х + 0,75. Задача решалась в двухмерной модели с тремя рядами т. в. э. (всего 30 т. в. э.), ДFB = 5x5 см. Результаты решения контрольных задач показывают, что средняя погрешность решения не превышает 2—3% (рис. 4).
![]() |
Рис. 5. Температурное поле в элементе теплообменника |
На рис. 5 приведены результаты определения температурного поля в элементе теплообменника. По в!сему объему задана постоянная мощность внутренних источников тепла. Отвод тепла происходит с поверхности. Поле снималось в 100 точках. Невязка по тепловому балансу не превышает 6%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Карплюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля. М., Изд-во иностр. лит., 1962, стр. 1—461.
2. Кириллов В. И., Литвинов М. JV\., Олешкевич Б. Б. Электроинтегратор для решения задач нестационарной теплопроводности. В настоящем сборнике.
3. Литвинов М. М. Электроинтегратор ЭТА-2. Межвузовская конференция по физическому и математическому моделированию. М., изд. МЭИ, 1959, стр. 21—32.
4. Л у к о ш к о в В. С. Моделирование источников поля в электролитической ванне при решении задач математической физики В сб. «Электроника»,
1958, № 7, № 8, стр. 34—37.
5. Новиков И. И. и Воскресенский К. Д. Прикладная термодинамика и теплопередача. М., Госатомиздат, 1961, стр. 548.
6. Тетельбаум И. М. Электрическое моделирование. М., Физматгиз,
1959, стр. 319.