РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ И ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА СЕТОЧНЫХ ЭЛЕКТРОИНТЕГРАТОРАХ
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968
Расчёт физических полей методами моделирования, Б.А.Волынский, 1968
РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ И ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА СЕТОЧНЫХ ЭЛЕКТРОИНТЕГРАТОРАХ
Для промышленного и гидротехнического строительства, для газотурбостроения, двигателестроения, реакторостроения и т. п. все большее значение приобретает разработка инженерных методов расчета напряжений и деформаций, особенно от температурных воздействий.
Задача снижения веса машин и сооружений также требует детального изучения напряженного состояния конструкций. Такое исследование напряженного и деформированного состояния часто может быть сведено к решению плоской или осесимметричной задач теории упругости. Однако для областей со сложной конфигурацией эффективных аналитических решений этих задач в настоящее время не существует. Поэтому разработка инженерных методов расчета должна базироваться на применении современных цифровых и аналоговых вычислительных машин.
В настоящей статье дается обзор основных работ, проведенных по решению на сеточных электроинтеграторах плоской и осесимметричной задач прикладной теории упругости, а также ряда работ по расчету пластинок, так как уравнения для прогибов пластинки подобны бигармоническому уравнению плоской задачи.
При решении любой задачи теории упругости должны быть удовлетворены три следующие группы уравнений:
В плоской задаче К В осесимметричной задаче9 10 а) Статические уравнения
(О
(2)
дох , дтХу = 0.
дх ^ ду
дву у дхху __ Q.
ду ^ дх
б) Геометрические уравнения
дог - dxrz . в г г\ дг 'г дг ^ г ‘ дч>гг у до2 . хг2 __ q дг ~Г дг ^ г “ |
|||||||||||||
|
дУ . ду ’ |
|
dU ду |
 |
дх
(3)
Уху =
в) Физические уравнения
= — чоу)+аТ;
в» = -^(0, —*г,)+а7; _ _1_
Уху Q хху'
ег = 4" [ог — р (о© + а2)] + аТ;
ее = — [gq — \i (а2 + аг)] + i
Е
= ~ К — (А (<*, + ае)1 + а^-
П
Кроме того, должны быть выполнены условия на контуре рассматриваемой области
Х„ = ах cos (пх) + хху cos (пу); Rn = ar cos (nr) + хгг cos (nz); (5)
Yn = xxy cos (nx) + ay cos (ny); Zn = xrz cos (nr) -f o2 cos (nz). (6)
Если при решении задач интерес представляют только напряжения и деформации, то геометрические уравнения (2) следует заменить уравнениями неразрывности деформаций {1, 2]:
в плоской задаче
дгех дЧу _ д*уХу .
ду2 дх~ дхду ’
в осесимметричной задаче
• — (гее) = 0; дг
дг(гЧ) _J_ дег
дгг
дг
dY гг дг
(7)
При аналитическом решении задач теории упругости прямое решение всех трех групп уравнений для отыскания всех неизвестных (напряжений, деформаций и перемещений) обычно не предпринимается. Задачи решают либо методом сил, либо методом перемещений.
Однако существует принципиальная возможность создания электромодели, обеспечивающей непосредственное интегрирование всех трех групп уравнений теории упругости. В 1944 г. Г. Крон описал электромодель упругого тела, в которой каждой группе уравнений теории упругости соответствует определенный закон электрической цепи:
а) уравнениям равновесия — первый закон Кирхгофа;
б) физическим уравнениям — закон Ома;
в) уравнениям неразрывности — второй закон Кирхгофа.
При этом напряжениям в упругом теле соответствуют токи, а
перемещениям — напряжения в узлах электромодели, состоящей из двух взаимосвязанных сеток, узлы которых сдвинуты на полшага.
Однако электромодель Крона на реактивных LC-сетках не получила широкого 'распространения из-за больших технических трудностей создания моделей удовлетворительной точности [4]. Поэтому продолжались исследования возможностей построения 230
электроаналогий, использующих преобразованные уравнения теории упругости, по методам сил и перемещений, где сначала отыскивается лишь одна группа неизвестных.
В уравнениях метода сил искомыми неизвестными являются напряжения:
в плоской задаче в осесимметричной задаче
&х> ^ху* ^0» ^г И
для определения которых необходимо решить уравнения равновесия (1) — (2) и уравнения совместности (7), выраженные через напряжения:
(1 + v) (а — az) + rk-^-((jr + oz) — r^ =0;
or dr
V2 К + О у) +
+ Еау2Т = 0;
д2о(
_ до2
дг2~ ~дг
гд2(ог + <Уг)
дг2
(7а)
0
+
дг
farz
дг
-2(1 +v)
= 0.
+ Г
При этом должны удовлетворяться условия (5), (6) на контуре рассматриваемой области.
В уравнениях метода перемещений искомыми неизвестными являются перемещения:
в плоской задаче
в осесимметричной задаче
и, W,
U, V;
для определения которых необходимо решить два синтезирующих 11 уравнения Дюгамеля — Неймана, которые при удовлетворении условиям на контуре (5) — (6), выраженным через перемещения, и при отсутствии температурных членов превращаются в уравнения Ляме:
d2W 1 — 2v ( д J_\dT ' <?z* + 2(l-v)Ur + г )дг +
+ ‘-—f—+ —W=0;
2(1 — v) dz \ dr г I
v*U+Lz^±(*L+W-
1 — 2v дх \ дх ду
0;
(8)
1 — v д I dU dV \
1 — 2v ду \ дх ду )
_d_(dU_ U \ 1 — 2v d2U
dr[dr+ г Г 2(1—v) dz2 +
v2v +
0;
d2W
drdz
1
2(1 — v)
= 0.
+
Упрощение аналитического решения задач теории упругости достигается введением функций напряжений (функций переме- 12
щений), которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям четвертого порядка:
в плоской задаче
V2 (v2-0 — о*;
в осесимметричной задаче
Д(Д<Р) = 0, (9)
где у2 и Д — операторы Лапласа в декартовой и цилиндрической системах координат;
д2
д2
дг*
1
д2
дх2
Д =
(10)
+
V2 —
ду2
дг2
дг
Напряжения связаны с этими функциями следующими выра
жениями
d2F ду2
d2F
д*2
д
дг
*р\.
?г2 У
W = ^-(viV—L^);
d2cp
vA(p -
(И)
d2F
дхду
а
дг
+ qx;
*ху
Граничные условия в осесимметричной задаче сложны: они выражаются сложной комбинацией производных искомой функции ф. Эти условия получим подстановкой выражения (11) в условия на контуре (5)—(6). Граничные условия в плоской задаче для односвязной области просты, на контуре области известны функция ф и ее нормальная производная
F \ер = fi ($У, (12)
=fAS). (13)
ОП гр
Эти значения функции и нормальной производной наиболее просто вычисляются по методу рамной аналогии.
В математической физике известно, что уравнение в частных производных четвертого порядка может быть представлено в виде системы двух уравнений в частных производных второго порядка. Таким образом мы можем записать:
для плоской задачи вместо уравнения V2(V2 F) = 0 систему
для осесимметричной задачи вместо уравнения А (Д<р) = 0 систему
V2P = Р, V2P = 0;
( ДФ = Р; (14)
Так как принципиальная возможность решения уравнений Лапласа и Пуассона на электрических сетках была показана С. А. Гершгориным еще в 1926 г., то естественно, что разработка методик решения плоской и осесимметричной задач теории упругости в первую очередь была направлена на моделирование систем уравнений (14) — (15). Реализация этих методик стала возможной после разработки Л. И. Гутенмахером сеточного электроинтегратора. Применению методов электрического моделирования при решении задач теории упругости содействовала широкая популяризация Л. И. Гутенмахером идей электрического моделирования. В связи с недостатками серийно выпускаемых сеточных интеграторов ЭИ-11, ЭИ-12 (низкая точность сетки й делителя напряжений) для решения задач теории упругости были созданы специализированные интеграторы типа ЭМ-6БУ (рис. 1), изготовленные в 1952 г. Институтом автоматики по заказу Гидропроекта [7], и интегратор КГУ (рис. 2), создан-
Сетка <р Сетка р |
 |
Измерительное Делитель напряжения устройство Рис. 1. Принципиальная схема интегратора ЭМ-6БУ |
ный в 1949 г. коллективом Лаборатории электрического моделирования Киевского государственного университета им. Т. Г. Шевченко под руководством Дьяченко В. Е. и Танцюры Н. А. Электроинтегратор КГУ работает на постоянном токе. Сетка имеет прямоугольную форму, на ней размещено 30 X 40 = 1200 узлов и 2400 магазинов сопротивлений. Магазины сетки изолированы от узлов и включаются в схему с помощью ножевых контактов и специальных узловых шнуров, которыми производится набор величины сопротивления магазина сетки. Это позволяет одновременно набирать несколько задач, а также создавать многоэтажные сетки.
Переменные сопротивления сетки выполнены в виде магазинов сопротивления, состоящих из трех групп последовательно соединенных сопротивлений:
1000, 2000, 3000 и 4000 ом — в первой группе;
100, 200, 300 и 400 ом — во второй группе;
10, 20, 30 и 40 — в третьей группе.